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101年公務人員特種考試警察人員考試、
101年公務人員特種考試一般警察人員考試及
101年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
等 別：高員三級鐵路人員考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：71170
71270
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、請用拉氏（Laplace）轉換法求解以下微分方程式：
=
++ )(6)('5)("
t
y
t
y
t
y )2()1(
−
+−
t
t
u
δ
, ,0)0(
=
y1)0('
=
y；其中 )(
t
u為單位步階
（unit step）函數， )(
t
δ
為脈衝（impulse）函數。（10 分）
二、有一曲面 16),,( 222 =++= zyxzyxf ，求在點 )4,0,0( 之切面方程式及法線參數表示
式。（10 分）
三、矩陣 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×−
−−×
=
θθ
θθθθ
θθθθ
cos0sin
sincossincos
sincossincos 2
2
A，求：
A是否為一正交矩陣（orthogonal matrix）？請簡要說明之。（5分）
A的反矩陣為何？（5分）
=)det(A？（5分）（亦即矩陣 A的行列式值的絕對值）
四、若隨機變數（random variable）X的機率密度函數（probability density function）
為⎩
⎨
⎧≤<−
=elsewhere,0
10,)1(
)( 4xxk
xfX，求：
k值。（5分）
X的期望值（mean value）： ][X
E
。（5分）
2
X的期望值（mean value）： ][ 2
XE 。（5分）
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7711
本測驗試題為單一選擇題，請選出U一個U正確或最適當的U答案U，U複選U作答者，該題U不予計分U。
共20 題，每題 2.5 分，須用U2B鉛筆U在試卡上依題號U清楚U劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 函數 )(tf 之拉氏轉換（Laplace transform）為 )}({ tfL ，則
{
}
teL t4sin
2為何？
4)2( 42++s 4)2( 2++ss 16)2( 42+−s 16)2( 42+−ss
2 下列何者可為 02'2"
=
+− yyy 之解？
x
ey = xey xcos+=
x
y
cos
=
xey xcos=
3 若nm bxax +為03'5"
2=++ yxyyx 之通解，則 nm
+
之值為何？
-5 -4 3 5
4 求微分方程式 yey ye
dx
dy x
x
cos2sin
−
=的通解為何？
cyyyyex=−+ sincossin2 cyyyyex=−+ cossinsin2
cyyyex=−+ cos)1(sin2 cyyyex=++ sincossin2
5 設微分方程式 92
2
2=+− yexy
dxyd x，其中 2)0(
=
y，1)0('
=
y。若函數 ∑
∞
=
=
0
)(
n
n
nxaxy 為此微分方程式之級
數解，試求 210 aaa ++ 值？
2
7 2
11 2
13 2
15
6 求3
R
中之向量 )1,2,1( −=x相對於基底 )}5,3,2(),2,1,0(),1,0,1{('
−
−
=
B之座標：
)2,8,5(][ '−−=
B
x )1,2,1(][ '
−
=
B
x )2,8,5(][ '
−
=
B
x )1,2,1(][ '
−
−=
B
x
7
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−=
13
54
2
22124
24426
203
A則=)(Rank A？
1 2 3 4
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－
3
8 有一個矩陣 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
578
6105
132
A，請問下面何者正確？
此矩陣的秩（rank）為 3
[][][]
100,2.010,8.001 為矩陣 A的列空間（row space）基底
,
7
2
10,
7
23
01 TT
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
[]
T
100 為矩陣 A的行空間（column space）基底
A的行列式值 0=
9
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1983
1620
0154
3201
A，則 A的行列式值（determinant）為何？
123 234 456 567
10 下列何者不為正交矩陣（orthogonal matrix）？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
01
10
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−2
3
2
12
1
2
3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
010
010
001
11 兩連續隨機變數 X、Y之結合機率密度函數（joint probability density function ）為
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤≤
=
其他,0
50,30,
15
1
),(
,yx
yxf YX ，求機率
=
<
≤
<
≤
)42,31( YXP ？
15
1 15
2 15
3 15
4
12 一系統由 4項獨立運作之組件構成，其組件正常運作之機率分別為 0.9，0.7，0.5 及0.3，令隨機變數 X
為該系統中正常運作組件之數量，則機率
=
>)0(XP ？
0.9055 0.9450 0.9895 0.9976
13 設一隨機變數（random variable）X，其期望值（mean value）2][
=
XE ，均方差（variance）1
2=
X
σ
。令
X
Y2=，則 ][ 2
YE 之值為何？
2 4 8 20
代號：71170
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－
4
O
14 在複數 z平面上，包含無窮遠處之左半平面，經 z
ew =的映射後，在複數 w平面上之值域為：
一半平面 一直線 一圓碟型區域 一長條型區域
15 下列選項何者正確，其中 1−=i：
)3cos()4sin()4cos()3sin()43sin( ii
−
=− )3cos()4sin()4cos()3sin()43sin( −
=
−
ii
)3cos()4sinh()4cosh()3sin()43sin( ii −=− )3cos()4sinh()4cosh()3sin()43sin( −
=
−
ii
16 求複數函數積分 dz
zz
C
∫−1)cos(
2
5
之值，其中積分路徑 C為複數平面上以原點為圓心、半徑為 2的封閉曲線，
方向為逆時鐘方向。其中 1−=i
)1cos(2
π
⋅i
π
1 0
17 若)(
32/1122 xyzxzyzzyxf −+= ，則下列何者正確？
kji 2/13/72/13/72/13/5 −
++=∇ yzxzxyzxf 0)(
=
∇
×
∇
f
0))(( =∇×∇•∇ f 0))((
=
∇
•
∇
∇
f
18 曲線 C的參數表示式為 )sin()cos( tttx +
=
；)cos()sin( ttty
−
=
；2
tz =，則其曲度（curvature）為何？
t5 t5
1 2
2
5t 0
19 讓kjivkjiu 222
+
+=++= 及，則 u於v之投影長度為何？
7 3
7 332 334
20 曲線 C的參數表示式為 2
tx =；2
2
1ty =；3
2+= tz ，則從點 )3,0,0(
1
=
P到點 )4,
2
1
,1(
2=P的弧線長（arc
length）為何？
3 3 2
3 332
類科名稱：
101年公務人員特種考試警察人員考試、101年公務人員特種考試一般警察
人員考試、101年特種考試交通事業鐵路人員考試
科目名稱： 工程數學(試題代號：7711)
題 數： 20題
考試名稱：
標準答案：答案標註#者，表該題有更正答案，其更正內容詳見備註。
測驗題標準答案更正
題號
答案CDBAC ABDDD DCDCC D#BBC
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程
備 註： 第17題答Ｂ或Ｃ或BC者均給分。