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0
8
年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：
34070
34170
頁次：
3
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、求通解（general solution）為 2
1 2
x x x
c e c xe x e
+ + 的二次微分方程式，其中
1
c
及
2
c
為任意常數。（10 分）
二、求週期為 2T的函數， cos( / ), 0
( )
0, 2
x T x T
f x
T x T
π
≤ <
=≤ <
,且f(x+2T) = f(x)
拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（15 分）
三、若
cos(3 2)
i a ib
+ = +
，求
a
及
b
。（5分）
四、求
( 2)( 4 )
z
dz
z z i
γ
+ −
∫，其中
γ
為
| | 5
z
=
的圓。（10 分）
五、
1 2
1 4
2 2
A
− −
=
及
3
2
7
B
= −
，求 x，使得
|| ||
Ax B
−
最小（least square
solution）。（10 分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7340
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1令u=i-j-k；v= -3i+4j+6k；w= -2i-4j+2k，則由 u，v及w所形成的平行立方體（parallelepiped）
體積為何？
9
9 2
18
18 2
代號：
34070
34170
頁次：
3
－
2
2
1 1 1
A 0 2 1
2 2 3
−
= −
− −
，試問
3
R
x∀ ∈ ，
T
T
A
x x
x x
之最大值為何？
1234
3令矩陣
5 10 10
10 5 20
5 5 10
−
= −
− −
A，
0
0 1 1
1 0
a b
c
=
P，且 1−
=
P AP D
，其中 D為一
3 3
×
對角矩陣（diagonal
matrix），下列敘述何者正確？
5
a b c
+ + =
4
a b c
× × =
0
a b c
− − =
1
a b
c
×
=
4已知 A為
m n
×
矩陣且 rank(A)=r，下列敘述何者正確？
Ax=0的解空間（solution space）維度（dimension）為
m r
−
若m=n=r且x為
1
n
×
未知矩陣，則 Ax=0存在唯一解
若m=n=r，則 A的列向量（row vector）彼此間都是線性相依（linear independent）
若m>n>r，則 A的列向量（row vector）彼此間都是線性獨立（linear dependent）
5求矩陣
1 3 0
3 1 0
0 0 2
A
=
−
有幾個線性獨立之特徵向量？
1234
6
0 2
1 3
A
−
=
，令
2 2
Ai j
e a
×
=
，則 11 22
a a
+ =
？
2
e e
−
2
e e
+
2
e e
− +
2
2
e e
−
7下列何者為
1
4
( 64)
−的複數根？
1
i
− −
2
i
− −
1 2
i
− −
2 2
i
− −
8
(
)
ln 1 3
i
− =
？
2 2
3
i n
π
π
+ − +
，其中 n為任意整數 2 2
6
i n
π
π
+ − +
，其中 n為任意整數
2
2 2
3
i n
π
π
+ +
，其中 n為任意整數 5
2 2
6
i n
π
π
+ +
，其中 n為任意整數
9求2
z dz
ϕ
∫
，沿著路徑
t it
ϕ
= +
，
0 2
t
≤ ≤
積分之值：
32
( 1)
3
i
−
16
( 1)
3
i
−
8
( 1)
3
i
−
4
( 1)
3
i
−
10 假設
1
(z)f
z
=
，求
( )
C
f z dz
∫
之值，C為
2 1
z
− =
之逆時針之圓周。
0
2
i
π
2
i
π
−
4
i
π
11 假設 1 2
ax bx cx
k e k e e
+ +
為微分方程式
6 8 3
x
y y y e
′′ ′
− + = 的解，則
a b c
+ +
為何？
-6 -4 79
代號：
34070
34170
頁次：
3
－
3
12 假設路徑 C是一逆時針的正方形，其各邊位於直線
2
x
= ±
和
2
y
= ±
之上。試求出
( )
2
z
i
C
e
dz
z
π
−
−
∫值為何？
2
π
π
i
π
−
1
13 給定一組微分方程式
1 2 2 1 2
, 1.01 0.2
x x x x x
′ ′
= − = −
，起始值為 1 2
(0) 0, (0) 1
x x
= = −
，則 2
lim ( )
t
x t
→+∞
=
？
-1 01無窮大
14 令
( )
2 2
1
( )
1
s
F s s s
+
=
+
，試求 F(s)之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）
{
}
1
( ) ( )
f t L F s
−
=？
1 sin( ) cos( ), t 0
t t
− + >
sin( ) cos( ), t 0
t t t
+ − >
1 sin( ) cos( ), t 0
t t t
+ − − >
1 sin( ) cos( ), t 0
t t t
+ + + >
15 下列何者為偏微分方程式
2
2
4
u u
x y
∂ ∂
=
∂ ∂
的解？以下 1 2
, ,
c c
α
為常數。
1 2
( , ) cos 2 sin 2
K K
u x y c e x c e x
α α
= + ，其中
2
K
a y
=
1 2
( , ) cosh 2 sinh 2
K K
u x y c e x c e x
α α
= + ，其中
2
K
a y
=
1 2
( , ) cos 2 sin 2
T T
u x y c e y c e y
α α
= + ，其中
2
T
a x
=
1 2
( , ) cosh 2 sinh 2
T T
u x y c e y c e y
α α
= + ，其中
2
T
a x
=
16 求2
1 1
1
s
s s
−
+
之反拉普拉斯轉換為下列何者？
-t
2 t 2
e
− + +
-t
2 t 2
e
− − +
-t
2 t 2
e
− + −
-t
2 t 2
e
− − −
17 已 知 函 數 x(t)其傅立葉轉換為 ( ) ( ) j t
X j x t e dt
ω
ω
∞−
−∞
=∫且
( ) 2( ( 3) ( 3))
X j u u
ω ω ω
= + − − ，
3
( )
2
X j
ω ω π
= − +
，其中方程式
( ) 1, 0
( ) 0, 0
u
u
ω ω
ω ω
= ≥
= <
，請問 t為下列何者時，x(t)=0？
1
2
π
+
1
2
π
+
3
2 3
π
+
2
4
π
+
18 一個盒子中有 30 顆IC，劣品比率為 1/6，在某次實驗中取了 10 顆IC，試問此次實驗所用的 IC
都是良品的機率為何？
2 28
0 10
30
10
C C
C
5 25
0 10
30
10
C C
C
6 24
0 10
30
10
C C
C
10 20
0 10
30
10
C C
C
19 給定一個連續隨機變數 X，其機率密度函數為
/4
1
4, 0
( )
0, elsewhere
x
e x
f x −
>
=
，試問一個隨機變數
3 2
Y X
= −
，則此隨機變數 Y的變異數（variance）
2
Y
σ
為何？
18 36 64 144
20 設有一連續隨機變數 X具有機率密度函數
2 , 0 1
( ) 0,
x x
f x
≤ ≤
=
其他 ，求其期望值。
12/3 3/4 4/5
類科名稱：
108年特種考試地方政府公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：7340)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電子工程、電力工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
CCBCBDABA
C BCBBCBDBA
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：