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臺灣警察專科學校 108學年度專科警員班第38 期正期學生組新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）30 題，題號自第 1題至第 30 題，每題 2分，計 60 分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。 准考證號：
1. 滿足
3 3 2x
的正整數
x
有多少個？
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。
2. 設
2 2 3, 7 2, 6 5a b c
, 則
,,abc
的大小關係為何？
(A)
a c b
(B)
abc
(C)
c a b
(D)
c b a
。
3. 多項式
10 9
2 1 10 1x x x
除以
10
31x
所得的商式為何？
(A)
1024
3
(B)
1
(C)
10
32
(D)
2
3
。
4. 設
fx
為實係數多項式且
1 108f i i
, 其中
1i
. 則
1fi
的值為何？
(A)
108 i
(B)
108 i
(C)
108 i
(D)
108 i
。
5. 設
,xy
為相異正實數且皆不為
1
, 若
log 2log 3
xy
yx
且
64xy
, 則
xy
的值為？
(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28。
6. 設
3 64, 4 27
xy
, 則實數
xy
的值為何？
(A) 1 (B) 4 (C) 9 (D) 16。
7. 若一個各項均為正數的等比數列，其任一項都等於它後面兩項的和，則此等比數列的公比為何？
(A)
15
2
(B)
15
2
(C)
51
2
(D)
51
2
。
8. 已知一等差數列共有 10 項，且知其奇數項的和為 15, 偶數項的和為 75, 則此數列的公差為何？
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15。
9. 從甲、乙、丙、丁、戊 5人中選出 3人擔任不同的班級幹部，則共有多少種方法？
(A)10 (B)60 (C)120 (D)125。
10. 將2個老師及 6個學生分成 2組，分別安排到南北兩所學校參加數學競賽，若每一組由 1個老師及 3個學
生組成，則共有多少種不同的安排方案？
(A)20 (B)40 (C)80 (D)160。
11. 甲袋中有相同的 4個球，編號 1號到 4號；乙袋也有相同的 4個球，編號 1號到 4號。今從兩袋中各取 1
球，兩球的號碼恰好相同的機率為何？
(A)
1
16
(B)
1
8
(C)
1
4
(D)
1
2
。
12. 已知全校有
52%
是女生，且男生中戴眼鏡者占
35%
，女生中戴眼鏡者占
30%
。若已知某人戴眼鏡，則此人
是女生的機率為何？
(A)
3
10
(B)
3
7
(C)
12
23
(D)
13
27
。
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13. 甲乙丙三人射擊同一靶，設甲乙丙射擊的命中率分別為
11
,,
43p
，且三人命中靶面的事件為獨立事件。若三
人中只有丙打中的機率為
1
4
，則
p
的值為何？
(A)
1
6
(B)
1
4
(C)
1
3
(D)
1
2
。
14. 某教師作一實驗重複 100 次得到 100 個長度數據，下列選項何者正確？
(A) 若改用不同的長度單位，則標準差還是不變
(B) 若測得的數據有不同，其標準差必為正數
(C) 若實驗次數增加，則變異數必定越來越小
(D) 若實驗次數增加，則標準差必定與次數成反比。
15. 已知數據
X
的算術平均數為
3
x
, 標準差為
2
x
S
；數據
Y
的算術平均數為
4
y
, 標準差為
4
y
S
, 且
Y
對
X
的回歸直線通過點
6,10
, 求
X
與
Y
的相關係數為何？
(A) 1 (B) 0.8 (C) 0.6 (D) 0.5。
16. 設
1 25
tan tan 12
, 且
sin 0
, 則
sin cos
的值為何？
(A)
7
5
(B)
7
5
(C)
1
5
(D)
1
5
。
17. 設三角形
ABC
之外接圓半徑為
7
3
, 其中
1
cos 7
A
,
11
cos 14
B
, 則三角形
ABC
面積為何？
(A)
10
(B)
10 2
(C)
10 3
(D)
10 6
。
18. 在三角形
ABC
中，
8BC
,
5CA
,
D
為邊
BC
上的一點滿足
4AD
,
2CD
, 則
AB
為何？
(A)
35
(B)
6
(C)
37
(D)
38
。
19. 一直線
y ax b
通過第一、二、三象限，則座標
,ab
在第幾象限？
(A)一 (B)二 (C)三 (D)四。
20. 設
,7Aa
與
3, 5B
為座標平面上兩點，
為直線
AB
與
x
軸正向的交角。若
tan 2
, 則實數
a
為何？
(A)
4
(B)
2
(C) 0 (D)
2
。
21. 在正三角形
ABC
中，
D
是
BC
上的點，若
3, 1AB BD
, 則內積
AC AD
的值為何？
(A) 3 (B)
9
2
(C) 6 (D)
15
2
。
22. 在平面上，已知點
P
及三角形
ABC
滿足向量
0PA PB PC
. 若
AB AC kAP
, 則實數
k
的值為何？
(A) 2 (B) 3 (C)
1
2
(D)
1
3
。
23. 設平面上向量
15
5,12 , 4,3 , 13
OA OB OP OA r OB
, 若射線
OP
平分銳角
AOB
, 則實數
r
的值為何？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
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24. 設向量
2,1,1 , ,2, 4a b x
, 且
,ab
的夾角為
120
, 則實數
x
的值為何？
(A)2 (B)
2
(C)4 (D)
4
。
25. 已知向量
1,1,1 , 1,2,3ab
. 若
c ta b
, 則當
c
的最小值發生時，實數
t
的值為何？
(A)
2
(B)
2
(C)
3
(D)
3
。
26. 若
k
為實數，且兩平面
1:2 5E x y
與
2: 2 6E x ky z
垂直，則原點到平面
12
,EE
的距離之比為何？
(A)
2:1
(B)
5 :1
(C)
3:2
(D)
5 :2
。
27. 設平面
E
上有兩向量
1, 1,5 , 4,1,2ab
, 則下列何者為平面
E
的一個法向量？
(A)
7,18,5
(B)
7, 18,5
(C)
7,18, 5
(D)
7,18,5
。
28. 設
A
是二階方陣，
2
1 0 0 0
,
0 1 0 0
IO
, 若
22
56A A I O
, 則下列何者是
2
5IA
的乘法反方陣？
(A)
1
6A
(B)
1
5A
(C)
2
5AI
(D)
2
5AI
。
29. 若矩陣
1
1
a
Ab
的行列式值
det 1A
, 則行列式
1
det AA
的值為何？
(A)
2
(B)
2
(C)
4
(D)
4
。
30. 設拋物線
2
:8yx
的焦點為
F
,
P
為
上的動點,
4, 2A
. 求
PA PF
的最小值為何？
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。
貳、多重選擇題：（一）共 10 題，題號自第 31 題至第 40 題，每題 4分，計 40 分。
（二）每題 5個選項各自獨立其中至少有 1個選項是正確的，每題皆不倒扣，5個選項全部
答對得該題全部分數，只錯 1個選項可得一半分數，錯 2個或 2個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。
31. 下列選項中的數，哪些是無理數？
(A)
3
(B)
169
(C)
42
2
(D)
3
4 48
(E)
。
32. 下列各數哪些為正？
(A)
2
11
42
(B)
42
log 9 log 3
(C)
2
log 3
(D)
3
1 log 2
(E)
98
8! 9!
。
33. 設數列
n
a
前
n
項的和
12nn
S a a a
, 且已知
2
5 2 6
n
S n n
, 則下列哪些敘述是正確的？
(A)
11a
(B)
218a
(C)
1,1
n n n
a S S n
(D)
n
a
是等差數列 (E)
10 97a
。
34. 擲一枚均勻硬幣 5次，令
A
表示有連續三次的投擲中恰好出現「反面、反面、正面」的事件，
B
表示有連
續三次的投擲中恰好出現「反面、正面、正面」的事件，選出正確的選項。
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(A)
3
8
PA
(B)
P A P B
(C)
0P A B
(D)
1
6
P B A
(E)
5
6
P A B
。
35. 設
3
2
且
1
sin 3
, 則下列哪些選項正確？
(A)
22
cos 3
(B)
1
sin 3
(C)
1
cos 23
(D)
3 2 2
sin 23
(E)
2
tan 4
。
36. 下列哪些方程式在座標平面上表示一個半徑大於零的圓？
(A)
22
1xy
(B)
22
1 1 1xy
(C)
22
4 2 5 0x y x y
(D)
9 3 2 4 0x x y y
(E)
1 3cos , 0 2
2 3sin
x
y
。
37. 設
,,x y z
為實數且滿足
2 2 2
24x y z
, 若
2x y z
的最大值為
M
, 最小值為
m
, 選出正確的選項。
(A)
6M
(B)
4m
(C)
2Mm
(D)
6M
時，
, , 1, 1,2x y z
(E)
4m
時，
, , 1,1, 1x y z
。
38. 空間中兩個非零向量
2,1, 1 , 1,2,0ab
，請選出正確的選項。
(A)
2,1, 3ab
(B)
b a a b
(C)
a
平行
ab
(D)
0b a b
(E)
sina b a b
, 其中
為
,ab
之夾角。
39. 設
,,A B C
均為二階方陣，則關於矩陣的運算性質，請選出正確的選項。
(A) 若
AB AC
且
A
不是零矩陣，則
BC
(B) 若
AB O
(零矩陣)，則
AO
或
BO
(C)
AB C A BC
(D)
22
A B A B A B
(E)
A B C AC BC
。
40. 設一雙曲線的中心點在原點，貫軸平行
x
軸。若
3,6
是雙曲線上的一點，則下列哪些點也在雙曲線上？
(A)
6,3
(B)
3, 6
(C)
3,6
(D)
3, 6
(E)
6, 3
。
