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107
年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及
107
年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
考 試 別：鐵路人員考試
等 別：高員三級考試
類 科 別：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：70440
70540
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、若線性轉換（linear transformation）矩陣 T：R2→R2的作用是將在 R2上的向量逆時
針旋轉角度θ，試以詳細計算過程求出：
此線性轉換矩陣。（7分）
順時針旋轉角度θ的線性轉換矩陣。（3分）
二、假設隨機變數 X的累積分布函數（cumulative distribution function）可以表示成
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
≤
<≤−−
<≤−
<≤
=
x
x
xx
x
x
x
xF
5if0.1
53if
14
11
147
5
31if
7
1
7
2
10if
7
)(
2
≤≤1( XP
⎪
⎧<
x
x0if0
2
試求出隨機變數 X的機率密度函數（probability density function）f（x）為
何？（5分）
試求出 ？（5分）
=)4
三、試求複變函數 23
1
)( 2+−
=zz
zf
∑
∞
=
=0
)( m
m
m
rxaxxy 0'")
2=+−− yxyyxx
對z0=0 展開的所有泰勒級數（Taylor series）及羅
倫級數（Laurent series）。（15 分）
四、利用 Frobenius 級數 的方法求解微分方程式(。
（15 分）
代號：70440
70540
頁次：4
－
2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：4704
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 向量 u =（-1,4,2,3）於向量 v =（-1,0,2,2）之投影（projection）的長度為何？
3
11 9
11 30
11 30
11
2 下為敘述何者恆真？
V為向量空間（vector space），W是V的子集合（subset），則 W是V的子空間（subspace）
空集合為任意一向量空間的子空間
V為非零向量空間，則 V包含一子空間 W且W≠V
V的任意二個子集合的交集（intersection）仍然是 V的子空間
3 試求點（2,0,0）到平面 x + 2y + 2z = 0 的距離為何？
1 2 5
2 3
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=dc
ba
A1
1=
4 給定三個 n × n之可逆矩陣 A、 B、 C，下列敘述何者錯誤？
（ABC ）T = CTBTAT
（ABC ）-1 = C -1B-1A-1
若矩陣 A是正交矩陣（orthogonal matrix），則矩陣 A的反矩陣是 AT
（A + B）（A - B）=A2 - B2
5 假設矩陣 ，且 A的特徵值（eigenvalues）
λ
、5
2=
λ
，其對應的特徵向量（eigenvectors）
分別為 、 ，則 a + b + c + d =？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
1
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3
6 10 15 20
6 下列矩陣何者為非正交矩陣（non-orthogonal matrix）？
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
5
3
0
5
4
010 5
4
0
5
3
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
5
4
0
5
3
010 5
3
0
5
4
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
5
4
0
5
3
010 5
3
0
5
4
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
5
3
0
5
4
010 5
4
0
5
3
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－
3
7 令ez = 2 + i 3，則：
z = ln(2)+ i ln(3) z = ln(3)+ i ln(2)
)
3
2
arctan()9ln(
2
1iz += )
2
3
arctan()13ln(
2
1iz +=
n
xn
y
{}
n
z
}
n
x
{}
n
y
}
}
n
z
axn
n=
∞→
lim byn
n=
∞→
lim biazn
n+=
∞→
lim
bzn
n=
∞→
lim xn
n=
∞→
lim b
n
n=
∞→
8 已知 為一複數數列，其中 及 分別代表 的實部及虛部，則下列敘述何者錯誤？
{}
nnn yixz += n
z
若複數數列 為發散，則數列
{
及 至少其中之一為發散
若數列 及
{
其中之一為收斂，則複數數列
{
可為收斂
{}
n
xn
y
若 及 ，則
若 ，則 及
ia +a y
lim
9 求)(cossin(
)(tan
)( 32
2
π
−
=zz
z
zf
0=
)
π
−z在零點的極點次數（pole order）：
0 1 2 4
10 已知微分方程式 '" ++ yyy
β
α
的通解為 ，試 求
xx xece 3
2
3
1−− +cxy )( =
α
、
β
之值，並判定下列何者正確？
（題中
α
、
β
、 、 為常數）
1
c2
c
β
=15
β
= -15
β
= 6
β
= -6
α
+
α
+
α
+
α
+
11 下列何者為 之解？其中 a、b為常數，0=y9'+5"
2−xyyx dx
dy
y≡'，2
2
"dx
yd
y≡
0),(ln
33 >+ xxbxax 0,
33 >+ xbxeae xx
。
0>x,]11sin11cos[
)2/5( +xbxae x 0,]11sin11cos[
)2/5( >+
−xxbxae x
0)1()cos 22 =−+− dyxydxxyxx
12 根據微分方程式 (sin 及其初始條件 y(0)=4，請問下列何者為 y2之
計算結果？
xx
−
−
1cos2 xx
−
−
1sin4 2
2
1
cos8
x
x
−
− 2
2
1
sin16
x
x
−
−
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－
4
)(tf13 某一函數 的拉氏轉換（Laplace Transfor m）為 256
)( 2+−
=ss
sF
⎨
⎧=+−= 4)0(,32' 1211 yyyy
13 −s，則下列何者正確？
f
（
0+）= 2 f
（
0+）= 12 17)0(' =
+
f21)0(' =
+
f
14 假設聯立微分方程式 （其中
⎩=−= 3)0(,4' 2212 yyyy dtdt dy
y
dy
y2
2
1
1',' == tt beaety 52
2)( −
+=
'" 2=+− yexyy x1)0( =y2)0(' =y∑
=∞
=0
)( n
n
nxaxy
321 aaa ++
）的解 ，
a、b是常數，求 a+2b =？
-2 2 3 5
15 假設微分方程式 8，其 中 且，若 為此微分方程式之級數解，
求的值為何？
2
72
13 6
31
6
37
xxf
16 考慮函數
π
cos1)( += ]1,1[−0) =x，當 時，f (，求此函數之傅立葉轉換（Fourier transform）？ ∉x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
ωπωπω
ω
112
sin ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
ωπωπω
ω
112
cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
ωπωπω
ω
sin +− 112 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
ωπωπω
ω
112
cos
1−n)(
ω
j
eX
2
1
][ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=nx
17 下列何者為 的傅立葉轉換 ？
ω
ω
cos25.1 75.0
−
−j
e
ω
ω
sin5.1 5.0
−
−j
e
ω
ω
cos25.1 5.0
+
−j
e
ω
ω
sin5.1 75.0
+
−j
e
x.0>= xA
18 隨機均勻從 [-1,1] 區間選出，令事件 ，
ℜ∈
{}
75
{}
15.0 <−= xB ，求 =？
[][]
BAPBAP ∩⋅∪
32
3 16
5 2
1 8
7
19 投擲一顆公平的骰子並記錄獲得點數，再投擲另一顆公平的骰子且記錄獲得點數，試求第二次點數大於
第一次點數之機率：
3
1 12
5 2
1 18
11
{}
2.01- ==XP
{}
5.00 ==X
{}
3.01 ==X
20 設X為一隨機變數，它在每一可能值 -1、0、1的機率分別為 ，P，P，
求E[X 2]：
0.2 0.3 0.5 1
類科名稱：
１０７年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及１０７年特種考試交通事業鐵
路人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：4704)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電力工程、電子工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
A第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
CDDBBDBBA
A CBCCAABCD
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：