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10
年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員、
國家安全局國家安全情報人員考試及110年特種考試
交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題
考試別
：
鐵路人員考試
等 別
：
高員三級考試
類科
組
別
：
電力工程
、
電子工程
科 目
：
工程數學
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：
70350
70450
頁次：
4
－
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甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、利用拉氏轉換(Laplace transform)求解。（10 分）
2
20
2, 0
2 2 , 1, 0 0, 0,
t
t
d y dy dy
y f t y f t t
dt dt dt
二、設矩陣
5 4 4
12 11 12
4 4 5
A
求
A
的3個特徵值(eigenvalues)。（10 分）
求5 4 3 2
4 4 4 4
A A A A A I
,其中 I為單位矩陣。（5分）
三、令
3 ,0
2
it
t e t
，求
Im z dz
。（10 分）
(其中
Im z
代表複數 z的虛部(imaginary part))
四、定義函數
f t
的傅立葉轉換(Fourier transform)為
, 1
j t
F j f t e dt j
求函數
5
1
t
f t e
的傅立葉轉換（Fourier transform）。（5分）
求函數
5
2cos100
t
f t t e
的傅立葉轉換（Fourier transform）。（10 分）
代號：
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70450
頁次：
4
－
2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：5703
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1一座山距離海平面的高度可用 z(x, y) = 3500-2x2-3y2來表示，試求出在 P(-3, 2)這點朝上坡最陡峭
的方向？
[12, 12] [-12, -12] [12, -12] [-12, 12]
2一平行六面體(parallelepiped)的三個不互相平行的邊緣向量分別是[2, 0, 3]、[0, 4, 1]、[5, 6, 0]，試
求此一平行六面體的體積。
144 72 36 12
3考慮向量
1
2
1
u
和
0
1
3
v
。若
u
可分解為
1 2
u u
，其中
1
u
為
u
在
v
的投影(projection)，則
2
u
為何？
1
1.5
0.5
1
1.5
0.5
0
0.5
1.5
0
0.5
1.5
4令矩陣
1 0 1 1
2 0 2 2
0 1 0 3
A
，則 T
A A
的秩數(rank)為何？
1234
5令矩陣
1 0 0 0
2 1 1 1
0 0 9 9
3 0 5 5
X
。下列何者不是 X的特徵值(eigenvalue)？
12-1 -4
6下列函數何者可以執行線性轉換？
, ,sin
T x y x y x y
, , , , , , ,0,1
T x y u v w u v w w u z
, , ,2 ,2 , 2
T x y x y x y xy y x y
, , 4 2 , 3 ,0,0
T x y w y x y x
7令
100
0 1 0
0 0 0
A
，則矩陣函數
A
e
的像空間(image space)維度為何？
1234
8考慮初始值問題
2
cos , 1 1
dy x y x y
dx
。若
0
1
n
n
n
y x a x
為此微分方程式的級數解，
則係數
2
a
為何值？
-2 -1 0
2
2
代號：
70350
70450
頁次：
4
－
3
9李卡地方程式(Riccati equation) 2
1 1 6
3
dy y y
dx x x x
可利用下列何種公式轉換為以 u為未知數的線
性微分方程式？
1
3y
u
1
3y
u
1
5y
u
1
5y
u
10 一 微 分 方 程 式
2 2
2 6 4
x x
y y e e
的 起 始 條 件 分 別 為
0 1
y
及
0 6
y
， 其 解 為
2 2 2x x x
y x ae bxe ce d
，試問下列何者不正確？
1
a
3
b
1
2
c
3
2
d
11 令
cos 1
f t t t
，其中
t
為脈衝函數(impulse function)，
f t
的拉氏轉換(Laplace
transform)為何？
s
e
s
e
s
e
0
12 某函數
cos 2 sin 2
t t
f t Ae t Be t
，對應的拉氏轉換為
2
2 5
s
F s
s as b
，
, , ,
A B a b
為實數。
a
b
為何值？
5210.4
13 一 微 分 方 程 式
4
y y f t
， 其 中
0 for 0 4
3 for 4
t
f t t
， 其 起 始 條 件 分 別 為
0 1
y
及
0 0
y
，其解為
cos cos 4 4
y t at b c d t H t
，其中 H(t)是Heaviside 或unit step
函數，試問下列何者不正確？
2
a
3
2
b
1
c
2
d
14 一函數
5 3 11
f t H t H t
，其中 H(t)是Heaviside 或unit step 函數，其傅立葉轉換(Fourier
Transform)為
ωsin
ic
a
F e d
b
，試問下列何者不正確？
10
a
1
b
7
c
4
d
15 給定一複變函數(complex function)
sin
z i
f z
z
，則此函數在
0
z
的殘餘數(residue)為何？
01
i
i
16 考慮複變函數
2 2
sin
1
z
f z z z
，若 C為逆時針方向繞圓周
0.5 1
z i
的路徑。則線積分
C
f z dz
為下列何值？
2 sin
i i
2 sin
i i
2
i
2
i
17 找出複變函數級數
02
3 4
5
n
n
ni
z i
i
的收斂半徑。
26
26
2
13
13
2
代號：
70350
70450
頁次：
4
－
4
18 設X為一連續隨機變數，其機率密度函數(probabilitydensityfunction)為
1
,
,
2
,
0 ,
x a a
f x a
x a a
。
若X的變異數(variance)為4，則值為何？
2 3
3 3
4
4 3
19 設X為一具有常態分布(normal distribution)的連續隨機變數，其平均值(mean)為1，標準差(standard
deviation)為2。若將其標準化為平均值為 0，標準差為 1的標準常態分布(standard normal
distribution)，對應的隨機變數為 Z。則 X和Z的關係式為何？
2
1
1
4
Z X
1
1
2
Z X
1
1
2
Z X
1
Z X
20 將四個硬幣先後向上投擲後落地，會有十六種不同結果。定義一隨機變數 X，X等於每一個結果
中硬幣人像朝上的個數，試問下列何者不正確？
X=3 的機率，即
3 0.25
P X X=2 的機率，即
2 0.375
P X
X的平均值是 2X的變異數是 1.5
類科名稱：
110年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員、國家安全局國家安全情報人員考試及
110年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：5703)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電力工程、電子工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
BBBBDCCBA
A BCDABACDD
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：