加載中. ..
PDF
105年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：電力工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號： 33970
頁次： 4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、給定三個點的直角座標為 )1,1,1(
1
P，)4,3,2(
2
P，)1,0,3(
3−P，原點為 )0,0,0(O。
求三角形 321 PPPΔ之面積？（5分）
求以三個向量 1
OP ，2
OP ，3
OP 為邊所展開的平行六面體之體積？（5分）
二、給定一積分式∫−++++++
Cdzxyyzdyxzzxdxyzy )19()3()( 23 。
證明該積分式之解答與積分路徑 C無關。（4分）
求該積分式之不定積分解答？（4分）
若積分路徑 C之起點為 )1,1,1( 、終點為 )4,1,2( ，求該積分式之數值結果為何？（2分）
三、求 )3()1( 1
)( 2−−
=zz
zf 在下列不同區間的 Laurent series 展開式：
2|1|0 <−<
z
。（5分）
2|3|0 <−<
z
。（5分）
四、給定線性微分方程組：
zyx
dt
dx ++−= 4，
zyx
dt
dy −+= 5，
zy
d
t
dz 3−= ，
該方程組可表示為矩陣形式 Au
d
t
du =，其中
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
310
151
114
A，⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
u
求矩陣
A
之特徵值及對應的特徵向量？（6分）
將該方程組之解用上述之特徵值及特徵向量表示。（4分）
代號：33970
頁次：4
－
2
五、計算下列機率分布函數之平均值
μ
（mean）及方差 2
σ
（variance）。
二項式機率分布 knk pp
kkn n
pnkb −
−
−
=)1(
!)!( !
),;( ； 10 <<
p
,nk ≤≤0。（5分）
Poisson 機率分布
λ
λ
λ
−
=e
k
kp k
!
);( ； ,2,1,0=k…。（5分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7339
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 下列向量集合何者為線性相依（linearly dependent）？（選項中 T代表轉置（Transpose））
{(1,1,1)T,(1,1,0)T,(1,0,0)T} {(1,1,1)T,(1,1,0)T}
{(1,2,4)T,(2,1,3)T,(4,-1,1)T} {(1,2,4)T,(2,1,3)T}
2 試問向量
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
3
2
1
於一子空間 Span ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
0
,
2
0
1
之正交投影（orthogonal projection）向量為何？
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
6
5
61
3
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
6
19
6
11
3
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
65
6
1
31
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
6
19
6
11
32
3 假設 33×
∈
R
A，33×
∈
R
B
，且 I為三階單位矩陣，已知 4−=A，6=B，請問
BA
AI
ABBA
T
00
20 2
21−
＝？
12 48 192 768
4 假設矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−=
xxxx
xx
xxxx
A
cossincossin
0sincos
sincossincos
2
2
，則下列何者正確？
A為正交矩陣（orthogonal matrix） A的反矩陣不存在
A的行列式值 2=A A為奇異矩陣（singular matrix）
5
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2824124
151195
141262
131073
A，求 =)(rank A？
3 4 1 2
代號：33970
頁次：4
－
3
6 3121
2
3
2
2
2
1321 2263),,( xaxxxxxxxxxf +−++= ，當 a為下列何值時，可使得 )0,0,0(),,( 321 ≠xxx 時，
),,(
321
xxxf
恆為正值？
-2 -1 2 3
7 下列何者為複數函數 iez−=1的根？其中 1−=i。
4i
π
4i
π
− 4
2ln i
π
− 4
2ln
2
1i
π
−
8 假設路徑 C為一逆時針方向的圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 )0(2
πθ
θ
≤≤= i
ez ，求 ∫C
zdze /1 之值
為何？
0 i
π
2 i
π
2− i
π
4
9 假設積分路徑是所標示的積分上下限之間的任意軌跡，求 ∫2/i
i
zdze
π
的值為何？
1
π
i−1 0
π
i+1
10 函數 )(tf 之拉氏轉換（Laplace Transform）為
[]
)()( tfLsF =，若 tetf t4cos2)( 3−
=，則下列何者正確？
)16)(3( 2
)( 2++
=ss s
sF )16)(3( 8
)( 2++
=ss
sF
16)3( )3(2
)( 2++
+
=ss
sF 16)3( 8
)( 2++
=s
sF
11 求解微分方程
xyy 22 +=
′
，其解為：
1
2
2−+= x
cey x 1
2
2+−= x
cey x 2
1
2++= xcey x 2
1
2−−= xcey x
12 求02 =−
′
+
′yyx ，t
eyx −
=+
′，0)0()0( == yx 之解：
tt eetx −
+−−= 4
3
4
1
2
1
)( ，tt eety −
−= 4
1
4
1
)( tt eetx 4
3
4
1
2
1
)( −+= −，tt eety 4
1
4
1
)( +−= −
tt eetx −
+−−= 4
3
4
1
2
1
)( ，tt eety 4
1
4
1
)( +−= − tt eetx −
−+= 4
3
4
1
2
1
)( ，tt eety −
+−= 4
1
4
1
)(
13 試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform）⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
−
258 12
2
1ss s
L？
tt 3sin33cos2 − tete tt 3sin33cos2 33 −− −
tete tt 3sin33cos2 44 −− − tete tt 3cos33sin2 44 −− −
代號：33970
頁次：4
－
4
14 求2
3
2−
−=+
′yxyyx 之通解？（選項中 c為任意常數）
cyxyx =+ 2
2
3
2
5
3
5 cxyx =+ 2
3
2
3
2
55 cyxyx =+ 2
3
2
5
2
5
3
5 cxyx =+ 2
3
2
5
2
5
3
5
15 求偏微分方程式 02 =− xxy uu 之解？（選項中 )(
1yk 為y的函數， )(
2xk 為x的函數）
)()(),( 1
2ykdxxfeyxu y+= ∫
− )()(),( 1
2ykdxxfeyxu y+= ∫
)()(),( 2
2xkydyfeyxu x+= ∫
− )()(),( 2
2xkydyfeyxu x+= ∫
16 給定一偏微分方程式為 x
x
u
xy u=
∂
∂
+
∂∂
∂2
2
，且 0),0( =yu ，2
)0,( xx
x
u=
∂
∂，試問當 1=x，0=y時， =),( yxu ？
2
1 3
1 4
1 5
1
17 令)(ty 為微分方程式 2
2
2244 ty
dt
dy
dt yd =++ 之解，其中 0)0()0( =
′
=yy 。
若2
)2(
)( 223 +
+
+
+++= se
sd
s
c
s
b
s
a
sY 為)(ty 之拉氏轉換，其中 a，b，c，d，e為常數，求 da +值？
1− 4
1
− 8
1 2
1
18 對於隨機變數
X
，以下期望值與變異數的性質何者錯誤？其中 k為任意常數：
[][]
kXEkXE +=+
[] []
XkVarkXVar =
[][]
XVarkXVar =+
[]
[
]
[]
XEXEXVar 22 −=
19 連續隨機變數 X與Y之結合機率密度函數（joint probability density function）為
⎩
⎨
⎧≤≤≤
=otherwise,0
10if,2
),(
,xy
yxf YX ，試求 )2( YXP ≤？
0.25 0.5 0.75 1
20 兩離散隨機變數 X、Y之結合機率 ),( yYxXP == 如下表，則協方差（covariance）=),( YXCov ?
P(X = x, Y = y) X
0 1 2
Y 0 0.1 0 0
1 0 0.1 0.2
2 0 0.1 0.5
0.2 0.3 0.4 0.5