大學入學考試中心
110年試辦考試（適用於108課綱）
數學
A考科
作答注意事項
考試時間：
100分鐘
作答方式：
˙選擇（填）題用
2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用
修正液（帶）。
˙除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正
時，可以使用修正液（帶）。
˙考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響
成績並損及權益。
˙答題卷每人一張，不得要求增補。
˙選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀
下面的例子。
例：若答案格式是
，而依題意計算出來的答案是 ，則考生必須分別在答題卷上
的第
18-1 列的 與第 18-2 列的 劃記，如：
例：若答案格式是
，而答案是
時，則考生必須分別在答題卷的第
19-1 列
的
與第 19-2 列的 劃記，如：
選擇（填）題計分方式：
˙單選題：每題有
n
個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該
題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。
˙多選題：每題有
n
個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所
有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯
k
個選項者，得該題
2
n
k
n
的分數；但得分
低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
˙選填題每題有
n
個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。
3
8
7
50
3
18-2
18-1
8
7
19-1 19-2
50
18-1
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
18-2
19-1
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
19-2
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第 壹 部 分 、 選 擇 （ 填 ） 題 （ 占
85分 ）
一 、 單 選 題 （ 占
30 分 ）
說明：第
1 題至第 6 題，每題 5 分。
1. 試問
log(2
3)
,
log(2
3)
,
log(2
3)
,
log(2
3)
,
log2 log 3
這 五 個 數 中 共 有 多 少 個
不同的實數？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個
2. 試問有多少個整數
x
滿足不等式
10
60
10
x
x
x
？
(1) 8 個
(2) 9 個
(3) 10 個
(4) 11 個
(5) 20 個
3. 已 知 坐 標 平 面 上 ABC
的 一 頂 點
(2,3)
A
， 且 知 過 另 兩 頂 點
,
B C
的 中 線 方 程 式 分 別 為
8
5
14
x
y
與
7
6
x
y
，試問過頂點
A
的中線斜率為下列哪一選項？
(1)
7
2
(2)
1
2
(3)
2
7
(4)
2
7
(5)
7
2
4. 設
E
為 坐 標空 間 中 通過
(1,0, 1)
和 (1, 1,0)
兩 點 且與 直 線
1
13
19
2
2
7
x
y
z
平行的平面。
在下列選項中，試選出與
E
所夾銳角為最小的平面方程式。
(1)
0
x
(2)
0
y
(3)
0
z
(4)
0
x y
(5)
0
y z
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- 2 -
5. 甲、乙、丙三人到旋轉壽司餐廳用餐。餐廳現有 10 種壽司，每種壽司僅剩 2 盤。假設
每種壽司每個人至多只能拿
1 盤，用完餐後發現每種壽司都至少有人拿了 1 盤。試問
三人拿取壽司的組合共有幾種？
(1)
10
2
(2)
10
5
(3)
10
6
(4)
10
7
(5)
10
8
6. 試問有多少個實數
x
滿足
1
sin 2
cos 2
sin
2
x
x
x
且
0
2
x
？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個
二 、 多 選 題 （ 占
30 分 ）
說明：第
7 題至第 12 題，每題 5 分。
7. 甲乙兩牧場記錄了 7 年畜養牛、豬的數目，其畜養牛、豬數目與時間資料分別如下圖所
示（
1 單位代表 100 隻）。
依據上述資料，試選出正確的選項。
(1) 甲、乙牧場的牛隻數目都逐年增加
(2) 甲牧場牛隻數目的中位數為 10 單位
(3) 甲牧場牛隻數目的標準差小於 3 單位
(4) 乙牧場豬隻數目的算術平均數最接近的整數單位為 15
(5) 甲牧場牛與豬隻數目的相關係數大於乙牧場牛與豬隻數目的相關係數
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8. 已知 ( )
f x 為實係數二次多項式，且
( )
y
f x
的圖形開口向下，頂點在
(2,3) ；而 ( )
g x 為實
係數三次多項式，且
( )
y g x
的圖形最右方會下降到負無限大，對稱中心在
(2, 1)
。試選
出正確的選項。
(1)
(
)
y
f
x
的圖形開口向上
(2)
(
)
y g x
的圖形最右方會上升到正無限大
(3)
(
)
y g x
的圖形對稱中心在 ( 2,1)
(4)
( )
( )
y
f x
g x
的圖形對稱中心在
(2,2)
(5)
( )
y
f x
的圖形與
( )
y g x
的圖形在
2
x
時恰有一個交點
9. 在 ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，且
BC
a
。試選出正確的選項。
(1)
1
a
(2) 若 ABC
為鈍角三角形，則
13
a
(3) 可以找到一個
a
，使得
B
A
C
(4) 可以找到一個
a
，使得
ABC
的外接圓半徑為
2
(5) 可以找到一個
a
，使得
ABC
的外接圓半徑為
2021
10. 某公司舉辦抽獎活動，發出編號 001 到 640 共 640 張彩券。抽獎方式為先由 0 到 9 十
個 數 字中 隨 機 抽 出一 個 作 為 中獎 號 碼 的 百位 數 字 ， 再依 同 樣 方 式依 序 抽 出 十位 數 字 與
個位數字。每次抽數字皆不受前面已抽結果影響，且
0～9 任一數被抽出的機率皆為
1
10
。
如果抽出的號碼不在
001～640 之間，則依前述方式重新再抽三個數字作為中獎號碼；
若連續三輪都抽不出中獎號碼，則此抽獎活動無人中獎。試選出正確的選項。
(1) 123 號與 321 號中獎機率相同
(2) 每個號碼中獎機率皆為
1
640
(3) 若有人中獎，則此中獎號碼的百位數字為 1 與百位數字為 6 的機率相同
(4) 抽到第三輪且有人中獎的機率大於 5%
(5) 此抽獎活動有人中獎的機率小於 93%
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11. 設坐標平面上原點為 O ，點
1
2
( , )
A a a
、
1
2
( , )
B b b
滿足
1
2
1
2
2
a
a
b
b
，而點
,
C D
滿足
OC
OA
OB且
OD k
OA (2
)
k
OB，其中
1
k
為一實數。試選出正確的選項。
(1) 若
, ,
O A D
三點共線，則
2
k
(2)
AB 與
CD平行
(3)
OAC
的面積為
2
(4)
ABD
的面積與
k 無關
(5)
ACD
的面積與
k 無關
12. 坐標空間中一正立方體 ABCD EFGH
（ 如 圖）。四 個 頂點的坐 標 為
(0,0,0)
A
、
(1,0,0)
B
、
(0,1,0)
D
、
(0,0,1)
E
，其中
ABCD 為正立方體的一個面（不考慮其延伸平面）。考慮方向向
量為
(1,2,3) 且通過點
1 1 1
( , , )
2 3 4
P
的直線
L
，試選出正立方體中會與
L
有交點的面。
(1)
ABFE
(2)
ADHE
(3) BCGF
(4) CDHG
(5) EFGH
三 、 選 填 題 （ 占
25 分 ）
說明：第
13 題至第 17 題，每題 5 分。
13. 某公司趣味競賽共有 32 位同仁參加，競賽採單淘汰制，每位輸了一場就淘汰。每場沒
有和局，勝者晉級下一 輪。公司提供每位參加 同仁基本獎
1 千元，第一輪獲勝者另加獎
金
2 千元，第二輪獲勝者再加獎金 4 千元，依此方式，每輪獲勝獎金為前一輪的 2 倍，
例如第三輪才輸的同仁共可得到
7 千元，則最後一場獲勝者總共可得 千元。
13-1 13-2
E
F
H
G
A
D
B
C
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14. 某品牌手機的電池由 A,B 兩家廠商製造，其中 40%是 A 廠製造、60%是 B 廠製造。已
知
A 廠的電池有 90%的機率可以正常使用超過一年，而 B 廠的電池有 75%的機率可以
正常使用超過一年。假設某甲有此品牌的手機且電池已經正常使用超過一年，則某甲手
機的電池是
A 廠製造的機率為 。（化為最簡分數）
15. 已知
1
a
，且知當 0
2
x
時，
2
3
3
x
x
y a
的最小值為
27
8
，則
a
。
（化為最簡
分數）
16. 在坐標平面上，任給共線三點
,
A,B C
且
A,B
在
C 點的同側，若以 C 為圓心、半徑為
r
的圓
滿 足 （ 線 段 乘 積 ）
2
CA CB r
， 則 稱
A,B
互 為 對 圓
的 反 演 點 。 設
為
2
2
2
6
2 0
x
y
x
y
，則點 (2 2)
A ,
對圓
的反演點
B
的坐標為（
, ）。
17. 設
, , ,
A B C D
為空間中正四面體的四個頂點，另有一點
E
與點
D
分別在
ABC
所在平面的
兩側，且（向量內積）
AE
AB ＝
AE
AC ＝0。則 cos DAE
。（化為最簡根
式）
14-1
14-2
17-2
17-1
17-3
16-1
16-2
15-3
15-1
15-4
15-2
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第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （ 占
15 分 ）
說明︰本部分共有
1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題
與「非選擇題作圖部分」使用
2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用
修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，
否則將酌予扣分。
18-20 題為題組
以
T
表由
a
b
b
a
定義的平面線性變換，其中
a
、
b 為實數。試回答下列問題。
18. 若
T
將點
(0,1) 映射到直線
5
13
y
x
上一點，試問下列哪一選項是正確的？（單選題，
3
分）
(1)
5
13
a
b
(2)
5
13
a
b
(3) 5
13
a b
(4) 5
13
a b
(5) 5
13
a b
19. 若
T
將直線
1
y x
上的點都映射到直線
5
13
y
x
上，試求
a
、
b 。（非選擇題，
6 分）
20. （承 19 題）設 P,Q 為平面上兩相異點，令
( )
P' T P
、
( )
Q' T Q
，試說明
P' Q'
PQ
為定值，
並求此值。（非選擇題，
6 分）
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為
a
， 公 差 為
d
的 等 差 數 列 前
n
項 之 和 為
(2
(
1) )
2
n a
n
d
S
首 項 為
a
， 公 比 為
(
1)
r r
的 等 比 數 列 前
n
項 之 和 為
(1
)
1
n
a
r
S
r
2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ：
sin(
) sin cos
cos sin
A B
A
B
A
B
cos(
) cos cos
sin sin
A B
A
B
A
B
tan
tan
tan(
)
1 tan tan
A
B
A B
A
B
3.
ABC
的 正 弦 定 理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（
R
為
ABC
外 接 圓 半 徑 ）
ABC
的 餘 弦 定 理 ：
2
2
2
2 cos
c
a
b
ab
C
4. 一 維 數 據
1
2
: , ,
,
n
X x x
x
，
算 術 平 均 數
1
2
1
(
)
X
n
x
x
x
n
標 準 差
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
[(
)
(
)
(
) ]
[(
)
]
X
X
X
n
X
n
X
x
x
x
x
x
x
n
n
n
5. 二 維 數 據
1
1
2
2
( , ) : ( , ),( ,
), ,( ,
)
n
n
X Y
x y
x y
x y
，
相 關 係 數
1
1
2
2
,
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
X
Y
X
Y
n
X
n
Y
X Y
X
Y
x
y
x
y
x
y
r
n
迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式
,
(
)
Y
Y
X Y
X
X
y
r
x
6. 參 考 數 值 ：
2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,
3.142
7. 對 數 值 ： log 2 0.3010, log3 0.4771, log5 0.6990, log 7 0.8451