1
大學入學考試中心 指定科目考試參考試卷
數學甲參考答案
選擇（填）題：
題號
答案
1
5
2
4
3
3
4
2
5
3
6
1,2,3,5
7
2,5
8
2,3
9
1,3,4,5
A
10
1
11
－
12
2
13
3
B
14
7
15
0
2
非選擇題：
第一大題
(1) 【解法一】
因 ( )
f x 是一個三次多項式函數，
( )
f x
必為二次多項式函數
由條件(i)可設
( )
(
2)
f x
kx x
，其中
0
k
(0), (2)
f
f
分別為極大與極小值，且反曲點的橫坐標為
1
x
（極值發生處 0 與 2 的平均，或
( )
(2
2)
0
f
x
k
x
的解）
由條件(ii)知
(1)
3
f
，推得
3
k ，故
( )
3 (
2)
f x
x x
【解法二】
設
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
，微分得
2
( )
3
2
f x
ax
bx c
由題設知
(0)
0
f
，得
0
c ，且
(2)
0
f
，可得 3
0
a b
( )
6
2
f
x
ax
b
，得反曲點之 x 坐標為
3
b
x
a
由條件(ii)知
(
)
3
3
b
f
a
，故得
2
2
2
3
3
3
b
b
c
a
a
（亦即
2
3
3
b
a
）
解
2
3
0
3
3
a b
b
a
得
1
a 、
3
b ，故
2
( )
3
6
f x
x
x
(2) 【解法一】
由(1)得
3
2
( )
3
f x
x
x
k
，其中 k 為一常數，
由題設條件
2
0
( )
0
f x dx
即
2
2
3
2
4
3
0
0
1
(
3
)
4 8 2
0
4
x
x
k dx
x
x
kx
k
，得
2
k
故
3
2
( )
3
2
f x
x
x
【解法二】
由(1)得
3
2
( )
3
f x
x
x
k
,其中 k 為一常數
由題設條件
2
0
( )
0
f x dx
以及 3 次函數圖形對反曲點對稱得知 (1) 0
f
，再解
得
2
k ，故知
3
2
( )
3
2
f x
x
x
。
3
第二大題
(1) 由題設
1
1
3
1
2
2
1
3
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
b
b
a
b
，可推得
1
1
3
1
2
2
1
3
2
2
n
n
n
n
a
a
b
b
。
故
3
1
2
2
1
3
2
2
A
。
(2)
3
1
cos 30
sin 30
1
0
2
2
sin 30
cos 30
0
1
1
3
2
2
n
n
n
A
即
cos(30
)
sin(30
)
1
0
sin(30
)
cos(30
)
0 1
n
n
n
n
，利用旋轉矩陣的概念，得
12
n
(3) 由於
1
1
n
n
n
n
a
a
A
b
b
，
得
100
1
1
1
1
99
3
100
1
1
1
1
cos 90
sin 90
0
1
sin 90
cos 90
1
0
a
a
a
a
a
A
A
b
b
b
b
b
解得
100
1
100
1
0
1
0
1
1
2
1 0
1 0
2
1
a
a
b
b
。故
1
1
( , )
(2, 1)
a b
。
解得
1
1
( , )
(2, 1)
a b
。