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100年公務人員特種考試一般警察人員考試、
100年公務人員特種考試警察人員考試及
100年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
代號：
等 別： 高員三級鐵路人員考試
類 科： 電力工程、電子工程
科 目： 工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
（請接背面）
全一張
（正面）
71270
71370
甲、 申
題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、試利用拉氏轉換（Laplace transform）求解 ；
⎩
⎨
⎧
≥
<≤
=−
′
−
′′ 4,12
40,0
32 t
t
yyy ,1)0(
=
y,0)0(
=
′
y
其中 dt
dy
y≡
′，2
2
d
t
yd
y≡
′′ 。（15 分）
二、求 之一般解。（10 分）
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−++
=++
=−++
22
3
12323
4321
321
4321
xxxx
xxx
xxxx
三、令 C為平面上任意片段性平滑（piecewise-smooth）之封閉曲線，且 ji 2222 yx
x
yx
y
F+
+
+
−
=，分別求出下
列兩種情形之
∫•
CRF d
假設原點不被 C圍繞。（5分）
假設原點被 C圍繞。（10 分）
四、假設隨機變數 X的累積分布函數（cumulative distribution function）F(x)為
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
<≤
<≤
<≤
<
=
.7,0.1
75,75.0
54,5.0
41,25.0
1,0
)(
x
x
x
x
x
xF
試求 P(X=5)。（3分）
試求 P(X>3)。（3分）
試求 P(2.5<X<6)。（4分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7712
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 若F(s)為f(t)之拉普拉斯轉換， 24.3
9.01.0
)( 2+
+
=s
s
sF 則f(t)為何？
f(t)＝0.1+0.9t f(t)＝0.1+0.9te
-
3.24t
f(t)＝0.1cos1.8t +0.9sin1.8t f(t)＝0.1cos1.8t +0.5sin1.8t
2 下列何者不是正合微分方程式（exact differential equation）？
e-2θ(rdr－r2dθ)＝0 2xydy＝(x2＋y2)dx
2xydx＋x2dy＝0 2(sin 2x)(sinh y)dx－(cos 2x)(cosh y)dy＝0
3 下列何者為y'＝3x2(y＋2)之解，其中c為任意常數：
cxy +=+ 3
2ln cxy +=+ 2
2ln cxy +=+ 3
4ln cxy +=+ 2
4ln
4 求解微分方程 9yy'＋4x＝0，y(1)＝0，其解為下列何者？
9x2＋4y2＝36 9x2－4y2＝1
9
1
49
22
=+ yx
2
1
49
22
=− yx
5 求解微分方程 y'＝cosh 4x，其解為下列何者？
c
x
y+= 4
4sinh c
x
y+= 4
4tanh c
x
y+= 4
4coth c
x
y+= 4
4cosh
100年公務人員特種考試一般警察人員考試、
100年公務人員特種考試警察人員考試及
100年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
代號：
等 別： 高員三級鐵路人員考試
類 科： 電力工程、電子工程
科 目： 工程數學
全一張
（背面）
71270
71370
6 求解微分方程y"－4πy'＋4π2y＝0，其解為下列何者？
y＝(c1＋c2x)e-2πx y＝(c1＋c2x)xe-2πx y＝(c1＋c2x)e2πx y＝(c1＋c2x)xe2πx
7 下列那一個複數函數不是可解析函數？
f(z)＝sin(z) f(z)＝cos(z) f(z)＝e-
z
f(z)＝2
z
8 假設 z為一複變數，試問 ∫+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
idz
z
2
02
cos
π
之值為下列何者？
0
(
)
ee /1+ 2πi 1
9 令收斂區間為 0< z<2π，試求複變數函數 1
1
)( −
=z
e
zf 以勞倫茲級數（Laurent series）表示時，其留數（residue）應為下列何值？
0 3
1
2
1 1
10 求})3{( 4z
iz
dz
d−＝？
)3ln()3(4)4()3( 414 izizziz zz −−+− −)3ln()3(4)24)(3( 4izizziz z−−++−
)3ln()3(4)4()3( 44 izizziz zz −−+− )3ln()3()24)(3( 4izizziz z−−++−
11 若▽f＝i＋3j－2k且▽g＝3i＋2j＋k，則▽‧(f ▽g)為：
0 7i－7j－7k 7 －7i＋7j+7k
12 若函數 f(x,y,z)＝222 zyx ++ ，試求在點(0,1,1)之梯度（gradient）：
kji 2
1
2
1
2
1++ kj 2
1
2
1+ ji 2
1
2
1+ ki 2
1
2
1+
13 若矩陣 ，則：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
010
100
001
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
010
010
001
20
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
100
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
100
010
001
25
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
110
011
001
29
A
14 若矩陣 ，其三個特徵值（eigenvalues）為
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
544
101
121
A1
λ
、2
λ
、3
λ
，則 321313221321
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
++
+
之值為下列何者？
21 22 23 24
15 一線性轉換 滿足 且 ，則 ？
22
:RRT →⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
5
2
1
0
T⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
7
4
3
2
T=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
4
3
T
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−3
2⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1
2⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
6⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−3
4
16 若線性轉換
),,0,2(),,(
1zxyxzyxT ++= ),,(),,(
2yzyxzyxT
−
=
，則合成轉換 為：
21 TTT o=
)0,,2(),,( zxyxzyxT ++= ),0,22(),,( xzyxzyxT +−=
)0,,2(),,( zxyxzyxT −−= )0,,22(),,( zxyxzyxT
−
+=
17 下列何者為赫密特（Hermitian）矩陣？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
=01
1
i
ii
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=01
1
i
ii
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=61
17
i
i
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
=ii
ii
A1
1
18 隨機變數 X、Y之結合機率密度函數（joint probability density function）為 ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤≤+
=
其他,0
20,20),(
8
1
),(
,
yxyx
yxf YX ，則下列各期
望值何者正確？
3
4
)(E =
XY
8
5
)(E =
Y
6
5
)(E =
X )(E)(E)(E YXXY
=
19 若 為 之拉普拉斯（Laplace）轉換，則 之拉普拉斯轉換為：
)(sF )(tf )(tfeat
)(sFeas )(sFe as−)( asF
+
)( asF
−
20 一連續隨機變數（continuous random variable）X均勻（uniformly）分布於 500 與1000 之間，試問以下何者錯誤？
其機率密度函數（probability density function）於 500 與1000 間為 1/500，其餘為 0
其相對應之累積分布函數（cumulative distribution function）於 500 與1000 間為一斜坡（ramp）函數，其餘為 0
X等於 888 之機率為 0
X落於 550 與950 間之機率為 0.8
類科名稱：
１００年公務人員特種考試一般警察人員考試、公務人員特種考試警察人
員考試及特種考試交通事業鐵路人員考試
科目名稱： 工程數學(試題代號：7712)
題 數： 20題
考試名稱：
標準答案：答案標註#者，表該題有更正答案，其更正內容詳見備註。
測驗題標準答案更正
題號
答案DBACA CDBDA CBBC# BCADB
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程
備 註： 第15題一律給分。