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臺灣警察專科學校專科警員班三十二期（正期學生組）新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 已知 n
a為等差數列，且 71a，則 13
1k
ka
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 。
2. 化簡 432
2 7 13 7 7 54 7 16
(A)
2 (B) 1 (C) 1 (D) 2 。
3. 投擲兩個公正的六面骰子，則出現點數和為 9的機率為
(A)
1
6 (B)
1
9 (C)
1
12 (D)
1
18 。
4. 已知 a﹐–6﹐12﹐…﹐–384 是一個等比數列(首項為a)，則此數列共有幾項？
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。
5. 已知log5 0.6990，將 32
5展開後可得到n位數，則n
(A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25 。
6. 已知整係數多項式 432
() 9fx x ax bx cx可分解成四個相異整係數一次因式的乘積，則 a
(A) 0 (B)
1 (C) 1 (D) 3 。
7. 四封不同的信，投入 A､B､C､D､E五個不同的郵筒中，且每個郵筒最多一封，則有幾種投法？
(A)
4! (B) 5! (C)
4
5 (D)
5
4 。
8. 請選出正確敘述的選項：
(A)
log21 (log3)(log7) (B) 10 1 9
333
(C)
2
2
22
log 3 log 3 (D)
39
log 2 log 4
。
9. 在
x
y平面上，點(cos2013 ,sin2013 )位於哪一個象限？
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 。
10. 方程式 2
2013 log 0xx 有n個實數解，則n
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
11. 滿足不等式
3
log 1 1x之整數 x值共有幾個？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
12. 已知在 1至1000 的正整數中，有n個數是 6的倍數但不是 5的倍數，則n
(A) 33 (B) 133 (C) 166 (D) 199 。
13. 在
x
y坐標平面上，若 (cos13 ,sin13 )A、(cos73 ,sin73 )B，則AB 的長為
(A)
1
2 (B)
2
2 (C)
3
2 (D) 1 。
14. 已知袋中有7個白球、n個黑球。若從袋中一次取出兩個球同為白球的機率是 7
22 ，則n
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 。
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15. 根據長期統計數據，6月份某地區的平均氣溫是攝氏 25 度，標準差是攝氏 3.5 度。已知當攝氏溫度為 x度
時，華氏溫度為 932
5
yx
度。若該月份該地區的平均氣溫是華氏a度，標準差是華氏b度。則ab
(A) 51.3 (B) 77 (C) 83.3 (D) 115.3 。
16. 已知在空間中的四點(0,0,0)、(,4,7)k
、(1,1,3)
、(3, 3,4)
共平面，則實數k
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
17. 若,
x
y均為實數，且滿足條件：430,2 0,25xy xy xy
，則下列敘述何者錯誤？
(A)
43
x
y的最小值為 0 (B) 43
x
y
的最大值為 10 (C) 3
x
y
的最小值為 0 (D)
3
x
y
的最大值為 5 。
18. 已知 2
sin 5
，且 2
，則 3
sin( )
2
(A)
1
5 (B)
1
5
(C)
2
5 (D)
2
5
。
19. 化簡無窮級數 1
12
3
n
n
n
之值，可得下列哪個選項？
(A)
3
2 (B)
5
2 (C)
5
3 (D) 不存在 。
20. 有一組數據
X
進行標準化後，得到新數據
X
，則下列選項何者錯誤？
(A)
X
的平均數為 0 (B)
X
的標準差為 1 (C)
X
的變異數為 1 (D)
X
的全距為 1 。
21. 將矩陣
136
123
31 8
a
b
c
進行數次的列運算後，得到矩陣
100 1
010 1
001 2
，則abc
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。
22. 已知 2012 2013
2
a
，log2012 log2013
2
b
，2012 2013
log 2
c
，則下列選項何者正確？
(A)
abc (B) cab (C) acb (D) cba 。
23. 甲、乙兩人打靶，根據以前的統計資料顯示，甲、乙兩人命中率分別為 3
4與4
5。若兩人的打靶互
不影響，且每人對同一靶面各射擊一發，則此靶面恰中一發的機率為：
(A)
3
4 (B)
4
5 (C)
1
20 (D)
7
20 。
24. 有三個村莊兩兩相距 3、5、7公里，已知有一口井到三村莊等距，則此井到其中一個村莊的距離為幾公里？
(A)
53
3 (B)
73
3 (C)
11 3
3 (D)
14 3
3 。
25. 已知a為整數，且 2(1)(1)yx a xa 的圖形恆在
x
軸的上方，則a有幾個整數解？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
26. 已知正三角形 ABC 之邊長為 2﹐且重心為 G﹐則 AG AB
＝
(A) 2 (B) 1 (C) 2
(D) 1
。
27. 在
x
y坐標平面上， sin
y
x與3
x
y
的圖形有幾個相異的交點?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。
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28. 若(,4,3 )ua c
、(,2,1)vb
、(1, 4 , )wca
﹐且u
與v
平行﹐u
與w
垂直，則b
(A) 8 (B) 16 (C) 1
(D) 2
。
29. 在
x
y坐標平面中，點 (2,2)P到圓 :C22
(2)(1)9xy
的切線長為
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 。
30. 已知 ,ab均為實數，且
32
22
lim 2
341
n
an bn n
nn
，則數對(,)ab為
(A)
(0,6) (B)(0,0) (C) (6,0) (D) (6,6) 。
貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部
答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 在
x
y坐標平面上，直線 32
:41
xt
L
y
t
,tR
，則下列哪些選項是正確的？
(A) 點(5,3)在直線L上 (B) 直線L的法向量為(3, 4)
(C) 直線L的方向向量為(3, 4) (D) 直線L的斜率為4
3
(E)L的直線方程是可以表示成3420xy
。
32. 已知 ( ) 2013
x
fx、2013
() loggx x，則下列哪些選項是正確的？
(A)
( (2013)) 1fg (B) ( (2013)) 2013gf
(C)
(2013) (14)
(2000) (1)
ff
ff
(D)
(2013) (2000) (15) (2)gggg
(E) 在
x
y平面中， ()
y
fx與()
y
gx
的圖形對稱於
y
x
的直線 。
33. 若
A
、
B
均為二階轉移矩陣，
I
為二階單位矩陣，則下列哪些選項是正確的？
(A)
A必有反方陣 (B) AB
必為轉移矩陣
(C)
A
B必為轉移矩陣 (D)
2
A必為轉移矩陣
(E)
det 2 4detAA 。
34. 某地區有甲、乙、丙三家電信業者，據調查顯示：
甲業者每年保留3
5的顧客，而轉向乙業者與丙業者的使用戶，分別占1
5與1
5；
乙業者每年保留3
5的顧客，而轉向甲業者與丙業者的使用戶，分別占1
5與1
5；
丙業者每年保留3
5的顧客，而轉向甲業者與乙業者的使用戶，分別占1
5與1
5；
已知最後電信市場會趨於穩定，則達穩定狀態時，甲、乙、丙三家電信業者的佔有率分別為a、b、c。
則下列哪些選項是正確的？
(A) 轉移矩陣為
0.6 0.2 0.2
0.2 0.6 0.2
0.2 0.2 0.6
(B)
1
6
a
(C)
1
3
b (D)
1
4
c
(E) abc 。
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35. 若19 3
1k
Nk
，則下列哪些選項是正確的？
(A) N是完全平方數 (B)
2
19
1k
Nk
(C)
N是3的倍數 (D) N是19 的倍數
(E)
N是5位數 。
36. 已知兩筆數據 X與Y的相關係數為 r，Y對
X
的回歸直線(最佳直線)的斜率為m。若 52XX
、31YY
，
且
X
與Y的相關係數r
，
Y對
X
的回歸直線(最佳直線)的斜率為m，則下列哪些選項是正確的？
(A)
11r (B) 11m
(C) rr
(D) mm
(E)
3
5
mm
。
37. 已知 32
()
f
xaxbxcxd為實係數三次多項式，則下列選項何者正確？
(A) 若842 0abcd，則 2
x
為()
f
x的因式
(B) 若(1 ) 0fi，則 ()yfx的圖形與
x
軸只有一個交點
(C) 若(2 3 ) 4 5
f
ii，則 (2 3 ) 4 5
f
ii
(D) 若方程式 () 0fx在1,2 之間有實數解，則 (1) (2) 0ff
(E) 方程式 () 0fx必有實數解 。
38. 某校高三有學生 1000 人，第一次段考全校平均 52 分，樣本標準差為 8分。已知成績呈現常態分布，
則下列敘述何者正確？（已知在常態分布的資料中，
x
為平均數，s為標準差，則區間(,)
x
sx s
內約有68%
個資料，區間(2,2)
x
sx s
內約有95%個資料，區間(3,3)
x
sx s
內約有99.7%個資料）
(A) 全校不及格（低於 60 分）的人數約有人 840 人
(B) 若甲生考 68 分，大概在全校排前 25 名
(C) 若乙生考 80 分，大概在全校排前 3名
(D) 全校排名約 840 名的成績大概是 44 分
(E) 全校排名約 160 名的成績大概是 60 分 。
39. 設實係數多項式 2
() 2
f
xxaxb，已知對任意實數t，(2 ) (2 )
f
tf t
恆成立，則下列選項何者正確？
(A) 2x是曲線 ()
y
fx的對稱軸 (B) (1) (5)
f
f
(C)
(1) (5)
f
f (D) 8a
(E) ()
f
x的最小值為 (2)
f
。
40. 連續投擲一個公正六面骰子 12 次，若隨機變數
X
表示出現點數為 6的次數，則下列選項何者正確？
(A)
X
的期望值為 1 (B)
X
的期望值為 2
(C)
X
的變異數為5
3 (D)
X
的變異數為 6
(E)
X
的標準差為5
3 。
專科警員班第 32 期正期組 – 乙組標準解答
國文標準答案 中外歷史標準答案 中外地理標準答案 乙組數學標準答案 英文標準答案
題 號 答 案 題 號 答 案 題 號 答 案 題 號 答 案 題 號 答 案
1 C 1 B 1D 1 D 1 D
2 D 2 C 2B 2 A 2 B
3 A 3 B 3
A
3B 3
A
4 B 4 B 4
A
4A 4 B
5 C 5 D 5B 5 B 5
A
6 B 6 C 6
A
6A 6 C
7 D 7 B 7
A
7B 7
A
8 C 8 A 8D 8 D 8 D
9 A 9 D 9C 9 C 9 C
10 A 10 A 10 D10 B 10 C
11 B 11 B 11 C 11 C 11 B
12 D 12 D 12 B12 B 12 D
13 C 13 B 13 B 13 D 13
A
14 D 14 B 14 D14 A 14 C
15 C 15 C 15 C15 C 15 B
16 B 16 C 16 B16 D 16
A
17 D 17 B 17 B17 C 17 B
18 A 18 C 18 B18 A 18 D
19 B 19 A 19 C19 B 19 C
20 C 20 B 20
A
20 D 20 C
21 D 21 D 21 B21 C 21
A
22 B 22 C 22 B22 C 22 C
23 C 23 D 23
A
23 D 23 C
24 B 24 A 24 B24 B 24 B
25 D 25 D 25 C25 C 25 B
26 A 26 A 26 C26 A 26 B
27 A 27 B 27
A
27 D 27 D
28 B 28 C 28 D28 A 28
A
29 D 29 A 29
A
29 B 29 D
30 C 30 C 30 C30 A 30 C
31 BE 31
A
C31 AC 31 BE
32 AC 32
A
C32 BCE 32
A
E
33 ACD 33
A
E33 CDE 33 CDE
34 ACE 34
A
BCD 34 ACE 34
A
BE
35 AB 35 CDE 35 ABDE 35 D
36 ADE 36
A
BC 36 AC 36 BDE
37 BE 37
A
BD 37 ABCE 37 B
38 BC 38 BCDE 38
A
BCDE 38 DE
39 BC 39
A
CD 39 ACDE 39 E
40 ADE 40
A
CD 40 BC 40
A
D
製表單位：資訊室
製表日期：102/05/22