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臺灣警察專科學校專科警員班三十三期（正期學生組）新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 設a, b均為實數且滿足
2
2 4 (3 1) 0ab ab+−+ −− =
，則
ab+=
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 。
2.
9 2 20+
最接近哪一個正整數？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 。
3. 將2
2 41
yx x
= ++
的圖形向左平移 2個單位，再往上平移 3個單位，得到函數
()y fx=
的圖形，則
( 2)f−=
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
4. 若
a
為實數且
1i= −
，已知方程式
32
( 1) 0x x i xai+ + − + +=
有實數解，則
a
=
(A)
1−
(B) 0 (C) 1 (D) 3 。
5. 化簡
( ) ( )
33
22
35 35
−−
−+
之值為
(A)
1
8
(B)
22
(C) 4 (D) 8 。
6. 設
0a>
，且
1
4aa
−
+=
，則
22
aa
−
+
=
(A) 8 (B) 14 (C) 16 (D) 18 。
7. 已知
n
為正整數且
2n
為100 位數，若
log2 0.3010=
，則
n
可能之值為
(A) 320 (B) 330 (C) 340 (D) 350 。
8. 已知
1234
01 23 1
45
n
n
CCCC C
−
+++++ =
，則正整數
n
之值為
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 。
9. 袋內有 3個相同白球、4個相同黑球、5個相同紅球(共12 個球)，每次取一球不放回，依序取 4次，則恰
取2次紅球的機率為
(A)
54
12 11
×
(B)
57
22
12 11 10 9
CC
×××
(C)
5476
12 11 10 9
×××
(D)
4
25476
12 11 10 9
C×××
。
10. 已知
n
個數據
12
,,,
n
xx x
的算術平均數為 25、中位數為 24、全距為 23、標準差為 12。若
25
ii
yx=−+
，其
中
1, 2, ,in=
。設
12
,,,
n
yy y
的算術平均數為
a
、中位數為
b
、全距為
c
、標準差為
d
，請選出正確的選項。
(A)
50a= −
(B)
48b= −
(C)
41c= −
(D)
24d=
。
11. 已知有兩個等差數列的第
n
項之比為
( )
23n−
：
( )
53n+
﹐則此兩數列的前
11
項和之比為
(A) 2:5 (B) 3:11 (C) 11:38 (D) 19:58 。
12. 化簡
10 2
1
(2 1)
k
k
=
−
∑
之值為
(A) 1330 (B) 2100 (C) 2470 (D) 2485 。
13. 已知
12
tan 5
θ
= −
，請選出正確的選項。
(A) 12
sin
13
θ
= (B) 12
sin
13
θ
= − (C) 12
cos
13
θ
= (D) 120
sin2
169
θ
= 。
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14. 設多項式
( )
4
2
() 2 1fx x= − ，則
()fx
除以
cos15x
°
−
的餘式為
(A)
1
16
(B)
3
15
(C)
3
16
(D)
9
16
。
15. 在三角形ABC中，已知
5AB =
，
3AC =
﹐∠A=120°，則
BC
的長度為
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。
16. 在邊長為 1的正三角形
ABC
中，
CA AB⋅
之值為
(A)
1
2
−
(B)
1
2
(C)
3
2
−
(D)
3
2
。
17. 已知兩非零向量
a
與
b
垂直，且
||||ab
=
。若兩向量
6ra b+
與
2ab−
亦垂直，則實數
r
之值為
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 。
18. 已知
( )
,ab為圓
22
: ( 1) ( 1) 4Cx y− +− =
上的點，則
22
( 4) ( 5)ab− +−
的最大值為
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 。
19. 已知圓 22
:1
Cx y
+=
與直線
:3 4Lx yk−=
相切，則實數
k=
(A)
1±
(B)
5±
(C)
7±
(D)
10±
。
20. 已知空間中三點坐標分別為
( )
1, 0, 3A−﹐
( )
4,2, 3B−−
﹐
( )
1, 6, 0C−，則三角形
ABC
的形狀為
(A) 等腰銳角三角形 (B) 等腰鈍角三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 正三角形 。
21. 在空間中，已知
a
( )
2, 4,5= −
﹐
b
( )
4, 2,4= −
﹐則
a
在
b
上的正射影長為
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 。
22. 空間中兩平面
1
:E
23x yz− +=
和
2
:E
23xy z+− =
的夾角為
(A)
30°
與
150°
(B)
45°
與
135°
(C)
60°
與
120°
(D)
90°
。
23. 空間中兩直線
1
33
:1 23
xyz
L−−
= =
與
2377
:1 32
xyz
L−+−
= =
−
的關係為
(A) 重合 (B) 平行 (C) 恰交於一點 (D) 歪斜 。
24. 若
A
、
B
、
C
均為二階方陣，
I
為二階單位方陣，
O
為二階零方陣，請選出正確的選項。
(A) 2
( )( )AIAI A I+ −= −
(B) 22 2
() 2A B A AB B
+=+ +
(C) 若
AB AC=
，則
BC=
(D) 若
AB O=
，則
AO=
或
BO=
。
25. 已知
,,,abcd
均為實數，且二階方陣
ab
A
cd
=
滿足
22
31
A
=
，
31
45
A
=
，則
abcd+++ =
(A)
3−
(B) 3 (C) 21 (D) 27 。
26. 一箱子中有 9個燈泡，已知當中只有 1個是壞的，其餘都是好的。今從此箱子中任取 3個燈泡測試，則取
出的燈泡中，壞燈泡個數的期望值為
(A)
1
9
(B)
2
9
(C)
1
3
(D)
2
3
。
27. 投擲一個公正的硬幣 10 次，若恰好在第 10 次出現第 3次正面的機率為
1024
x
，則
x=
(A) 36 (B) 45 (C) 84 (D) 120 。
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28. 投擲兩個公正的硬幣 96 次，隨機變數X表示兩個硬幣都出現正面的次數，則X的標準差為
(A) 3 (B)
23
(C)
32
(D)
26
。
29. 有一個研究想要了解參與某活動的滿意度，在抽樣調查後發現：在 95%的信心水準之下，滿意度的信賴區
間為
[0.45, 0.55]
，則此研究共調查幾個樣本？
(A) 100 (B) 400 (C) 1000 (D) 2500 。
30. 某次數學競賽共 1000 人參加，已知該競賽全體成績平均 60 分、標準差 10 分，且成績呈常態分布。若甲
生於該競賽獲得 80 分，則甲生於此次競賽的名次最接近第幾名？
(A) 2 (B) 25 (C) 100 (D) 160 。
貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部
答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 設
,ab
均為實數，且二次函數
( ) ( )
2
1f x ax b= −+
滿足
( )
30
f>、
( )
40f<
，請選出正確的選項。
(A)
0a<
(B)
0b<
(C)
( )
00f>
(D)
( )
10
f
−>
(E)
( )
20f−>
。
32. 在坐標平面上，已知
()y fx=
的三次多項式函數通過
( 1,0),(0, 2),(2,0),(3,40)−−
，則下列哪些選項為多項式
()fx
的因式？
(A)
1x+
(B)
1x−
(C)
2x+
(D)
2x−
(E)
31x+
。
33. 請選出正確的選項：
(A)
( ) ( ) ( )
6 66
log 7 8 log 7 log 8+= ×
(B)
6 66
7
log log 7 log 8
8
= − (C)
1
1
66
log 7 log 7 0
−
−
+=
(D)
6 36
log 7 log 49=
(E)
77
log 8 log 6
68=
。
34. 從3位女生與 4位男生中(共7位)選出 5人，並規定選出的人當中女生至少要 2位，則選法有幾種？
(A)
35
23
CC
(B)
34 34
23 32
CC CC+
(C)
7 34
5 14
C CC−
(D)
75
23
CC
(E)
34 34
23 32
PP PP+
。
35. 設
,AB
為樣本空間
S
中的兩事件，且
( )
3
4
PA=
、
( )
3
8
PB=
、
( )
7
8
PA B=
，請選出正確的選項。
(A)
1
()
4
PA B=
(B)
1
(|) 3
PB A=
(C)
1
(|) 3
PAB=
(D)
A
與
B
為互斥事件 (E)
A
與
B
為獨立事件。
36. 已知有十位同學在某次段考的數學科成績(X)與自然科成績(Y)之結果如下表所示﹕
座號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數學科成績
(X)
70
80
90
80
70
80
60
40
80
70
自然科成績
(Y)
65
74
83
74
65
74
56
38
74
65
關於這十位同學於此次段考的數學科成績(X)與自然科成績(Y)，請選出正確的選項。
(A)
92
10
YX= +
(B)
Y
之平均數=
9(
10
X×
之平均數
2)+
(C)
Y
之中位數=
9(
10
X×
之中位數
2)+
(D)
X
的標準差與
Y
的標準差相同 (E)
X
與
Y
的相關係數為 1 。
37. 設n
a
<>
為每一項均為實數的等差數列，
n
S
為此數列的前
n
項之和，已知
2014
0S=
且
103
103a=
﹐請選出正確的
選項。
(A)
1
1a=
(B) 1007 0a= (C)
2 2013
0aa+=
(D) 1912 103a= −
(E)
103 104 1913
0aa a+ ++ >
。
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38. 在坐標平面中，已知方程式 22 2
4 2 11 0x y x yk k+ − + − −+ =的圖形為一圓，則實數
k
可能的值為
(A)
5−
(B)
1−
(C) 0 (D) 1 (E) 5 。
39. 下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖
(A)
1004
0205
0036
(B)
1114
0225
0036
(C)
1234
2468
1001
(D)
1230
1221
0005
(E)
1234
4321
0000
。
40. 投擲一個公正的硬幣 3次，A表示至少有一次正面的事件，B表示第二次是正面的事件，C表示三次為同一
面的事件，請選出正確的選項。
(A)
7
() 8
PA=
(B)
1
() 4
PC =
(C)
1
()
2
PA B=
(D) A與B為獨立事件
(E) B與C為獨立事件 。
題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案
1D1C1D1A1B
2B2C2B2B2C
3D3B3D3D3A
4C4C4B4A4B
5B5C5D5A5D
6A6B6B6B6A
7C7D7B7B7C
8C8C8C8C8B
9D9C9C9D9A
10 C 10 B 10 D 10 D 10 D
11 D 11 C 11 B 11 B 11 B
12 B 12 A 12 D 12 A 12 C
13 D 13 D 13 D 13 送分 13 B
14 C 14 A 14 D 14 D 14 A
15 A 15 B 15 D 15 D 15 D
16 B 16 A 16 C 16 A 16 C
17 B 17 C 17 C 17 C 17 A
18 A 18 D 18 B 18 C 18 C
19 A 19 C 19 B 19 B 19 D
20 C 20 C 20 D 20 C 20 D
21 C 21 A 21 D 21 D 21 C
22 B 22 D 22 D 22 C 22 B
23 C 23 B 23 C 23 D 23 A
24 D 24 B 24 A 24 A 24 C
25 B 25 D 25 B 25 B 25 B
26 A 26 C 26 C 26 C 26 A
27 B 27 A 27 A 27 A 27 A
28 D 28 B 28 A 28 C 28 D
29 C 29 D 29 C 29 B 29 B
30 A 30 C 30 D 30 B 30 C
31 ABD 31 ADE 31 ACD 31 BC
32 CE 32 AC 32 ADE 32 BD
33 BDE 33 BCDE 33 BDE 33 A
34 ABDE 34 AE 34 BC 34 BD
35 ABD 35 AC 35 AB 35 ADE
36 ABD 36 AB 36 ABCE 36 BCD
37 BCDE 37 BC 37 CD 37 ABD
38 ACD 38 ABDE 38 AE 38 AB
39 BDE 39 ABC 39 AB 39 C
40 BCD 40 AC 40 ABCE 40 AD
製表單位：資訊室
製表日期：103/05/27
專科警員班第33 期正期組 – 乙組標準解答
國文標準答案 中外歷史標準答案 中外地理標準答案 數學乙標準答案 英文標準答案