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臺灣警察專科學校專科警員班第二十八期（正期學生組）新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者倒扣該題分數四分之一。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 設 ,
為 2290xx 之二根，則 2
()
(A) 8 (B) 4 (C) 4 (D) 8
2. 複數平面上所有滿足 23 1zi 的點所形成的圖形為何？
(A) 一直線 (B) 二點 (C) 一點 (D) 一圓
3. 試計算 6543 2
19 18 19 16 19 50 19 132 19 4 之值
(A) 23 (B) 33 (C) 365 (D) 375
4. 已知 log
x
的首數與 log325.78 的首數相同，log
x
的尾數與 log5.082 的尾數相同，則
x
(A) 325.082 (B) 508.2 (C) 5.78 (D) 3.2578
5. 已知 ABC△ 之三邊長 3a, 4b
, 13c
，
則其外接圓半徑為
(A) 3
13 (B) 4
13 (C) 13
3 (D) 13
4
6. 化簡 sin(270 )tan(180 )cos(90 )
cos(270 )tan(540 )
(A) sin
(B) cos
(C) sin
(D) cos
7. 設 4
cos 5
且 74
2
，
則 sin 2
(A) 3
10 (B) 3
10
(C) 1
10 (D) 1
10
8. 設 ,,ABC 三點不共線，點 P 與 ,,ABC 三點共平面且 46
77
A
PABAC
。
令
A
P
與
B
C
之交點為
M
，若
A
MxAB
y
AC
, ,
x
yR
，則
x
(A) 2
3 (B) 3
2 (C) 2
5 (D) 3
5
9. 二向量 ,ab
滿足 2a
, 3b
, 2213ab
，則 a
與 b
的夾角為
(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 120
10. 關於空間中一點 (1,2, 3)P
，下列敘述何者正確？
(A) P點到
x
y平面的距離為 5
(B) P點到 x軸的距離為 13
(C) P點到平面 :2 30Ex y z
的距離為 5
6
(D) P點到空間中另一點 (0,1, 2)Q
的距離為 3
11. 空間中兩平行平面 2210xy z , 42430xyz
的距離為
(A) 1
6 (B) 5
6 (C) 2
3 (D) 4
3
12. 設空間中兩平面 2310xyz
, 220xyz
交於一直線 L，
若 (1, , )ab 為 L 的方向向量，則 ab
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
13. 若一圓通過 (4,5)P 且與圓 22
:4210Cx y x y
有相同的圓心 (,)ab，則
(A) 圓心為 (2,1) (B) 半徑為 2 10 (C) 2ab
(D) 兩圓所夾環狀區域面積 150
14. 設 1(2, 4)F, 2(2, 2)F，則平面上滿足 12
6PF PF
之 P 點軌跡為
(A) 一橢圓 (B) 一對雙曲線 (C) 一線段 (D) 無圖形
15. 已知雙曲線 22
1
16 9
xy
上一點 P 到其中一焦點 1
F 的距離為 6，那麼 P 到另一焦點 2
F 的距離是多少？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
16. 設數列 n
a 之遞迴關係式為： 11a
, 23a
, 12
2
nnn
aaa
, 3n，求 6
a
(A) 75 (B) 74 (C) 23 (D) 22
17. 下列有關抽樣方法的敘述，何者較適當？
(A) 需要抽取大量樣本時可使用簡單隨機抽樣簡化抽樣程序。
(B) 系統抽樣適用於具週期性的母群體。
(C) 作分層抽樣時應使層內個體間之差異愈大愈好。
(D) 作部落抽樣時應使群與群之間差異愈小愈好。
18. 下列敘述何者正確？
(A) 欲檢驗基隆河水污染的情形，應採用抽查的方式較適合。
(B) 欲測量臺灣最高建築臺北 101 的高度，須應用抽樣方法。
(C) 作統計抽樣調查時，抽取 10 萬個樣本所得之統計結果，
一定比僅抽取 1萬個樣本所得之統計結果更能反應出母群體的特性。
(D) 學務處每學期皆由各班抽出 3人檢查週記，已知小建這學期在抽查名單之中，
則他下學期再被抽中的機率應會降低。
19. 若某校 1000 位學生的國文成績平均分數是 70 分，標準差是 5分。若已知成績分布呈現常態分配，試問全校約有
多少同學的國文成績低於 60 分？
(A) 約320 人 (B) 約160 人 (C) 約50 人 (D) 約25 人
20. 同時投擲 3個硬幣，若出現 3正面可得 18 元、2正面可得 12 元、1正面可得 6元，為了公平起見（期望值為 0），
出現 3反面時應賠多少元？
(A) 18元 (B) 36元 (C) 54元 (D) 72 元
21. 某種診斷方法可有效的檢驗出初期的癌症，依過去的經驗知道，該方法對於癌症患者的檢出率高達 0.95，同時對
於健康的人誤判為罹癌者的比例亦低至 0.05。假設一群人中有 5% 的人罹患癌症，現從中任選一人加以檢驗，若
此人被檢驗出患有癌症，求此人確實罹癌的機率。
(A) 0.05 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 0.95
22. 生研社的同學根據所養的 100 隻天竺鼠之身長與體重，分別作其體重對身長的迴歸直線如下圖。已知
X
代表身長
（
X
為其標準化數據）、Y代表體重（Y
為其標準化數據），請選出合理的圖形。
(A) (B) (C) (D)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
23. 下列哪一個矩陣不存在反矩陣？
(A) 12
53
(B) 23
41
(C) 31
12
(D) 212
16
24. 若矩陣 15
32
A
, 13
1
22
B
, ab
Xcd
滿足 32 4AX B
，則 a
(A) 7
2
(B) 1
2 (C) 2 (D) 27
2
25. 設 ,,
A
BC
均為二階方陣，
I
為二階單位方陣、O為二階零矩陣，則下列敘述何者正確？
(A) 若 2
AI，則
A
I 或
A
I
(B) 若 2
AO，則
A
O
(C) 若
A
BAC，則 AB
(D) 若
A
BO 且 0A，則
B
O
26. 設 ,
x
yR 滿足 235xy，則 22
4
x
y 之最小值為
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
27. 下列哪一個不等式的解為任意實數？
(A) 2310xx (B) 2690xx (C) 2420xx
(D) 2210xx
28. 若二次不等式 220ax bx 的解為 1
22
x
，則 ab
(A) 5 (B) 5 (C) 1 (D) 1
29. 若點 (,)Pab 在三直線 1:20Lxy, 2:2 3 6 0Lxy
, 3:250Lx y
所圍成的三角形區域內，則下列何
者為真？
(A) 2ab, 236ab, 25ab
(B) 2ab, 236ab, 25ab
(C) 2ab, 236ab, 25ab
(D) 2ab, 236ab, 25ab
30. 設 ,0xy 滿足 380xy，則 3
x
y 的最大值為
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18
貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部
答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 我國的農曆以天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸）、地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）記年，則自民國 31 年到民國
90 年（辛巳年）中，有哪些記年未曾用過？
(A) 甲戌 (B) 己午 (C) 庚寅 (D) 壬巳 (E) 癸酉
32. 設 n
a 為一個數列，共有 50 項，則下列敘述何者正確？
(A) 已知 11a, 24a, 37a，則 410a
(B) 令 123nn
Saaa a ，則 1nnn
aSS
nN
, 50n
(C) 若 n
a 為等差數列，則 n
a
不會是等比數列
(D) 若 n
a 為等差數列，則 1
a, 4
a, 7
a, 10
a 亦為等差數列
(E) 若 n
a 為等比數列，則 12
aa
, 34
aa
, 56
aa
, 78
aa
亦為等比數列
33. 下列哪些無窮數列為收斂數列？
(A) 6
(B) 3 ( 1)
n
(C) 2100
2
717
31
nn
(D) 2
3
5
n
n
(E) log
2nn
34. 不論
x
為任何實數值，
2
2
2
33
x
ax b
xx
之值恆為一定數 k，則
(A) 1
3
k (B) 2
3
a (C) 2b
(D) 30ab
(E) 0ab
35. 下列式子哪些是正確的？
(A) 23 2
log 3 log 5 log 5 (B) 333
log 2 log 4 log 8
(C) 5
55 5
log 7
log 7 log 9 log 9
(D) 22 2
log 5 log 7 log 35 (E) 42
3
log 27 log 3
2
36. 若 a, b, c 分別表 A,
B
, C
的對邊長，則下列條件何者恰可決定一個三角形？
(A) 2b, 3c, 45A (B) 1a
, 2b
, 3c
(C) 55AB , 3c (D) 5a
, 45C
, 10ABC
△
(E) 3b, 4c, 60B
37. 下列哪些極坐標表示相同的點？
(A) [3, ]
3
(B) [3, ]
3
(C) 2
[3, ]
3
(D) 5
[3, ]
3
(E) 7
[3, ]
3
38. 關於直線 :2 3 1 0Lx y
，下列敘述何者正確？
(A) L之斜率為 2
3 (B) (4, 6) 為L之法向量 (C) 3
(,1)
2 為L之方向向量
(D) L之參數式為 12
13
x
t
y
t
, tR
(E) L與直線 :3210Mx y
垂直
39. 設
A
,
B
為獨立事件，已知 1
() 3
PA
, 3
()
4
PA B，則下列何者正確？
(A) 5
() 12
PB (B) 5
()
24
PA B (C) 19
()
24
PA B
(D) 1
(|) 3
PAB (E) 1
() 2
PB
40. 某座海島上所有的食物皆由 A, B, C 三間海產店供應，根據在地人提供的調查記錄，原本選擇在 A 店消費的顧
客，次月仍選擇在 A 店消費的比例有 80%，有 10% 會改至 B 店消費，剩餘 10% 則選擇至 C 店消費；原本
選擇在 B 店消費的顧客，次月仍選擇在 B 店消費的比例有 50%，有 30% 會改至 A 店消費，剩餘 20% 則選
擇至 C 店消費；原本選擇在 C 店消費的顧客，次月仍選擇在 C 店消費的比例有 60%，有 20% 會改至 A 店
消 費，剩 餘 20% 則選擇至 B 店消費。請問長期而言，下列關於三間海產店市佔率 A
P, B
P, C
P 的估計何者正確？
(A) ABC
PPP (B) ABC
PPP (C) 1
ABC
PPP
(D) 0.6
A
P
(E) 0.1
BC
PP
國文標準答案
題號 答 案
1 D
2 A
3 D
4 B
5 C
6 C
7 B
8 A
9 A
10 D
11 B
12 C
13 A
14 D
15 D
16 D
17 D
18 D
19 C
20 C
21 A
22 B
23 C
24 B
25 A
26 B
27 D
28 C
29 D
30 B
中外歷史標準答案
題號 答 案
1 B
2 C
3 B
4 A
5 B
6 B
7 C
8 B
9 A
10 C
11 C
12 A
13 C
14 B
15 A
16 A
17 D
18 D
19 D
20 A
21 D
22 D
23 D
24 C
25 C
26 A
27 A
28 C
29 D
30 B
31 AC
32 ABDE
33 AD
34 ADE
35 ABE
36 AD
37 AD
38 CDE
39 ACE
40 BC
中外地理標準答案
題號 答 案
1 C
2 D
3 B
4 A
5 C
6 B
7 A
8 A
9 C
10 C
11 A
12 B
13 B
14 A
15 C
16 B
17 C
18 A
19 A
20 D
21 C
22 D
23 B
24 B
25 C
26 C
27 C
28 D
29 A
30 C
31 ACE
32 BCE
33 CE
34 BCD
35 ABCE
36 ABE
37 BD
38 BCDE
39 ABE
40 AC
乙組數學標準答案
題號 答 案
1 送分
2 D
3 C
4 B
5 C
6 D
7 D
8 C
9 C
10 B
11 B
12 A
13 B
14 C
15 C
16 A
17 D
18 A
19 D
20 D
21 B
22 A
23 D
24 A
25 D
26 B
27 B
28 B
29 C
30 C
31 BD
32 DE
33 ACE
34 CD
35 ABE
36 ACD
37 ADE
38 ABC
39 BCE
40 BCE
英文標準答案
題號 答 案
1 C
2 C
3 A
4 D
5 B
6 B
7 A
8 D
9 B
10 C
11 D
12 C
13 A
14 A
15 D
16 C
17 D
18 D
19 A
20 A
21 B
22 D
23 A
24 C
25 C
26 D
27 C
28 A （C係誤植）
29 B
30 B
31 BCD
32 BCD
33 AD
34 AB
35 BCE
36 ABD
37 ABDE
38 ABCDE
39 ABCD
40 BDE