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113 學 年 度 學 科 能 力 測 驗 數 學 B 考 科
非 選 擇 題 滿 分 參 考 答 案 與 評 分 原 則
113 學科能力測驗數學 B 考科的非選擇題共有 2 題，其中第 19 題為 4 分；
第
20 題為 8 分，總計 12 分。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證
過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。
如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，
則無法得到分數。
數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以
供各界參考，詳細評分原則說明與部分學生作答情形，請參閱本中心將於
4 月 15
日出刊的第
342 期《選才電子報》。
113 學年度學科能力測驗數學 B 考科非選擇題各題的參考答案說明如下：
第
19 題
一、滿分參考答案：
策略一：利用
BCD
的面積=
1
2
BC DP
。
【法一】
設
P
為
BC
的中點。因為
2
2
9
4
65
DP =
−
=
，
得
BCD
的面積=
8
65
2
6
1
4
5
=
。
策略二：利用三角形面積
1
=
sin
2
ab
C
。
【法二】
因為
2
4
65
sin
1 ( )
9
9
DBC
=
−
=
，得
BCD
的面積=
65
9 8
4 65
1
2
9
=
。
【法三】
因為
2
2
2
9
9
8
49
cos
2 9
81
9
BDC
+
=
−
=
，得
2
49
8 65
sin
1 (
)
81
81
BDC
=
−
=
。
2
因此
BCD
的面積=
8 65
9 9
4 65
1
2
81
=
。
策略三：利用三角形面積
(
) (
) (
)
s
s a
s b
s c
=
− − −
。
【法四】
令
9
9 8
13
2
s
+ +
=
=
，得
BCD
的面積=
13 (13 9) (13 9) (13 8)
4 65
−
−
−
=
。
二、評分原則：
1.可 採 策 略 一 ， 利 用
BCD
的 底 邊 及 推 得 其 對 應 的 高 ， 求 出
BCD
的 面
積 ， 且 有 正 確 的 解 題 過 程 。
2.可 採 策 略 二 ， 利 用
BCD
的 任 意 兩 邊 長 及 推 得 該 兩 邊 長 夾 角 的 正 弦
值 ， 求 出
BCD
的 面 積 ， 且 有 正 確 的 解 題 過 程 。
3.可 採 策 略 三 ， 利 用
BCD
的 三 邊 長 及 面 積 公 式 ， 求 出
BCD
的 面 積 ，
且 有 正 確 的 解 題 過 程 。
第
20 題
一、滿分參考答案：
※求
AD
的長度：
設
P
為
BC
的中點，由
AD
BC
⊥
且
DP
BC
⊥
，得
AP
BC
⊥
，故
AB
AC
=
。
由題意知
BAC
為直角，所以
C
AB
為等腰直角三角形，得
4 2
AB
AC
=
=
。
故
2
2
9
(4 2)
7
AD =
−
= 。
3
（亦可設
AD
x
=
、
AB
y
=
、
AC
z
=
，由畢氏定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
9
8
x
y
x
z
y
z
+
=
+
=
+
=
，
推得
4 2
y
z
= =
，故
2
2
9
(4 2)
7
AD
x
= =
−
= 。）
※求四面體
ABCD
的體積：
四面體
ABCD
的體積=
1
112
4 2 4 2 7
1
3
3
2
=
。
※求頂點
A
到底面
BCD
高度的方法：
《以下列出三種求出頂點
A
到底面
BCD
高度的方法》
【法一】利用四面體
ABCD
的體積
頂點
A
到底面
BCD
的高度
65
4 65
112
28
28
3
65
1
65
3
=
=
=
。
【法二】利用
APD
面積
設頂點
A
在平面
BCD
的投影點為
Q
。因為
AD
BC
⊥
且
DP
BC
⊥
，
故
Q
必定落在 DP 。又
65,
4,
7
DP
AP
AD
=
=
=
，且
DAP
為直角，
所以頂點
A
到底面
BCD
的高度
1
4 7
28
28
2
65
1
65
6
2
65
5
=
=
=
。
【法三】架空間坐標系，並利用點到平面方程式的距離公式
架空間坐標系，例如：設
A
為原點，且 AC 、
AB
、
AD
分別為
x
+
、
y
+
、
z
+
方
向，得
(4 2, 0, 0), (0, 4 2, 0), (0, 0, 7)
C
B
D
。
故平面
BCD
的方程式為
1
7
4 2
4 2
x
y
z
+
+ =
，化簡得
7
7
4 2
28 2
x
y
z
+
+
=
。
4
(亦可求平面
BCD
的法向量為
(0, 4 2, 7) (4 2, 4 2, 0
(28 2, 28 2,32)
(7, 7,
)
4 2
4 2
)
BD BC
=
=
−
−
=
。
故平面
BCD
的方程式為
7
7
4 2
28 2
x
y
z
+
+
=
。
)
所以頂點
A
到底面
BCD
的高度
2
2
2
28 2
28
65
65
7
7
(4 2)
=
=
+
+
。
二、評分原則：
1.根 據 題 意 ， 能 求 出
AD
長 度 與 四 面 體
ABCD
的 體 積 ， 且 有 正 確 的 解 題 過
程 。
2.可 利 用 不 同 方 法 求 出 頂 點
A
到 底 面
BCD
的 高 度 ： 例 如 可 利 用 四 面 體
ABCD
的 體 積 ；或 利 用
APD
的 面 積 ；或 透 過 架 設 空 間 坐 標 系，利 用 空
間 中 的 點 到 平 面 的 距 離 公 式 ， 且 有 正 確 的 解 題 過 程 。