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104 年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及 104 年
特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題
等 別： 高員三級鐵路人員考試
類 科 別： 電力工程、電子工程
科 目： 工程數學
考試時間： 2小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、設矩陣 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=51
01
A，
求A的特徵值（eigenvalues）。（5分）
求A的特徵向量（eigenvectors）。（5分）
求A20。（5分）
二、考慮有一個週期性函數 ⎩
⎨
⎧
<≤
<<
=411
10
)( 2
x
xx
xf ，週期為 4，請將 )(
x
f
表示成傅立葉三
角級數（Fourier trigonometric series）。（15 分）
三、請利用留數（residue）求∫∞
∞− ++
−dx
xx
x
)4)(1( 52 2之值。（10 分）
四、若 X與Y是兩隨機變數（random variables），滿足 0][ =X
E
，1][ −=
Y
E
，X的
均方差（variance）2
2=
X
σ
，4][ 2=YE ，2][ −=X
Y
E
。設隨機變數 W與U分別為
W = 2 X+Y，U = -X-3Y。（E[*]表示*的期望值（mean value））。求：
][ 2
WE 。（3分）
][W
U
E
。（3分）
Y的均方差（variance）： 2
Y
σ
。（4分）
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乙、測驗題部分：（50 分） 代號： 6708
本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 設v(t)為一向量函數，若已知其長度為一非零常數，則下列何者為不可能？
v'(t)為零向量 v' (t)和v(t)正交
v' (t)為非零向量且平行於 v(t) v(t)．v(t)為常數（註："．"表內積運算）
2 令向量場 F = x2i + y2j + 2z2k，則在（1, 1, -1）處的散度（divergence）F．∇為何？
-1 0 4 8
3 若u = zi + xj + yk且v = xyi + yzj + zxk，則 ．∇(u×v)為：
v．(∇×u) 2xy + 2yz + 2zx u．(∇×v) xy + yz + zx
4 若F = 2xcos(2y) i – 2x2 sin(2y) j，C為從（1, π）到（2, π）之某一曲線，求 ∫CF．dR：
3 6 4-cos(2) 4+cos(2)
5 下列何者是正交矩陣（orthogonal matrix）？
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
10
11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−2
1
2
12
1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
3
13
1
3
2
6 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=42
13
A，則 A-1 的行列式值（determinant）為何？
0.1 10 -10 -0.1
7 若矩陣
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−−
−
=
120930
31112
31310
01201
A，則 A的零空間（nullspace）之維度為：
1 2 3 4
8 一矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
021
612
322
A，下列何者不是矩陣 A的特徵向量（characteristic vector）？
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
0
1
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−2
1
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
0
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9 設複數 z = 6 + i8 = reiθ，其中 1−=i，則（r, θ）為何？
(6, 8) (6, tan-1(8)) (8, tan-1(6)) (10, tan-1(4/3))
10 令∑
∞
=1n
n
z為一複數級數（complex series），則下列敘述何者為錯誤？（註：答案中 q是一個小於 1的定值，
N是一個正數）
若Nnqz
nn>∀<≤ ,1 ，則此級數絕對收斂（absolutely convergent）
若Nnz
nn>∀< ,1 ，則此級數收斂
若Nnz
nn>∀= ,1 ，則此級數發散
若Nnz
nn>∀> ,1 ，則此級數發散
11 令z
zg 1
)( =，其中 0≠z，若 iy
x
z
+= ，則有關 )(zg 的敘述何者正確？
實部為 22 yx
x
+
− 實部為 22 yx
y
+
− 虛部為 22 yx
x
+
− 虛部為 22 yx
y
+
−
12 下列選項中 c1、c2為任意常數。解微分方程式 025.2
2
2
2=−− yxy
dx
yd
x：
4
21 xcxcy += 4
2
1xc
x
c
y+= 4
21 −
+= xcxcy 4
2
1−
+= xc
x
c
y
13 求解微分方程 10,)
2
(],sincos)[( <<=+= brr
d
dr
b
d
dr
π
π
θθ
θθ
：
)cos1(
θ
π
br −= )cos1(
θ
π
br += )cos(
θ
π
−= br )cos(
θ
π
bbr −=
14 一微分方程式 0)( 2=+
′
−
′′
−yyxyxx ，已知有一解為 xy =
1，則下列何者為正確？
另一解為 1ln
2+= xxy 且2
y與1
y為線性相依 另一解為 xxxy += ln
2且2
y與1
y為線性相依
另一解為 1ln
2+= xxy 且2
y與1
y為線性獨立 另一解為 xxxy += ln
2且2
y與1
y為線性獨立
15 定義函數 )(tf 之拉氏轉換（Laplace transform）∫∞−
=0)()}({ dtetftfL st ，令 22
2
)4(
)4(
)}({ +
−
=
−
s
es
tfL
s
，則 )(tf 為
何？其中 )(tu 為單位步階（unit step）函數。
)1()]1(2cos)1[( −−− tutt )1(2cos)1( −− tt
]2sin22)[cos1( ttt −− )1(]2sin22)[cos1( −−− tuttt
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16 設)(tay =為6)(3)(4)( =+
′
+
′′ tytyty 之解，則 )(lim ta
t∞→ 之值為何？
0 1 2 4
17 定義傅立葉轉換（Fourier transform）為 ∫∞
∞−
−
=dxexfF xi
ω
π
ω
)(
2
1
)( ，其中 1−=i，若 )(xf 之傅立葉轉換
為
ω
ω
π
ω
1)cos(2
)( −
⋅= iF ，試問 )(xf 為何？
⎩
⎨
⎧<<
=otherwise0,
20if,
)( xx
xf
⎩
⎨
⎧>
=
−
otherwise0,
0if,
)( xe
xf
x
⎩
⎨
⎧>
=
−
otherwise0,
0if,
)( xxe
xf
x ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
<<−−
=
otherwise,0
10if,1
01if,1
)( x
x
xf
18 投擲一個公正的硬幣 5次，求正好 3次正面朝上的機率為何？
3/8 5/16 5/8 11/16
19 兩離散隨機變數 X、Y之結合機率為 P(X = x, Y = y) = A(2x +3y)，其中 x = 1, 2；y = 1, 2, 3，則 A=？
54
1 36
1 24
1 12
1
20 已知某一電話總機在單位時間內收到之電話數目遵守平均每分鐘 4通之 Poisson 分 布，令 X表示收到 2通
電話之等待時間（分鐘），求 )1( ≤XP 為何？
2
41 −
−e 2
51 −
−e 4
41 −
−e 4
51 −
−e
類科名稱：
104年公務人員特種考試警察人員考試、104年公務人員特種考試一般警察人員考試、
104年特種考試交通事業鐵路人員考試及104年特種考試退除役軍人轉任公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：6708)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電子工程、電力工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
BBACABCDB
D ACACDBADB
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：