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108
年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及
108
年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題
考 試 別：鐵路人員考試
等 別：高員三級考試
類 科 別：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：70340
70440
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、令一行列式為 x
x
x
+
+
+
532
532
532
=0，求 x為何？（10 分）
二、令複變函數 2
231 1
)(
z
z
zf +−
=，試求：
)(z
f
的麥克勞林級數（Maclaurin series）展開式。（7分）
第
小題之級數的收斂半徑。（3分）
三、 1)0(
2
2
2
==+ yeye
dx
yd xx ，，dx
dy )0( =2，以 解之，求 。
（15 分）
∑
∞
=
=0n
n
nxCy 3210 CCCC 、、、
四、設一隨機變數（random variable）X，其期望值（expected value）
E [X ]=－3，X的變異數（variance）2
2=
X
σ
32 −=
。設
X
Y
，求：
Y的期望值（expected value）：E [Y ]。（5分）
Y 2的期望值（expected value）：E [Y 2]。（5分）
Y的變異數（variance）： 2
Y
σ
。（5分）
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－
2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：4703
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 令u, v為二向量，則下列有關其內積（inner product）與外積（cross product）的敘述何者錯誤？
u × v = v × u u•v = v•u vuvu ≤× vuvu ≤•
2 P在三度空間中，由
1(4, 6, 5)、P2(4, 9, 5)與P3(8, 6, 7)所形成的三角形面積為何？
45 2
45 2
45 45
3 下列何者是向量 在 及 所延伸（span）的空間之投影向量（projection）？
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
1
1
v
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
3
0
1
w
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
2
2
w
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
3
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
10
3
2
1
3
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
5
3
5
9
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
8
2
1
8
3
4 試決定 a與b之值，使以下系統方程式具有無限多組解（infinite number of solutions）？
zyx =++ 532
bzyx
azyx
=++
=++
223
42
7
4
3−=−= ba ， 7
4
3== ba ， 7
3
4−=−= ba ， 7
3
4=−= ba ，
5 矩陣 A及B為兩個相同階數之方陣，且 A及列敘述何者恆真？ 假設 B兩矩陣皆為非奇異矩陣，下
0AB = A+B 亦為非奇異矩陣
假設 AB=A+B，則 AB= =
BA
6 設矩陣 ，下列何者不是 A的特徵向量（eigenvector）？
7 請計算
)B()A()AB( adjadjadj
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣
=
422
242A⎥
⎤
⎢
⎡224
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
0
1
−⎤
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
1
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
1
1
1
)2cos( i
π
之值，其中 1−=i：
1 coshi ))(
2
122
ππ
ee −
−
2(
π
8 1+4i的極式（Polar form）？
求−
))4(tan( 1
17 −
−
−
π
i
e ))4(tan( 1
17 −
−
π
i
e ))25.0(tan( 1
17 −
−
−
π
i
e ))25.0(tan( 1
17 −
−
π
i
e
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－
3
，試問線積分 ∫
C
dzz
9 下圖所示之路 C 1 + C2，根據 徑 = Cyi
x
z
= + 為何？
i
2
5
1
π
+
i
2
1
π
+ i)
2
1(
π
+ i)
2
5
1(
π
+
xyiyxzf 2)( 22 +−= ，其中 yi
x
z
+=
10 給定一複數函數 ，則下列何者正確？
在 且 的範圍都是可解析（Analytic）
在 且 的範圍都是不可微分
當 時， 是可解析（Analytic）
當 時， 都是可微分且
11 ， ，
)(zf 0>x0>y
)(zf 0<x0<y
0<xy )(zf
0>xy )(zf yixzf 22)(' −=
iz 34
1+= iz 52
2−= 1−=i；則 21 zz ⋅表示
z
為何？（其中 z的共軛複數）
23+14i 23－14i －23+14i －23－14i
12 求下列微分方程式的特解：
0)
3
()sin(' ==+
π
yxyxy 且初始條件
)cos(
2
1xxy += )cos(
2
1xxy −=
13 知微分方程式 （其中
)cos(2 xxy −= )cos(2 xxy +=
已2'y+2
123" xyy =+ 2
2
"' dx
yd
y
x
， 是 +
d
dy
y== ）的特殊解 ，
a, b, c是常數，則下列敘述何者正確？
14 邊界條件設定為 之偏微分方程式
cbxaxxy += 2
)(
105 <++< cba 50 <++< cba 05 <++<− cba 510 −<++<− cba
4
)0,( xx =
φ
02
1∂∂ y=−+
∂xyx
φ
φ
∂x，其解為：
y
exy 442 −
+=
φ
y
exy 424 −
+=
φ
x
exy 422 −
+=
φ
x
exy 442 −
+=
φ
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－
4
15 求微分方程式 0" 的級數解：
'2=+− yxyy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+− ...
24
1
3
1
2
1
...
12
1
1432
1
4
0xxxxaxa ，其中 為常數
10,aa
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++++ ...
6
1
3
1
...
24
1
3
1
2
143
1
4xx32
0xxaxxxa ，其中 為常數
10,aa
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛11 2+++++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++ ...
24
1
32
...
12
1
143
1
4
0xxxxaxa ，其中 為常數
10,aa
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+++++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+− ...
24
1
6
1
2
1
...
12
1
1432
1
4
0xxxxaxa ，其中 為常數
16 定義函數 之拉普拉斯轉換（Laplace transform），令
10,aa
)(tf
{}
∫
=∞−
0)()( dtetftfL st
{}
22 )5( 6
)( +
=s
s
tfL ，
則)(tf 為何？
tt 5sin
553 tt 5cos
5
t5cos
556 t5sin
556 53
17 設⎩
<< 22 x
xf ，求其傅立葉轉換（Fourier tran
⎨
⎧−
=其他,0
,1
)( ∞
sform）中 ∫
=∞−
−dxexff xi
ω
π
ω
)(
2
1
)(
ˆ為何？
ω
ω
π
ω
2sin
2
1
)(
ˆ=f
ω
ω
ω
2sin
)(
ˆ=f
ω
ω
π
ω
2sin2
)(
ˆ=f
ω
ω
πω
2)( =f
2sin
ˆ
18 令Z為一標準常態分布隨機變數（standard normal random variable），其機率密度函數（probability
density function）為 ∞<<∞−= −
1zezf
z
，
2
2
2
)(
π
，試求 ZY =之機率密度函數：
∞<<
−ye
y0,
22
2
π
∞<<
−ye
y
y0
,
2
12
π
∞<<ye2
−y
y0,
2∞<< yey y0,
22
2
π
給定一個隨機變數
−
−
11
3
19 X，其累積分布函數（cumulative distribution function）
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧<0,0 x
≥
<≤
<≤
=
,1
21,
7
6
10,
7
2
)(
x
x
xF ，試求機率 為何？
)20( ≤< XP
2x
7
2 7
4 7
57
6
20 令為獨立隨機變數， 為任意實數，下列何者錯誤？
n
XXX ,...,, 21 n
aaa ,...,, 21
[]
∑
=
∑==
n
i
n
iii XaΕ11 ii XEa ][
()
∑
=
∑==
n
iii
n
iii XVaraXaVar 11 )(
∑∑ ∑
=
== =
n
i
n
j
n
iiijjii XVaraXaXaCov 11 1
2)(),(
∑
=
∑∑ ===
n
iii
n
i
n
jjjii XVaraXaXaCov 12
11 )(),(
類科名稱：
108年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及108年特種考試交通事業鐵路人員
、退除役軍人轉任公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：4703)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電力工程、電子工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
A第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
AABCDCBBA
A AADDCBCBB
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：