第 章
第 2 章 指數與對數函數
31
2-1
2-1
指數函數及其圖形
一、指數函數的圖形與特徵
1
指數函數
設
a > 0，且 a
≠ 1，則稱函數 f（x）= a
x
是以 a 為底數的指數函數。
z
：
f（x）= 2
x
是以 2 為底數的指數函數。
z
：
f（x）= 5
x
是以 5 為底數的指數函數。
2
指數函數的圖形
1
指數函數的定義域與值域
設
a > 0，且 a
≠ 1，則指數函數 f（x）= a
x
的定義域為所有實數，且值域為所
有正實數。
z
：
f（x）= 2
x
是以 2 為底數的指數函數，將任意實數 x 代入都有意義，且函
數值都大於
0。
2
指數函數的圖形
在坐標平面上，以（
x，a
x
）為點坐標，可以描出指數函數
y = a
x
的圖形。
1
底數 a > 1，函數值逐漸增加，圖形由左而右逐漸上升，如圖1。
2
底數 a 滿足 0 < a < 1，函數值逐漸減少，圖形由左而右逐漸下降，如圖
2
。
z
：
y = f（x）= 2
x
，圖形如圖3。
z
：
y = f（x）=
（
1
2
）
x
，圖形如圖4。
圖#
圖$
圖!
a > 1
圖@
0 < a < 1
3
指數函數的遞增與遞減
1
函數的遞增與遞減
對函數
f（x）而言，遞增與遞減定義如下：
1
遞增：對所有 x
1
< x
2
，都有
f（x
1
）
≤ f（x
2
）。
2
嚴格遞增：對所有 x
1
< x
2
，都有
f（x
1
）
< f（x
2
）。
3
遞減：對所有 x
1
< x
2
，都有
f（x
1
）
≥ f（x
2
）。
4
嚴格遞減：對所有 x
1
< x
2
，都有
f（x
1
）
> f（x
2
）。
重點整理
指數與對數函數
32
高中數學（3）A‧習作
2-1
2
指數函數的遞增與遞減
對指數函數
y = a
x
而言，遞增與遞減定義如下：
1
a > 1 時，圖形由左而右逐漸上升，是嚴格遞增函數，即當 α < β 時，有
a
α
< a
β
，如圖5。
2
0 < a < 1 時，圖形由左而右逐漸下降，是嚴格遞減函數，即當 α < β 時，
有
a
α
> a
β
，如圖6。
圖%
圖^
4
函數圖形的凹向性
1
凹口向上： 連接函數圖形上任兩點的線段都在函數圖形的上方，此函數圖形
為凹口向上，如圖7。
2
凹口向下： 連接函數圖形上任兩點的線段都在函數圖形的下方，此函數圖形
為凹口向下，如圖8。
圖&
圖*
3
指數函數圖形的凹向性：指數函數的圖形都是凹口向上，如圖9、圖0。
圖(
a > 1
圖)
0 < a < 1
二、指數方程式與指數不等式
1
指數方程式
方程式的未知數
x 出現在指數位置時，稱為指數方程式。
z
：
2
x + 3
= 32，即 2
x + 3
= 2
5
，得
x + 3 = 5，故 x = 2。
z
：
4
x
− 7．2
x
− 8 = 0，底數換成 2，得（2
2
）
x
− 7．2
x
− 8 = 0，
即（
2
x
）
2
− 7．2
x
− 8 = 0，得（2
x
− 8）
（
2
x
+ 1）= 0，因 2
x
+ 1
≠ 0，
故
2
x
− 8 = 0，即 2
x
= 8 = 2
3
，故得
x = 3。
第 2 章 指數與對數函數
33
2-1
2
指數大小關係與不等式
設
a 為底數，α、β為指數。
1
a > 1 時，若 α < β 則 a
α
< a
β
。相反地，若
a
α
< a
β
則 α < β。
z
：底數
3 > 1，因為 2 < 5，所以 3
2
< 3
5
。
z
：已知
3
α
< 3
5
，因為底數
3 > 1，所以 α < 5。
2
0 < a < 1 時，若 α < β 則 a
α
> a
β
。相反地，若
a
α
> a
β
則 α < β。
z
：底數
0 <
1
2 < 1
，因為
2 < 5，所以
（
1
2
）
2
>
（
1
2
）
5
。
z
：已知
（
1
2
）
α
<
（
1
2
）
3
，因為底數
0 <
1
2 < 1
，所以
α > 3。
三、金融上的應用
J
單利與複利
本金
a，利率 r，期數 n。
1
單利（本金固定）
n 期後，本利和 a（1 + nr）。
z
：
本金 a = 10000（元），年利率 r = 1 %，3 年後（n = 3），單利法的本利和
為
10000（1 + 1 % × 3）。
2
複利（利息加入本金）
n 期後，本利和 a（1 + r）
n
。
z
：
本金 a = 10000（元），年利率 r = 1 %，3 年後（n = 3），複利法的本利和
為
10000（1 + 1 %）
3
。
補充
：本金
a，年利率 r，每年計息 t 次，n 年後，複利法的本利和為
a
（
1 +
r
t
）
tn
。
z：本金
a = 10000（元），年利率 1 %，每 3 個月複利一次（t = 4），
2 年後（n = 2）複利法的本利和為
10000
（
1 +
0.01
4
）
4 × 2
= 10000（1 + 0.0025）
8
≈ 10201.75878 ≈ 10202（元）。
34
高中數學（3）A‧習作
2-1
例題
1
指數函數基本運算
設
f（x）= 3
x
，試求下列各函數值：
1
f（0）。（2 分）
2
f（3）。（2 分）
3
f（−2）。（3 分）
4
f（1 − t）。（3 分）
1 f（0）= 3
0
= 1
2
f（3）= 3
3
= 27
3
f（−2）= 3
−2
=
1
9
4
f（1 − t）= 3
1 − t
（
=
3
3
t
）
例題
2
判斷函數圖形
如右圖，四個曲線分別為指數函數
Γ
1
，
Γ
2
，
Γ
3
，
Γ
4
的圖形，
1
已知曲線 Γ
1
，
Γ
2
，
Γ
3
分別為函數 y = 3
x
，
y = 7
x
，
y =
（
1
2
）
x
的圖
形，試判斷哪個圖形代表哪個函數？（
5 分）
2
承1，若 Γ
4
是 y = a
x
的圖形，試比較 a 與
1
2
的關係。（
5 分）
1 首先，y = 3
x
與 y = 7
x
的底數都大於 1
因此其圖形愈往右愈陡峭，而 y = 7
x
比 y = 3
x
更陡峭
因此，Γ
1
是 y = 3
x
的圖形，Γ
2
是 y = 7
x
的圖形
其次，因為 Γ
3
是底數小於 1 的指數函數圖形，故 Γ
3
是 y =
（
1
2
）
x
的圖形
2
觀察圖形可知 Γ
3
比 Γ
4
更陡峭，故
1
2 < a
，即
a >
1
2
例題
3
指數函數圖形的平移
試利用
y = 3
x
的圖形，描繪出下列函數的圖形：
1
y = 3
x
+ 4。（5 分）
2
y = 3
x − 1
。（
5 分）
1
y = 3
x
+ 4 的圖形
可以由
y = 3
x
的
圖形向上平移
4
單位而得
x
x
x
2
y = 3
x − 1
的圖形可以
由
y = 3
x
的圖形向右
平移
1 單位而得
第 2 章 指數與對數函數
35
2-1
例題
4
指數方程式
試解下列方程式：
1
2
4x − 3
= 32。（5 分）
2
4
x
− 2
x + 2
− 32 = 0。（5 分）
1 2
4x − 3
= 2
5
⇒ 4x − 3 = 5
⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2
2
4
x
− 2
x + 2
− 32 = 0
⇒（2
2
）
x
− 2
2
．
2
x
− 32 = 0
⇒（2
x
）
2
− 4．2
x
− 32 = 0 ⇒（2
x
− 8）
（
2
x
+ 4）= 0
∵ 2
x
+ 4
≠ 0 ∴ 2
x
− 8 = 0
⇒ 2
x
= 8 = 2
3
⇒ x = 3
例題
5
同底指數的大小關係
1
設 a = 5
√3
，
b = 25
√2
，
c = 125 ，試比較 a， b， c 的大小關係。（5 分）
2
設 a = 0.09
√2
，
b = 0.027
2
，
c = 0.3
3
，試比較
a，b，c 的大小關係。（5 分）
1 a = 5
√3
b = 25
√2
=（5
2
）
√2
= 5
2
√2
c = 125 =（5
3
）
= 5 = 5
∵
√3 <
3
√2
2 < 2√2
且底數
5 > 1 ∴ a < c < b
2
a = 0.09
√2
=〔（0.3）
2
〕
√2
= 0.3
2
√2
b = 0.027
2
=〔（0.3）
3
〕
2
= 0.3
6
c = 0.3
3
∵ 2
√2 < 3 < 6 且底數 0 < 0.3 < 1 ∴ a > c > b
例題
6
指數不等式（一）
試解下列各不等式：
1
8
3x − 1
> 4
2x + 1
。（
5 分）
2
（
1
25
）
x − 1
<
（
1
5
）
3x + 1
。（
5 分）
1 8
3x − 1
> 4
2x + 1
⇒（2
3
）
3x − 1
>（2
2
）
2x + 1
⇒ 2
9x − 3
> 2
4x + 2
∵底數 2 > 1
∴ 9x − 3 > 4x + 2
⇒ 5x > 5
⇒ x > 1
x
1
√2
x
1
√2
1
√2
3
√2
3
√2
2
x
2
（
1
25
）
x − 1
<
（
1
5
）
3x + 1
⇒
〔（
1
5
）
2
〕
x − 1
<
（
1
5
）
3x + 1
⇒
（
1
5
）
2x − 2
<
（
1
5
）
3x + 1
∵底數
1
5 < 1
∴ 2x − 2 > 3x + 1
⇒ x < −3
36
高中數學（3）A‧習作
2-1
例題
7
指數不等式（二）
試解下列各不等式：
1
3
2x + 1
− 10．3
x
+ 3 ≥ 0。（5 分）
2
（
1
25
）
x
− 4
（
1
5
）
x
− 5 ≤ 0。（5 分）
1 3
2x + 1
− 10．3
x
+ 3 ≥ 0
⇒ 3．（3
x
）
2
− 10．3
x
+ 3 ≥ 0
令 t = 3
x
，上式改寫為
3t
2
− 10t + 3 ≥ 0
⇒（3t − 1）
（
t − 3）≥ 0
⇒ t ≤
1
3
或
t ≥ 3
即 3
x
≤ 3
−1
或 3
x
≥ 3
1
∵底數 3 > 1
∴ x ≤ −1 或 x ≥ 1
例題
8
指數函數的應用（一）
大明研究某水生植物多年，發現每經過
1 個月，這種植物覆蓋水面的面積會成為原來的 2
倍。假設大明選定某池塘投入這種植物，
3 個月以後面積達 1200 平方公尺，試問：
1
再過 2 個月之後，面積變為多少平方公尺？（5 分）
2
最初投入的面積為多少平方公尺？（5 分）
1 再經過 2 個月，面積成為 2
2
倍
∴ 1200 × 2
2
= 4800（平方公尺）
2
設最初投入的面積為 A 平方公尺
則 x 個月以後的面積為
f（x）= A．2
x
f（3）= A．2
3
= 8A = 1200
⇒ A = 150（平方公尺）
x
2
（
1
25
）
x
− 4
（
1
5
）
x
− 5 ≤ 0
⇒
（
1
5
）
2x
− 4
（
1
5
）
x
− 5 ≤ 0
⇒
〔（
1
5
）
x
〕
2
− 4
（
1
5
）
x
− 5 ≤ 0
令 t =
（
1
5
）
x
，上式改寫為
t
2
− 4t − 5 ≤ 0
⇒（t − 5）
（
t + 1）≤ 0
因為無論 x 為何值，
（
1
5
）
x
> 0
即 t > 0，故得 t + 1 > 0
將不等式消去 t + 1 得 t − 5 ≤ 0
⇒
（
1
5
）
x
≤ 5，即
（
1
5
）
x
≤
（
1
5
）
−1
因底數 0 <
1
5 < 1
，故
x ≥ −1
x
第 2 章 指數與對數函數
37
2-1
例題
9
指數函數的應用（二）
實驗室裡儲存某種放射性元素
400 克，其質量 m（克）與時間 x（年）的關係式為
m = f（x）= ka
x
，其中
k、a 為常數。已知此關係式圖形通過（0，400），（2，300），試求：
1
關係式 f（x）= ka
x
的 a 值。（5 分）
2
8 年後還有多少克？（5 分）
1 由題意得 f（0）= ka
0
= 400，f（2）= ka
2
= 300
兩式相除 a
2
=
3
4
，得
a = √
3
2
（
≈ 0.8660）
2
由 f（0）= ka
0
= 400 得 k = 400
所求為 f（8）= 400
（
√3
2
）
8
=
2025
16
（克）
例題
10
指數在金融上的應用：單利法與複利法
假設銀行的一年期定存利率為
1.2 %，小明打算存入 10 萬元，試分別計算以下三種方案的
本利和。（已知
1.001
24
� 1.024278）
1
單利計算利息，為期 2 年。（2 分）
2
每年複利一次，為期 2 年。（四捨五入至整數位）
（
4 分）
3
每個月複利一次，為期 2 年。（四捨五入至整數位）
（
4 分）
1 單利計息，為期 2 年，本利和為
100000（1 + 2 × 0.012）= 102400（元）
2
每年複利一次，為期 2 年，本利和為
100000（1 + 0.012）
2
= 102414.4
� 102414（元）
3
每個月複利一次，為期 2 年，本利和為
100000
（
1 +
0.012
12
）
2 × 12
= 100000（1.001）
24
� 100000 × 1.024278 = 102427.8 � 102428（元）
x
x