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106年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：電力工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號： 33570
頁次： 4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、三維空間中的四點 O、A、B、C的座標分別為(2, 0, 2)、(-3, 1, 0)、(1, 1, 4)、(5, 2, -4)，
求解：
以O、A、B三點為頂點所構成的三角形面積。（5分）
以O、A、B、C四點為頂點所構成的四面體體積。（5分）
二、試求 dx
xxx
∫∞
∞+−+
-21)10)(2)(( 2之值。（15 分）
三、求解偏微分方程式 02 22 =− uyux xy ，其中 yx u
uxy ∂∂
∂
=
2
。（10 分）
四、連續隨機變數 X與Y之聯合機率密度函數（joint probability density function）為
⎩
⎨
⎧><<
=
−
otherwise,0
0,10if,2
),(
,yxxe
yxf y
YX ，試求：
X之邊際機率密度函數（marginal probability density function）)(xfX與Y之邊際
機率密度函數 )(yfY。（7分）
XY 的期望值 E[XY]。（8分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7335
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 若
A
為一個 66×反對稱矩陣 )( T
AA −= ，下列何者錯誤？
)det()det( T
AA = )det()det( AA −= )det()det( AA −= )det()det( T
AA −=
代號：33570
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－
2
2 求
()
2
2vuvu ⋅+× 與下列何者相等？
))(( vvuu ×⋅ ))(( vuvu ⋅× ))(( vvuu ⋅⋅ )()( vvuu ×⋅×
3 試決定 a值，可能造成下列的聯立方程式會有無限多組解：
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=
=++
24
2
4
3
23
321
axa
x
xxx
1−=a 5.1−=a 2−=a 5.2−=a
4 令矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
410
302
113
A，其反矩陣（inverse matrix）1−
A可表示為 ][ ij
a，則下列敘述何者正確？
3
12 −=a 2
21 −=a 7
23 −=a 2
32 =a
5 已知 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=610
23
A，12)( 23 ++−= xxxxf ，求 )(Af 為何？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
1120
47 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−207
114 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
420
711 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−− 114
720
6 給定一 33×矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
301
121
200
A，則下列何者錯誤？
矩陣 A的特徵值（eigenvalues）為 1,2,2
[]
T
010 為矩陣 A的一個特徵向量（eigenvector）
[]
T
101−為矩陣 A的一個特徵向量（eigenvector）
[]
T
112 為矩陣 A的一個特徵向量（eigenvector）
7 假設複數 i
y
x
z+= ，則下列那一個複變數函數是屬於全域可分析的（analytic for all z）？
iy
x
y+ ixyee xiexe yy cossin −− − )(2 22 yxixy −+
8 求∫c
zdze 之值，其中 C為3=z之逆時針之圓周：
π
0
π
− 1−
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－
3
9 已知複變數函數 2
2
)1(
)( −
=ze
zf z
的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數（order）
M及對應的留數（residue）B分別為何？
3=M，2
e
B= 2=
M
，2e
B−
= 2=
M
，2
2eB = 1=
M
，2
eB =
10 求下列微分方程式的特解：
044 =+
′
−
′′ yyy 且3)0( =y，4)0( =
′
y
x
exy 2
)23( += x
exy 2
)32( +=
x
exy 2
3
)23( −= x
exy 2
)23( −=
11 求微分方程 0
1
4=
−
−
′yxy
y，1)0( =y之解為：
1ln2 −=−− yyx 1ln
2−=+− yyx
1ln2 2−=+− yyx 1
2−=− yx
12 已知 )(ty 的拉普拉斯轉換（Laplace transform）方程式為 =)(sY ℒ
{}
234 73 14
)( sss s
ty ++
+
=。下列何者錯誤？
∞=
→∞ )(lim ty
t
7)0( =
+
y
ℒ345
073
14
)( sss
s
dy
t
++
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧∫
αα
ℒ
{}
234
273 14
)2()2(
s
s
s
s
etuty s
++
+
=−− −，其中 )(tu 為單位步階函數（unit step function）
13 下列何者為 0)()()( 222 =++
′
+++
′yxxyyxyxyxy 之解？（其中 C為常數）。
0
22 =++ Cyx 0
22 =++ Cxyx 0
22 =++ Cyyx 0
22 =++ Cxyyx
14 給定一偏微分方程式 yx
yx z2
2
=
∂∂
∂，且方程式滿足 2
)0,( xxz =，yyz cos),1( =，試問 =∏),0(z？
6
12 2
∏− 6
12 2
∏+
− 6
12 2
∏+ 6
12 2
∏+−
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－
4
15 有一微分方程 05
3
1
)16( 22 =+
′
+
′′
+yeyxyx x，1
r及2
r分別為其級數解 ∑
∞
=
=
0n
n
nxcy 及∑
∞
=
−=
0
)3(
n
n
nxcy 的收斂
半徑，其中 n
c為常數，則 =+ 21 rr ？
6 7 8 9
16 求)cos(att 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）：
222 )( 2as as
+ 222
2
)( 2as s
+ 222 )( )(2 as as
+
+ 222
22
)( as as
+
−
17 試問下列何者不滿足二維拉普拉斯方程式 =
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
yu
xu0？
23 3xyxu −= )/( 22 yxxu +=
xyyxu // −= 22222 )/()( yxyxu +−=
18 某離散隨機變數 X之質量函數為 15.0)2()1()2( ===− PPP ，55.0)3( =P，試問期望值 E[X]為何？
0.6 1 1.5 1.8
19 設隨機變數（random variable）X和Y的聯合機率密度函數（joint probability density function）為
⎩
⎨
⎧<<−<<−+
=elsewhere,0
33and22,)(
),( 2
,yxyxa
yxf YX 。則 a之值為何？
1/104 1/36 1/24 1/6
20 令i
X, ni ,...,2,1=，為獨立高斯隨機變數（Gaussian random variables），其
[]
ii
XE
μ
=，
[]
2
ii
XVar
σ
=，亦
即),(~ 2
iii NX
σμ
，下列何者錯誤？
()
(
)
∑∑
==
−
n
i
n
iiii NX
11
2
,0~
σμ
(
)
∑∑∑
===
n
i
n
ii
n
i
ii NX
11
2
1
,~
σμ
∑∑∑
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
i
n
i
n
iiii n
n
NX
n111
2
2
1
,
1
~
1
σμ
(
)
∑∑
∑
===
n
i
n
i
n
iiii NX
111
222 ,~
σμ
類科名稱：
106年特種考試地方政府公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：7335)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電力工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
CBCADCBCD
C ABDDCDADB
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：