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102年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：可以使用電子計算器。
代號：31050
31150
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、試利用拉氏轉換（Laplace transform）求解 =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
2
1
x
x⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
31
35 ⎥，=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
x
x
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)0(
)0(
2
1
x
x
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
4
0
（其中 d
t
dx
xi
i≡
′，2,1
=
i）。（15 分）
二、試求函數 zxy
z
xy
zy
x
++=),,(
ϕ
於位置 )3,2,1( 朝向點 )2,1,0( 之方向導數。（10 分）
三、假設隨機變數 X與Y的聯合機率密度函數（joint probability density function）如下：
⎩
⎨
⎧
≤
+
≤≤≤≤
=elsewhere,0
1,10,10,
),( yxyxkxy
yxf
試求 k值。（5分）
試求隨機變數 X的邊際分布函數（marginal distribution function）。（5分）
試計算出隨機變數 X的期望值（mean value），亦即 E(X)。（5分）
四、試求出滿足方程式 4coshsin 之所有的根，此處 iy=z
x
z
+
=
為複數（complex number）。
（10 分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：5310
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 有一微分方程式 04 =4
+
′y，3)0(
−
′′ yy
=
y，1)0(
=
′
y，下列何者為其解？
x
xe 2
5−
− xx xe2
5
x2−
ey 3=ey 3−=
ey 3=ey 3=
2
xx xe2
5− x
xe 2
5−
−
2−x2
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2
2 求解微分方程式 05.0 =y，其解為？
+
′
+
′′ yy
1ecy =1.icecy =
)0i5.0cos( 21 cxcey += 0i5.0cos( 21 cxcey −=
)(sF =
0s→s
2
5.0 ic
x− 2
50+
5.0−5.0 x
5.s n x )5.s n x
5.0 x−5.0 x
3 設)}({ tfL 為)(tf 之拉氏轉換，則下列何者為初值定理（Initial-Value Theorem）？
)0()]
([ fssFLim =)0()]([ fssFLim
=
∞→
s∞→ 0s
)0(] )0/)([ fssFLim =()]([ fsFLim
=
→
y
4 下列何者為 2
1y+=
′，0)0( =y之解？
)
22
(tan)(
ππ
<<−= xxxy )
22
(sec)(
ππ
<<−= xxxy
)||0(cot)(
π
<< x )|=xxy |0(csc)(
π
<
<
=
x
xxy
10 +aa 210
5 已知微分方程式 12 的解可表為 ∑，試求常數 0
a、1
a及2
a之值，並
判定下列何者正確？
56 232 +++=+
′xxxyyx =
=3
0
)( m
m
mxaxy
6
2=+ a 4
=
+
+
a
aa
10 +aa 10
2
2=+ a 0
2
=
+
+
a
aa
P
6 已知微分方程式 x
Ke 的特解為 x
ex ，試求常數
yyy 3−
=+
′
+
′′
βα
xy 32
2)( −
=
α
、
β
及K之值，並判定下列
何者正確？
7=+ K+
β
α
13
=
+
+
K
β
α
19=+ K+
β
α
25
=
+
+
K
β
α
7 函數 )(tf 之拉氏轉換（Laplace transform）為 )}({ tfL ，令 )}2sin( tt{)( LsF
=
，則 )4(F等於何值？
1/100 1/50 1/25 1/10
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3
8 假設兩向量 kj +− 2；kj qiR =
1piR
+
+8，下列何者之 q
=
2
p
,值會使 1
R平行 2
R？
4−=p，4=q 4
=
p，4
−
=
q
4
1
−=p，4−=q 4
−=p，4−=q 4
−
=
p，4
1
=q
9 試求向量場 kj z
y2+的散度（divergence）：
iv xexy2+=
i2+xey i22
kj 2+
y kj
+
+
x
y
2y2
2++ y
xe 2
+
+
xy
o
10 求複變函數積分 dz
z5之值，其中積分路徑 C為複數平面上包圍點 i2
iz +
5
)2(
C
∫
−
的任意逆時鐘方向封閉曲
線，其中 1−=i。
0 10π 20π 50π
11 複變函數 41
)e
=在0=z的留數（residue）為何？
(z
zf z−
2
1 4
1 6
1 8
1
12 請計算 i
e
π
72+之值，其中 1−=i。
2
e 2
e− 2 2
−
ie ie
13 設⎥⎢
⎥
−
1
4x，其中 ⎥⎢−
=
⎥1，求 ⎥⎢ )(
(
1tx
x？
⎦
⎤
⎣
⎡
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
2
1
7
03 x
dt
dx
dt
dx
⎦
⎤
⎣
⎡
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡1
)0(
)0(
2
1
x
x
⎦
⎤
⎣
⎡)
2
t
e4
1
0
2 e4
1
2
tt
e
tx
tx 3
2
10
1
)(
)( −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡tt
e
tx
tx 3
2
10
1
1
)(
)( −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
e4
3
0
2 e4
1
1⎥
−
tt
e
tx
tx 3
2
10
1
)(
)( −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡tt
e
tx
tx 3
2
11
1
2
)(
)( −
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
14 設A及B為任二 nn×矩陣，且已知 0AB
=
（其中 0為零矩陣），則下列敘述何者恆真？
0A =或0B 0 A┬B┬0=BA =
=
B┬A┬0
=
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4
15 設A、B及C為任三 nn×矩陣，則下列敘述何者不恆真？
CB ++ BCA
)()( ACBA =++ CCBA
+
=
+
)(
BCA )( AB
CAB)(= 若AC
=
，則 CB
=
16 令I表示單位矩陣，右上標 T表示轉置（transpose），下列之 nn 不是線性轉換（linear
transformation）？
nn RRL ×× →:
AA)( = T
A)( I3LLA=AA
−
=
) T
(LLAAA +=)(
17 函數 23
32
)( 2+−
+−
=zz
z
zf 在2||1 << z的前提下可展開為 ∑，則 1
a值為：
∞
−∞=
=
n
n
nzazf )(
0 4
1 2
1 1
18 若一粒子受 j之力，沿以(1,1),(0,1),(1,3),(0,3)為頂點之長方形路徑 C順時針
方向運動一圈，求 F所作的功：
i))2(cos()( 22 xyexyF x−+−=
2 4 6 8
19 兩連續隨機變數 X、Y之結合機率密度函數（joint probability density function）為
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤
=其他,0
10,10,4
),(
,yxxy
yxf YX ，則下列何者錯誤？
)yf× )yfY
)((),(
,xfyxf YXYX =)((),(
,xfyxf XYX
+
=
)(xfX
= () yfY
),(
/yxf YX ),(
/xyf XY
=
20 若一打雞蛋中有 3個尚未煮熟，自該打雞蛋中隨機挑出 2個，試求所挑出之 2個雞蛋皆已煮熟之機率。
10
5 11
6 12
7 13
8
類科名稱：
102年公務人員特種考試身心障礙人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：5310)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案BCBAA CCCCC CBBDD CBBBB
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程