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大學入學考試中心
指定科目考試參考試卷
（適用於99課綱微調）
數學甲
作答注意事項
考試時間：80 分鐘
作答方式：˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，
切勿使用修正液（帶）。
˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答；更正時，可以
使用修正液（帶）。
˙未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用黑色墨水的筆
書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生自
行承擔。
˙答案卷每人一張，不得要求增補。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生
必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細
閱讀下面的例子。
例：若第 B題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：
例：若第 C題的答案格式是 ，而答案是
50
7
時，則考生必須分別在答
案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
著作權屬財團法人大學入學考試中心基金會所有，
僅供非營利目的使用，轉載請註明出處。若作為營利目的使用，
應事前經由財團法人大學入學考試中心基金會書面同意授權。
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第 1
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第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）
一、單選題（占 30 分）
說明：第 1題至第 5題，每題有 5個選項，其中只有一個是正確的選項，請畫記在答案卡
之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6分；答錯、未作答或畫記多於一個
選項者，該題以零分計算。
1. 設3
() 8 4 1
f
xxx
，請問極限
2
2
0
(1 ) (1)
lim
x
f
xf
x
之值為下列哪一個選項？
(1) 0
(2) 3
(3) 12
(4) 15
(5) 20
2. 在ABC中，已知 60B
、45C
，且知 ABC
之面積為 33，則其最短邊長
為下列哪一個選項？
(1) 22
3
(2) 3
(3) 32
2
(4) 22
(5) 23
指考參考試卷 第 2 頁
數 學 甲 共 7 頁
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3. 坐標空間中有一長度為 17 的線段 AB，若 AB在
x
y平面、 yz 平面上正射影的長度
分別為 11、12 2 ，則 AB在zx 平面上正射影的長度為下列哪一個選項？
(1) 11
(2) 12
(3) 13
(4) 14
(5) 15
4. 因應民眾對肉品安全的疑慮，某研究機構研發了一種毒物試劑，宣稱如果肉品
內含有此種毒物，一定可以檢測出來，但是有 5% 的機率會將不含該毒物的肉品
誤判為含有該毒物。假設已知某一批進口肉品，其中有 0.2%含有此毒物，今隨
機抽驗該批肉品中之一包，檢體被檢測出含有該毒物。若依該機構宣稱之檢測
率，請問該檢體確實含有該毒物的機率
P
滿足下列哪一個選項？
(1) 0.03P
(2) 0.03 0.04P
(3) 0.04 0.05P
(4) 0.05 0.1P
(5) 0.1P
第 3
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共 7
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- 3 -
5. 當點 (,)
x
y在過 (2, 0)A、(0, 3)B的直線上變動時，關於 84
x
y
K
的敘述，請選出正
確的選項。
(1)
K
有最大值 64、最小值 16
(2)
K
有最大值 64、但沒有最小值
(3)
K
沒有最大值、但有最小值 16
(4)
K
沒有最大值、但有最小值 20
(5)
K
沒有最大值也沒有最小值
二、多選題（占 32 分）
說明：第 6題至第 9題，每題有 5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對
者，得 8分；答錯 1個選項者，得 4.8 分；答錯 2個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2
個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
6. 坐標平面上，直線 (0)xaa與函數 2
log
y
x
、4
log
y
x
的圖形分別交於點
A
、B。
以a
d表示此兩點距離（即 AB），請選出正確的選項。
(1) 21
2
d
(2) 81
8
dd
(3) 35
2dd
(4) 對任意正數 a，a
d恆小於 8
(5) 若, , rst
三數皆大於 1且成等比數列，則 2
rt
sdd
d
指考參考試卷 第 4 頁
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7. 已知多項式 ()
f
x的函數圖形 ()yfx
通過 (2, 1)
、(1, 3)
、(0, 2)
與(1,3) ，請選出正
確的選項。
(1) ( )
f
x是三次多項式
(2) 能找到正實數
使得 ()=0f
(3) 只能找到一個負實數
使得 ()=0f
(4) ( )
f
x的函數圖形在點 (0, 2)之切線為水平線
(5) 1
1() 0fxdx
8. 關於函數 () 3cos sin
f
xxx，其中
x
為任意實數，請選出正確的選項。
(1) ( )
f
x有最大值 31
(2) ( )
f
x是一個週期函數，其最小正週期為 2
(3) ( )yfx的圖形對稱於直線 6
x
(4) ( )yfx的圖形與
x
軸的交點中，離原點最近的為(6
,0)
(5) ( )yfx的圖形對稱於原點
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9. 設實數 ,,,abcd滿足 22
1ab且22
(3)( 4)4cd
，請選出正確的選項。
(1) ( 3) ( 4)ac bd 的最大值為 2
(2) ac bd的最大值為 8
(3) 行列式 ab
cd
的最大值為 7
(4) 僅有一組 ,,,abcd使得 ac bd之值最大
(5) 僅有一組 ,,,abcd使得行列式 ab
cd
之值最大
三、選填題（占 14 分）
說明：1.第A與第 B題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號
(10–15)。
2.每題完全答對給 7分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 若坐標空間中通過點 (1,3, 2)A、(5,2,0)B且與直線 123
121
xyz
平行的平面方程
式為 1ax by cz，則 (,,)abc = ( ○10
,○11
○12
,○13
)。
指考參考試卷 第 6 頁
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B. 同時擲一枚均勻硬幣與一顆公正骰子，若硬幣擲出正面，可得骰子點數的 30 倍
獎金，若硬幣擲出反面，可得骰子點數的 10 倍獎金（單位：元）。則擲一次硬
幣與骰子的獎金期望值為 ○14
○15
元。
─ ─ ─ ─ ─ ─以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─
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第貳部分：非選擇題（占 24 分）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）
與子題號（(1)、(2)、(3)），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至給零
分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分
標於題末。
一、設 ()
f
x為實係數三次多項式。已知
(i) 當 02x時， () 0fx
；而 () 0fx
對所有其他
x
成立；
(ii) ( )
f
x的圖形在反曲點的切線斜率為 3
。
(1) 試求 ()
f
x
。（ 7分）
(2) 若()
f
x又滿足 2
0() 0fxdx
，試求 ()
f
x。（ 5分）
二、坐標平面上有一序列的點 11
(,)ab 、22
(,)ab、33
(,)ab 、…，已知
1
1
31
22
13
22
nnn
nnn
aab
bab
對所有的正整數 1, 2, 3,n
都成立。請回答下列問題。
(1) 試求二階方陣
A
使得 21
21
aa
A
bb
。（ 3分）
(2)
A
如(1)，試求最小正整數 n，使得 10
01
n
A
。（ 4分）
(3) 若100 100
(,)(1,2)ab ，試求 11
(,)ab 。（ 5分）