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100年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
代號：31250
31350
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、求微分方程式 的解。（提示：令
0)563()32( 223232 =+−+− dyxyxyxdxxyyx
xy
u
=
）
（15 分）
二、令矩陣 nn
R
×
∈I 是一個單位矩陣（Identity matrix），已知 之行列式
（determinant）值是1。
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡×
II
0I nn
求解 之行列式值。（4分）
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
×
nn
nn 0I
I0
－
矩陣 nn
R
×
∈A，nn
R
×
∈B，求解 之行列式值。（6分）
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
AB
BA
三、
求 ，
∫∞−
0)cos( dvve v
λ
λ
為大於 0之實數。（5分）
λ
λ
λ
d
x
∫∞
+
021
)cos( 0≥
x
=？（ ）（10 分）
利用傅立葉積分定理求
四、假設球體的半徑是一個連續隨機變數，半徑
r
之機率密度函數 )1(6)(
r
r
r
f
−
=，
。（10 分） 10 <<
r
V
(
V
f
。試求球體體積 )的機率密度函數
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：5312
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 設 為常數，則下列何者為曲線
aaxy += 的正交曲線？
x
cey 2
=x
cey 2−
=
2
cxy =cxy +=
2 解微分方程式 。
01 22 =
′
+++ yxyyx
cyx =+
−1
tan cxyx =+
−1
tan cxxy =+
−1
tan cxxy =+
−1
sin
12
5
2
21
x
xx e
ececy ++= 的原始微分方程式為：
3
12
23 5x
e
yyy =+
′
−
′′
x
eyyy 5
23 =+
′
−
′′
023
=
+
′
−
′
′
yyy
x
eyyy 5
223 =+
′
−
′′
F
r
1≤z
4 為圓柱體 ，
4
22 ≤+ yx
S之表面，利用散度定理（divergence theorem）判斷下列向量函數 中，何
者之面積分 dAnF
S
r
r
⋅
∫∫ 值不為 0？
]sin,sin,[cos xzyF =
r
]sin,sin,[cos yxzF =
r
]cos,sin,[sin xzyF =
r
]cos,sin,[sin zyxF =
r
ktjtittr
r
r
r
r
3sincos)( ++=],,[ xyzF =
r
5 力由點 出發，沿著螺旋線（helix）
)0,0,1(P)6,0,1(
π
Q
施力至點 為
止，總共做功（work）多少？
36 −
π
18 2
+
π
π
0 7
A
=AA
6 下列關於正交矩陣（orthogonal matrices） 的特性，何者是錯誤的？
1−T
1±=A
的行列式值（determinant）為：
A
的特徵值（eigenvalues）全為實數（real numbers）
A
A
的行向量（column vectors）都互為正交（orthogonal）
7 令33
A×
∈
R
為對稱矩陣，若 321 ,,
λ
λ
λ
與 分別為 A之相異特徵值與相應之單位特徵向量，並
令矩陣 ，則下列敘述何者錯誤？
321 ,, VVV
][ VVVP =321
321 321
互為正交
,, VVV ,,
λ
λ
λ
必為實數
1=P 行列式
T
P
P
=
−1
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3
8 令矩陣 ，則 A的秩（rank）等於多少？
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1261-1
2-5-44
731-2
3-105-
A
1 2 3 4
54
43
)( 2++
+
=ss
s
sF
9 試求函數 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−tte t3sinh
3
2
3cosh3
2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−tte t3sinh
3
2
3cosh3
2
()
tte tsin10cos3
2+
(
)
tte tsin2cos3
2−
−
))(( tgf ∗
0 0
0 0
10 為函數 f與g的迴旋積（convolution），則下列何者為錯？
∫−=∗ tdtgftgf )()())((
τττ
∫−=∗ tdtfgtgf )()())((
τττ
∫−=∗ tdtgftgf )()())((
τττ
∫−=∗
τ
ττ
)()())(( dttftggf
∑
∞
=
=
12
sin)(
nnxn
bxF
π
11 已知函數 ，
xxF =)( 20
<
<x，以半幅展開 為傅立葉正弦級數
)(xF
=
n
b？
，則
π
π
nbncos
4
=
π
π
nbncos
4−
=
π
π
nbncos
1
=
π
π
nbncos
1−
=
n n n n
∫∞
∞−
−
=dxexfF xi
ω
π
ω
)(
2
1
)(
12 定義傅立葉轉換為 ，求出函數 的傅立葉轉換。
⎩
⎨
⎧<<
=其他,0
20,1
)( x
xf
πω
ω
2
12
i
ei
−
πω
ω
2
12
i
ei−
−
πω
ω
2
12
i
ei−
+
πω
ω
2
12
i
ei
+
13 是週期為
)(tf
π
2的函數，在
π
π
<≤− t之間定義為 。已知 的傅立葉級數
（Fourier series）為
⎩
⎨
⎧
<≤
<≤−−
=
π
π
t
t
tf 0,4
0,4
)( )(tf
∑
∞
=
−
−
=
1
))12sin((
12 116
)(
n
tn
n
tf
π
。定義週期為
π
2的函數 在
)(tg
π
π
<
≤− t之間為：
。下列何者為 的傅立葉級數（Fourier series）？
⎩
⎨
⎧
<≤
<≤−
=
π
π
t
t
tg 0,2
0,0
)( )(tg
∑
∞
=
−
−
+=
1
))12sin((
12 14
1)(
n
tn
n
tg
π
∑
∞
=
−
−
+=
1
))12sin((
12 14
2
1
)(
n
tn
n
tg
π
∑
∞
=
−
−
+=
1
))12sin((
12 12
1)(
n
tn
n
tg
π
∑
∞
=
−
−
+=
1
))12sin((
12 12
2
1
)(
n
tn
n
tg
π
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－
4
14 利用 Frobenius 級數 的方法解微分方程式 ，下列何者是這個問題的
indicial 方程式？
∑
∞
=
+
=
0
)(
n
rn
nxcxy 02
22 =−
′
+
′′ yyxyx
0
2=− rr 02
2=−− rr 02
2=−+ rr 0
2=+ rr
=
−)]}(ln[tan{ 1zz
dz
d
15 求？
)(lntan
)(ln11
2z
z−
+)(lntan
)(ln1 11
2z
z−
+
+
)(lntan
)(ln
11z
z−
+
)(lntan 1z
−
16 設 為複數，下列敘述何者正確？
z
2
2z
zee ≤
)cos()cos( zizi ≠，其中 z表示 的共軛複數（complex conjugate）
z
對於複數平面上任何兩點 與 ，公式
1
z2
z)()()( 2121 zArgzArgzzArg
+
=
皆成立，其中 表示複數 的
主幅角（principal argument）
)(zArg z
zsin 在時為可析函數（analytic function）
0=z
函數
∫
−
Czdz2
52 =−z
17 設C為之值？
之封閉曲線，求逆時針方向積分
π
i
π
2
1 0
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧<<−−
=otherwise
xx
xf ,0
11,11
)( 2
π
18 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為 。則 X的期望值（mean）
為何？
21
π
1
π
21
0
19 非均質（nonhomogeneous）一維熱傳方程式 ，利用轉換 可將該方程
式均質化： ，則以下選項何者可為輔助函數 ？其中
)(),(),( xwtxvtxu +=
x
xxt Neucu
α
−
=− 2
ttxu
ut∂
∂
=),(
0
2=− xxt vcv )(xw ，2
2),(
x
txu
uxx ∂
∂
=， 及
定義同 及 。
t
vxx
v
t
uxx
u
x
e
c
N
α
α
−
−22 xc
e
N
22
1
α
−
xc
Ne 22
α
−
x
ecN
α
α
−
−22
20 假設 x是指數分配（exponential distribution），其機率密度函數為 ，若
⎩
⎨
⎧>
=
−
elsewhere
xe
xf x
,0
0,
)(
α
α
uxE
=
)( ，
，則 q的範圍為何？
quxP => )(
121 << q2131 << q3141
<
<
q4151 << q
類科名稱：
100年公務人員特種考試身心障礙人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：5312)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案DCADD CDCDA BBABB ABDCB
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程