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數
學
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祝考試順利
109-E1
109 學年度全國高級中學
學科能力測驗模擬考試
數學考科
99362103-29
―作答注意事項―
考試範圍：第一冊全
考試時間：100
分鐘
題型題數：單選題
6
題，多選題
7
題，選填題第
A
至
G
題共
7
題
作答方式：用
2B
鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切
勿使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識
答案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可
能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能
在一個格子畫記，請仔細閱讀下面的例子。
例：若第
B
題的答案格式是 ○
18
○
19
，而依題意計算出來的答案是 8
3，則考
生必須分別在答案卡上的第
18
列的 與第
19
列的 畫記，如：
例：若第
C
題的答案格式是 ○
20
○
21
50
，而答案是 50
7－時，則考生必須分別在
答案卡的第
20
列的 與第
21
列的 畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
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頁
數學考科
第壹部分：選擇題（占
65
分）
一、單選題（占
30
分）
說明：第
1
題至第
6
題，每題有
5
個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在
答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者，得
5
分；答錯、未作答或畫記多於一
個選項者，該題以零分計算。
1. 已知
2a＝3，其中
a
是實數，則下列哪一個選項正確？
( )
1
a＜0.5
( )
2
0.5 ≤a＜0.75
( )
3
0.75 ≤a＜1
( )
4
1≤a＜1.25
( )
5
a≥1.25
2. 下列何者是
3
2)2(
8
＋
的最簡根式？
( )
1
7
228－
( )
2
8－22
( )
3
6－22
( )
4
10－27
( )
5
20－241
3. 若正實數
a、b
滿足
log
a＝－0.08，log
b＝－0.24，則
log
(a3＋b)
最接近下列哪一個選項的
值？
( )
1
0.12
( )
2
0.06
( )
3
0
( )
4
－0.08
( )
5
－0.21
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數學考科
4. 設多項式函數
f
(x)＝2(x－5)4＋17(x－5)3－8(x－5)2＋4(x－5)＋3，則
f
(－4)＝
( )
1
－42
( )
2
－12
( )
3
18
( )
4
48
( )
5
118
5. 設
a，b，c
為實數，二次函數
f
(x)＝ax2＋bx＋c
的圖形與
x
軸交於
A(1 , 0)、B(5 , 0)
兩點且
f
(x)
的最大值為
8，則
a
的值為何？
( )
1
－2
( )
2
－1
( )
3
－2
1
( )
4
－3
1
( )
5
－4
1
6. 對任意實數
x，不等式
kx2≤(k＋1)(x－1)
恆成立，則實數
k
的範圍為下列何者？
( )
1
k≤－1
( )
2
－1≤k＜0
( )
3
－1≤k≤
3
1
( )
4
0＜k≤
3
1
( )
5
k≥
3
1
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數學考科
二、多選題（占
35
分）
說明：第
7
題至第
13
題，每題有
5
個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得
5
分；答錯
1
個選項者，得
3
分；答錯
2
個選項者，得
1
分；答錯多於
2
個選項或
所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 下列哪些選項正確？
( )
1
( 3－)2＝－3
( )
2
32)( 2×－＝－ 32
( )
3
53 －－ ＝15
( )
4
5
3
－＝5
3
－
( )
5
5
3
－
－＝5
3
8. 下列哪些選項正確？
( )
1
2
77 20212019＋＞72020
( )
2
2
(0.7)(0.7) 20212019＋＞(0.7)2020
( )
3
2
2021log2019log 77 ＋＞log7
2020
( )
4
2
2021log2019log 0.70.7 ＋＞log0.7
2020
( )
5
2021 －2020 ＞2020 －2019
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數學考科
9. 設
x
為實數，下列關於方程式
x2
|
x2－7
|＝12
解的敘述哪些正確？
( )
1
此方程式共有四個相異實根
( )
2
所有實根的總和等於
0
( )
3
所有實根的乘積等於
12
( )
4
此方程式的有理根恰有兩個
( )
5
此方程式的無理根恰有四個
10. 下列各數中，哪些是不等式
8x－8．4x－2x＋1＋16＜0
的解？
( )
1
－2
3
( )
2
－2
1
( )
3
3
5
( )
4
3
7
( )
5
3.14
11. 設
f
(x)＝log3
x，將函數
y＝f
(x)
的圖形向左平移
2
單位得函數
y＝f1(x)
的圖形；將函數
y＝f
(x)
的圖形向上平移
1
單位得函數
y＝f2(x)
的圖形；將函數
y＝f
(x)
的圖形對
x
軸作對稱
得函數
y＝f3(x)
的圖形；將函數
y＝f
(x)
的圖形對
y
軸作對稱得函數
y＝f4(x)
的圖形；將函
數
y＝f
(x)
的圖形對直線
x－y＝0
作對稱得函數
y＝f5(x)
的圖形，則下列哪些選項正確？
( )
1
f1(x)＝log3
(x－2)
( )
2
f2(x)＝log3
3x
( )
3
f3(x)＝
3
1
log x
( )
4
f4(x)＝log3x
1
( )
5
f5(x)＝3x
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數學考科
12. 已知三次多項式
f
(x)滿足
f
(0)＝f
(1)＝f
(2)＝3、f
(3)＝6，則下列哪些選項正確？
( )
1
f
(x)
是整係數多項式
( )
2
f
(x)
除以
(x－4)
的餘式為
14
( )
3
f
(x)
除以
x(x－3)
的餘式為
x＋3
( )
4
可以找到有理數
γ，使得
f
(γ)＝0
( )
5
方程式
f
(x)＝0
有一實根兩虛根
13. 新型病毒爆發人傳人傳染，假設疫情爆發
t
日後染病人數
f
(t)＝k．at
(人)，其中
k、a
皆為
大於
0
的常數。今已知
f
(4)＝100、f
(24)＝30000，試問下列哪些選項正確？
( )
1
1.28＜a＜1.29
( )
2
30＜k＜35
( )
3
疫情爆發
14
日後染病人數少於
2000
人
( )
4
疫情爆發
28
日後染病人數超過
100000
人
( )
5
f
(14)－f
(12)＞f
(12)－f
(10)
第貳部分：選填題（占
35
分）
說明：1.第
A
至
G
題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14－41)。
2.每題完全答對給
5
分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
A(－7)、B(－1)、C(4)、P(x)
是數線上相異四點，滿足
PA ＝PB ＋PC
的所有
x
總和為
○
14
○
15
○
16
。(化為最簡分數)
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數學考科
B.
將13 、132 表成整數與小數部分，即 13 ＝a＋b、132 ＝c＋d，其中
a、c
是整數且
0＜b＜1、0＜d＜1；若
(a－b)(c－d
)＝x＋y13 ，其中
x、y
是整數，則
x＝
○
17
○
18
○
19
、
y＝
○
20
○
21
○
22
。
C.
十七世紀數學家
費馬
(Pierre de Fermat)
觀察
221＋1、222＋1、223＋1、224＋1
都是質數，因此
推測：對於任意自然數
n，22n＋1
都是質數(稱之為費馬數)。不過，後來由
歐拉發現，下一
個費馬數
225＋1
就不是質數，且實際上其他已知的費馬數都不是質數。若將第七個費馬數
227＋1
以科學記號表示，即
227＋1＝a×10m，其中
1≤a＜10，m
為整數，則
m＝
○
23
○
24
，
且
a
的整數部分為
○
25
。
D.
設多項式函數
f
(x)＝x4＋x3＋ax2＋bx＋10，其中
a、b
為實數；已知
f
(1＋i3)＝－12－i36 ，則
a＝
○
26
、b＝
○
27
○
28
。
E.
若實數
x
是方程式
log0.1
(x2＋2x－3)－log0.1
(x＋3)＝－1
的解，則
x＝
○
29
○
30
。
F.
已知
x3＋6x2－2x＋3＝a(x－h)3＋p(x－h)＋k，其中
a、p、h、k
是固定實數，則
a＝
○
31
、
p＝
○
32
○
33
○
34
、h＝
○
35
○
36
、k＝
○
37
○
38
。
G.
如右圖，利用厚紙板做出一個無蓋的長方體，高為
x
公分、底部邊長
為
3
公分與
y
公分。設長方體的體積為
A
立方公分，而厚紙板面積恰
為
A
平方公分，若不考慮厚紙板的厚度，則
A
的最小值為
○
39
○
40
○
41
。
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7
頁
數學考科
參考公式及可能用到的數值
1. 參考數值： 2
≈
1.414，3
≈
1.732，5
≈
2.236，6
≈
2.449，10
≈
3.162
2. 對數值：log10
2
≈
0.3010，log10
3
≈
0.4771，log10
5
≈
0.6990，log10
7
≈
0.8451
3. 常用對數表
y＝log10
x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962