加載中. ..
PDF
臺灣警察專科學校專科警員班第三十期（正期學生組）新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 設ba,都是正整數，且 330],[,176
=
=+ baba ，則 ba,的最大公因數為何？
(A)11 (B)22 (C)33 (D)66 。
2. 設3413+ba += ，其中a為整數， 10
<
≤
b，則a之值為何？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 。
3. 若∑
=+
n
kkk
1)1( 121
20
=，則正整數n之值為何？
(A)10 (B)20 (C)30 (D)40 。
4. 設
x
為實數，若無窮級數∑
∞
=+
1
)
12
(
n
n
x
x是收斂級數，則
x
的範圍為何？
(A) 31 <<− x (B) 13
−
<
<
−x (C) 3
1
1<<− x (D) 1
3
1<<− x 。
5. 設dcba ,,, 為實數，且 )(xf 320143 23 −+−= xxx dxcxbxa +−+−+−= )1()1()1( 23 ，則c之值為何？
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 。
6. 設方程式 1)3log()2log( =xx 之兩根為
β
α
,，則
αβ
之值為何？
(A) 6
1 (B) 5
1 (C)5 (D)6 。
7. 已知 4771.03log,3010.02log == ，若 30
25 是m位正整數，且首位數字為n，則數對
=
),( nm ？
(A) )8,41( (B) )9,41( (C) )8,42( (D) )9,42( 。
8. 化簡 )360tan( )180tan(
)270sin( )180cot()90cos(
θ
θ
θ
θ
θ
−°
+
°
+
−°
+°−° 之值為何？
(A) 2− (B)1 (C)0 (D)2 。
9. 設ABCΔ中， 5,3,7 === ABCABC ，則 ABC
Δ
面積為何？
(A) 2515 (B) 4515 (C) 2315 (D) 4315 。
10. 設ABCΔ中， °=∠== 120,3,2 AACAB ，則
A
∠
的內角平分線長為何？
(A) 6
5 (B) 5
6 (C) 3
6
5 (D) 3
5
6 。
11. 設4sec,3tan,2cos,1sin
=
=== dcba ，則 dcba ,,, 中最大的數為何？
(A)a (B)b (C)c (D)d 。
12. 設
πβ
π
π
α
<<<< 2
,
2
0，且 5
3
cos,
2
2
sin −==
βα
，則 )cos(
β
α
+
之值為何？
(A) 1027 (B) 10
2 (C) 10
2
− (D) 1027
− 。
13. 設坐標平面上兩向量 ba v
v,，若 61||,5||,4|| =+== baba
v
v
v
v
，則a
v
與b
v
的夾角為何？
(A) °30 (B) °60 (C) °201 (D) °150 。
第1頁（請接背面）
14. ABCΔ中，D點在AB 上，且 1:2: =DBAD ，
E
點在AC 上，且 1:3: =ECAE ，
BE
與CD 交於
P
點，設
P
A
vBAx v
=CAy v
+，則數對
=
),( yx ？
(A) )
5
3
,
5
2
( (B) )
5
2
,
5
3
( (C) )
2
1
,
3
1
( (D) )
3
1
,
2
1
( 。
15. 若一個正四面體相鄰兩面的夾角為
θ
，則
θ
sin 之值為何？
(A) 3
1 (B) 3
2 (C) 322 (D) 3
3 。
16. 設)3,2,3(),3,3,2(),1,1,1( CBA 為空間中三點，則 ABC
Δ
之面積為何？
(A) 2
10 (B) 2
17 (C) 2
23 (D) 2
29 。
17. 自點 )6,5(P到圓 0442
22 =−−−+ yxyx 所作切線段的長為何？
(A) 11 (B) 17 (C) 23 (D) 61 。
18. 設直線 0943 =++ yx 與圓 25)2()1( 22 =−+− yx 交於 BA,兩點，則
A
B之長為何？
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 。
19. 設拋物線 0942: 2=++−Γ yxx ，則
Γ
的正焦弦長為何？
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 。
20. 橢圓 01824 22 =++++ yxyx 上任一點到兩焦點的距離和為何？
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 。
21. 求∑
=
10
33
n
n
C之值為何？
(A) 10
3
C (B) 10
4
C (C) 11
3
C (D) 11
4
C 。
22. 將∑
=
−
10
1
)1(
k
k
x乘開合併同類項後，則 2
x項的係數為何？
(A) 11
2
C (B) 11
2
C− (C) 11
3
C (D) 11
3
C− 。
23. 某次考試全班數學成績不佳，總平均55分，標準差12分。老師決定全班每人數學加15分，則全班加分後
的標準差為多少分？
(A)6 (B)12 (C)15 (D)24 。
24. 若某校1000位學生的數學段考成績呈現常態分配，其中平均分數是70 分，標準差是5分，則全校約有多少
人數學成績低於60 分？（設已知常態分配的資料約有 %95 的觀測值，落在距平均數左右各兩個標準差的
範圍內）
(A)25 (B)50 (C)100 (D)200 。
25. 根據過去紀錄可知，某燈泡工廠檢驗其產品的過程中，將良品檢驗為不良品的機率為 1.0 ，將不良品檢驗
為良品的機率為 2.0 。又知該產品中，良品占 %90 ，不良品占 %10 。若已知一件產品被檢驗為良品，則該
產品實際上為不良品之機率為何？
(A)83
2 (B)83
81 (C)17
8 (D)17
9 。
26. 兩變數
X
與
Y
的25 個樣本點為 ),(,),,(),,( 25252211 yxyxyx L，若
X
與
Y
的標準差分別為 10,5
=
=
YX SS ，且
X
與
Y
的相關係數 88.0=r，則變數
Y
對變數
X
的迴歸直線的斜率為何？
(A) 76.1 (B) 88.0 (C) 44.0 (D) 22.0 。
第2頁（請接下一頁）
27. 若矩陣 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=11
11
A，則 =
8
A？
(A) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
160
016 (B) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−016
160 (C) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
320
032 (D) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
032
320 。
28. 若5
333
222
111
=
cba
cba
cba
，則
33333
22222
11111
5323
5323
5323
ccbba
ccbba
ccbba
−+
−+
−+
之值為何？
(A)5 (B)15 (C)30 (D)45 。
29. 設點 ),,( zyxP 在球面 03224
222 =−−−−++ zyxzyx 上，則 zyx 22 −
−
的最大值為何？
(A) 11− (B) 9− (C)7 (D)9 。
30. 設)(xf 54
2−+= xx 且03 ≤≤− x，則 ))(( xff 的最小值為何？
(A) 9− (B) 5− (C)0 (D)40 。
貳、多重選擇題：（一）十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二） 每題五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全
部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 若數列 >< n
a為一等差數列且 1,4 75
=
=
aa ，則下列哪些敘述正確？
(A)首項 10
1=a (B)公差為 2
3
−
(C)數列自第8項開始為負 (D)前n項總和為最大時，則 8
=
n
(E)前n項總和為 105−時，則 21
=
n 。
32. 下列哪些敘述正確？
(A)設多項式 )(xf 除以 12 −x的商為 )(xQ ，餘式為
r
，則 )(xf 除以 2
1
−x的商為 )(2 xQ ，餘式為
r
(B)設)(xf 為實係數多項式， ba,為實數，且 ba
<
，若 0)(
=
xf 在ba,間至少有一實根，則 0)()(
<
bfaf
(C)實係數奇次多項式方程式至少有一實根
(D)設三次多項式 dcxbxaxxf +++= 23
)( ，若 0)(
=
xf 有一根 i21
+
，則必有另一根i21
−
(E)設三次多項式 dcxbxaxxf +++= 23
)( ，若 dcba ,,, 皆為整數且 0)( =xf 有一根 31+，則必有另一根
31− 。
33. 設10 <<< ba ，則下列哪些選項為真？
(A) 1log >b
a (B) 0log >b
a (C) 1log >a
b (D) 0log
<
a (E) 0log >b 。
34. 已知 k=°− )160tan( ，下列哪些選項正確？
(A) 2
1
20sin k
k
+
−
=° (B) 2
1
1
20cos k+
=°
(C) k
1
20cot =° (D) 2
120sec k+=°
(E) kk
−
+
=° 2
1
20csc 。
第3頁（請接背面）
35. 設,cos2)
6
sin(2)( xxxf −+=
π
2
0
π
≤≤ x，若 )(xf 在
α
=
x
處有最大值
M
，在
β
=
x處有最小值m，下列哪
些選項正確？
(A) 2
π
α
= (B) 1=
M
(C) 3
π
β
= (D) 1−=m (E) 2
=
−
mM 。
36. 已知 1
3=x有3個根 2
,,1
ωω
，其中 3
2
sin
3
2
cos
π
π
ω
i+= ，則下列哪些選項正確？
(A) 1
30 =
ω
(B) 01 2=++
ωω
(C) )1)(1( 2
ωω
−− 3= (D) 3)1)(1( 2=++
ωω
(E) 1
11
112=
−
+
−
ωω
。
37. 在空間中，下列哪些選項正確？
(A)平行於同一平面的兩相異直線必互相平行
(B)垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行
(C)過直線
L
外一點
P
，恰有一直線平行於直線
L
(D)過直線
L
外一點
P
，恰有一平面垂直直線
L
(E)過平面
E
外一點
P
，恰有一平面與平面
E
垂直 。
38. 設方程組⎩
⎨
⎧
=+
=+
222
111 cybxa
cybxa ，且 ,
22
11 ba
ba
=Δ
22
11
22
11 ,ca
ca
bc
bc yx =Δ=Δ ，則下列哪些選項正確？
(A)若0≠Δ ，則方程組必有解 (B)若0
21
=
=
cc ，則方程組必有解
(C)若0=Δ ，則方程組有無限多解 (D)若0
=
Δ
且0,0 =Δ=Δ yx ，則方程組有無限多解
(E)若0=Δ 且0
22 ≠Δ+Δ yx ，則方程組無解 。
39. 相異書本9本，依下列條件分配的方法數，下列哪些選項正確？
(A)平分成3堆，有 ！ 3
3
3
6
3
9
3CCC 種方法
(B)平分給3人，有 3
3
6
3
9
3CCC 種方法
(C)依2,2,5 分成三堆，有 ! 3
! 2
2
2
4
2
9
5×
CCC 種方法
(D)一人得5本，一人得3本，一人得1本，有 1
1
4
3
9
5CCC 種方法
(E)一人得5本，一人得2本，一人得2本，有
! 2! 3
2
2
4
2
9
5×CCC 種方法 。
40. 設CBA ,, 均為二階方陣，且O為二階零方陣，
I
為二階單位方陣，下列哪些選項錯誤？
(A)
B
AAB =恆成立 (B) 22
))(( BABABA −=−+ 恆成立
(C)若OA =
2，則 OA = (D)若
I
A
=
2，則
I
A=或
I
A−=
(E) ACAB =且OA ≠，則 CB = 。
第4頁
國文標準答案
題號 答 案
1 D
2 A
3 B
4 C
5 C
6 D
7 C
8 B
9 D
10 C
11 A
12 D
13 B
14 A
15 A
16 D
17 C
18 D
19 B
20 A
21 B
22 D
23 A
24 B
25 A
26 A
27 C
28 B
29 B
30 D
中外歷史標準答案
題號 答 案
1 B
2 B
3 C
4 C
5 D
6 D
7 A
8 B
9 D
10 D
11 B
12 C
13 A
14 A
15 B
16 C
17 A
18 D
19 C
20 D
21 C
22 D
23 B
24 A
25 B
26 A
27 A
28 B
29 C
30 B
31 CDE
32 AD
33 BCDE
34 BC
35 CD
36 ACD
37 ACDE
38 ACDE
39 BC
40 ABE
中外地理標準答案
題號 答 案
1 B
2 C
3 D
4 A
5 A
6 D
7 C
8 A
9 B
10 C
11 D
12 A
13 D
14 D
15 A
16 B
17 C
18 A
19 A
20 D
21 B
22 C
23 D
24 B
25 B
26 D
27 C
28 B
29 C
30 D
31 CDE
32 BD
33 ACDE
34 ABD
35 ABE
36 ACDE
37 ABC
38 AC
39 ADE
40 CDE
乙組數學標準答案
題號 答 案
1 B
2 D
3 B
4 D
5 A
6 A
7 C
8 A
9 D
10 B
11 A
12 D
13 B
14 C
15 C
16 B
17 C
18 D
19 B
20 B
21 D
22 C
23 B
24 A
25 A
26 A
27 A
28 D
29 C
30 C
31 ABCE
32 ACE
33 BCD
34 BCD
35 AD
36 ABCE
37 BCD
38 ABDE
39 ABE
40 ABCDE
英文標準答案
題號 答 案
1 C
2 A
3 D
4 C
5 B
6 B
7 A
8 D
9 A
10 B
11 B
12 C
13 B
14 D
15 A
16 C
17 A
18 D
19 C
20 B
21 D
22 B
23 C
24 A
25 D
26 A
27 D
28 C
29 C
30 B
31 BCE
32 ACE
33 ABE
34 BD
35 AC
36 BE
37 BCD
38 ADE
39 AB
40 ABCD