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111 學 年 度 學 科 能 力 測 驗
數 學
A 考 科 非 選 擇 題 評 分 原 則
數 學
A 的 題 型 有 選 擇（ 填 ）與 混 合 題 或 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量
考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程。數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一
種 ， 且 有 些 解 法 並 不 屬 於 高 中 課 程 範 圍 ， 在 此 提 供 屬 於 高 中 課 程 ， 且 多 數
考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考 。 不 管 採 取 哪 種 解 法 ， 均 需 於 答 題 卷 上
清 楚 表 達 推 理 或 解 題 過 程 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 若 過 程 中 列
式 正 確 ， 但 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ，
或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。 以 下 提 供 非 選 擇 題 參 考 答 案 ， 以 及 評 分
原 則，至 於 學 生 的 作 答 與 無 法 得 到 滿 分 的 情 形，請 參 閱 本 中 心 將 於
4 月 15
日 出 刊 的 第
330 期 《 選 才 電 子 報 》。
第
19 題
一、 滿分參考答案：
掃描棒掃過之區域圖形如下：
因為
2
OB′ =
，
3
OA′ =
，
1
A B
′ ′ = ， 故 cos
cos
0
2
OA B
π
′ ′
∠
=
=
（也可由餘弦定理，或內積求得
cos
0
OA B
′ ′
∠
= ）
2
因為
6
B OA
π
′
′
∠
=
，可知
5
6
AOA
π
′
∠
=
，
3
OA′ =
，點
A′
的極坐標表示為
3,150
°
(或
5
3,
6
π
）。
二、評分原則：
根 據 題 意 ， 畫出掃描棒掃過的區域
R ，並藉由內積，或餘弦定理，或
OA B
′ ′
∠
為直角，求出
cos OA B
′ ′
∠
及點
A′
的極坐標。
第
20 題
一、 滿分參考答案：
如上圖，
(一) Ω 的面積可由以下幾種解法求得：
【 解 法 一 】
Ω 的面積
=
扇形
OBE 的面積
OAB
+∆
的面積
−
扇形
OAD 的面積。
2
1
2
2 3
π
= × ×
+ 1
3 1
2
×
×
2
1
2
3 3
3
2 2
3
2
4
π
π
π
− × ×
=
+
−
3
2 12
π
=
−
3
【 解 法 二 】
Ω 的面積
=
第一象限的環狀帶
−
（扇形
OPB 的面積
OAB
−∆
的面積）
2
2
1
(2
3 )
2 2
π
= × ×
−
−
(
2
1
2
2 6
π
× ×
1
3 1)
2
− ×
×
3
2 12
π
=
−
(二)
R
的面積可由以下幾種解法求得：
【 解 法 一 】
第二象限的斜線面積
=
第二象限的環狀帶
−
( OA B
′ ′
∆
的面積
−
扇形
OA C
′ ′的面積
)
2
2
1
(2
3 )
2 2
π
= × ×
−
−
( 1
3 1
2
×
×
2
1
3
3 )
2 6
2
2
π
π
− × ×
= −
R
的面積
=
Ω 的面積＋第二象限的面積＝ 3
3
5
(
) (
)
2 12
2
2
12
π
π
π
−
+
−
=
【 解 法 二 】
第二象限的斜線面積
=
DEFA′ 環狀帶＋扇形OFB′ 的面積
−
OA B
′ ′
∆
的面積
2
2
2
2
1
1
3
(2
3 )
2
3 1
3 4
3 4
2
2
2
π
π
π
= × ×
−
+ × ×
− ×
× = −
R
的面積
=
Ω 的面積＋第二象限的面積＝ 3
3
5
(
) (
)
2 12
2
2
12
π
π
π
−
+
−
=
【 解 法 三 】
在
OBA
∆
與
OB A
′ ′
∆
中，因
AB A B
′ ′
=
、
OB OB′
=
、
OA OA′
=
，可得
OBA
OB A
′ ′
∆
≅ ∆
。
因
BOA
B OA
′
′
∠
= ∠
，故扇形
OAC 的面積
=
扇形
OA C
′ ′的面積。
所以，
OBA
∆
−
扇形
OAC 的面積
=
OB A
′ ′
∆
−
扇形
OA C
′ ′的面積。
故
R 的面積
=
扇形
OBB′ 的面積
−
扇形
OCC′的面積
2
1 5
2
2 6
π
= ×
×
2
1 5
5
5
3
2 6
3
4
π
π
π
− ×
×
=
−
5
12
π
=
二、評分原則：
能 利 用 面 積 分 割 算 出
Ω 與
R 的面積。