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109年公務人員特種考試關務人員、身心障礙人員考試及
109年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題
考 試 別
：
身心障礙人員考試
等 別
：
三等考試
類 科
：
統計
科 目
：
抽樣方法
考試時間：2小時 座號：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
30540
頁次：
2
－
1
一、由下列 N=3 之有限母體 U={2, 4, 6}以簡單隨機抽樣抽出不放回方式
（SRSWOR）抽出 n=2 之簡單隨機樣本。
分別列出樣本均數（
i
y
y
n
）及樣本變異數（
2
2
( )
1
i
y
y
s
n
）之抽樣
分配。（10 分）
以數值方式證明
i
y
y
n
為母體均數（
i
y
Y
N
）之不偏估計式。（5分）
以數值方式證明
2
2
( )
1
i
y
y
s
n
為母體變異數（
2
2
( )
1
i
y
y
S
N
）之不偏
估計式。（5分）
以數值方式證明
2
1
V( )
f
y
S
n
。（5分）
註：第～題請根據之抽樣分配求算。
二、欲了解某一產業現有業者的紓困需求，利用分層隨機抽樣，首先將該產業
共6,000 家業者依三個區域（北中南）分成三層，每層的業者比例分別為
1
3
6
W
、2
2
6
W
及3
1
6
W
。根據過去普查資料得知這三個區域業者的紓困
需求比例分別為 1 2 3
10%, 30%, 50%
P P P
。
欲估計該產業現有業者的紓困需求比例，假設各層抽樣成本相同並能得
到估計值的最小變異數，根據前述的資訊，應如何配置 n=600 的樣本到
這三個區域？（即如何配置
1 2 3
, ,
n n n
）。（10 分）
若欲採用比例配置法（Proportional Allocation）並得到與第題的估計
值相同的精確度（Precision），應抽出多大的樣本？如何配置各層的樣
本（
1 2 3
, ,
n n n
）？【提示：忽略有限母體修正項（fpc）】。（10 分）
試說明第、題樣本結構與樣本大小的差異。（5分）
代號：
30540
頁次：
2
－
2
三、為了解新創產業受疫情衝擊的情況，擬進行一項抽樣調查以估計某一新創
產業在疫情期間申請紓困補助的比例。抽樣方法採一階段集體抽樣
（Single-stage cluster sampling），該新創產業共 300 家公司分散在 15 個
園區（cluster），首先由 15 個園區抽出 3個園區，這 3個園區內的公司數
及申請紓困補助的公司數列於下表。根據下表資料估計該新創產業有申請
紓困補助的比例（P）及該估計值之標準誤。（20 分）
園區
（cluster）公司數
（
i
M
）申請紓困補助的公司數
（
i
a
）
1 15 5
2 20 5
3 15 4
四、欲估計果園內 2019 年平均每棵文旦樹的產量，果園共分為 8區，每區種
了30 棵文旦樹，前六區（老樹區，I）的文旦樹係 20 年前種的老樹，後兩
區（幼樹區，II）的文旦樹係 6年前新種的幼樹。2018 年（x）平均每棵老
樹的產量為 98 公斤，平均每棵幼樹的產量為 53 公斤。為了估計 2019 年
（y）平均每棵文旦樹的產量，以老幼樹區分層，利用分層簡單隨機抽樣
結合比例配置法抽出 24 棵文旦樹包含 18 棵老樹及 6棵幼樹（
24
n
,
1
18
n
,2
6
n
），記錄其文旦產量。其母體特性及樣本統計結果彙整於下
表：
層別
(h)變數 母體 樣本
h
N
h
W
h
X
h
n
h
x
h
y
2
h
s
xyh
s
ˆ
h
R
h
r
Ix180 0.75 98 18 94 150 130 1.05 0.9
y99 140
II x60 0.25 53 6 58 30 24 1.22 0.6
y71 55
合計 240 24
利用下列估計量估計今年平均每棵文旦樹的產量
Y
。（15 分）
⑴
st
y
：
分層隨機抽樣結合簡單均數估計量
。
⑵
Rs
y
：
分層隨機抽樣結合分開比率估計量
（separate ratio estimator）。
⑶
Rc
y
：
分層隨機抽樣結合混合比率估計量
（combined ratio estimator）
。
估計第題中各估計量的變異數並比較這三個估計量的精確度。（15分）