普高數學3A
單元一 對數與對數律
課程代碼：4mof53y
meet：ZSRE2MAT
課本頁次：92
對數與對數律
在指數的運算中，
本單元中將定義一個與指數相對應的概念—「對數」，
那麼2的幾次方會等於3呢？
並討論對數的各種運算性質。
我們知道
，
，
1
2
2
=
2
2
4
=
甲﹑對數
若是，又該如何表示呢？
解指數方程式
時，利用
，可以得到答案
。
2
2
4
=
2
4
x
=
2
x =
但是對於方程式
，是不是有實數解呢？
2
3
x
=
前一單元提到，指數函數
的圖
2
x
y =
形與水平線
的圖形有唯一交點，
4
y =
如圖所示，方程式
的解就是此
2
4
x
=
交點的 x 坐標2。
而指數函數
的圖形與水平線
2
x
y =
的圖形也有唯一交點，因此可知：
方程式
也有唯一解，此實數解
2
3
x
=
就是
與
圖形交點的 x 坐標，
2
x
y =
3
y =
我們將這個 x 用符號
來表示。
2
log 3
課本頁次：92
其中 2 稱為
的底數，3 稱為
的真數。
2
log 3
2
log 3
第一冊學過的常用對數
就是底數為10的情形，
log b
即
可以簡記為
。
10
log b
log b
事實上，常用對數
的定義
10
log b
「設
，當實數 x 滿足
時，
指數 x 的值以符號
表示。」
0
b
10
x
b =
10
log b
與上述
的定義
2
log 3
「當實數 x 滿足方程式
時，
此實數解 x 的值以符號
表示。」
3
2
x
=
2
log 3
課本頁次：92~93
對數的定義
一般而言，當
，
時，指數函數
的圖形
0
a
1
a
x
y
a
=
與 x 軸上方的水平線
（即
）都有唯一交點，
y
b
=
0
b
也就是說，方程式
有唯一實數解；
x
a
b
=
我們將此實數解 x 以符號
來表示。
log
a
b
設
，
，且
時，
0
a
1
a
0
b
方程式
有唯一實數解
。
log
a
x
b
=
x
a
b
=
log
a
b
稱為「以 為底數時 的對數」，
a
b
其中 稱為底數， 稱為真數。
a
b
課本頁次：93
1. 求下列各對數的值：
(1) (2) (3) (4)
2
log 8
3
1
log
9
4
log 1
5
log 5 5
解：
(1) 因為
，所以
3
8
2
=
2
log 8
3
=
(2) 因為
，所以
2
1
3
9
−
=
3
1
log
2
9
= −
(3) 因為
，所以
0
1
4
=
4
log 1
0
=
(4) 因為
，所以
1
3
2
2
5 5
5 5
5
=
=
5
3
log 5 5
2
=
課本頁次：93
求下列各對數的值：
(1)
(2) (3) (4)
2
log 16
5
1
log
5
6
log 6
7
log 49 7
解：
(1) 因為
，所以
4
16
2
=
2
log 16
4
=
(2) 因為
，所以
1
1
5
5
−
=
5
1
log
1
5
= −
(3) 因為
，所以
1
6
6
=
6
log 6
1
=
(4) 因為
，所以
5
2
49 7
7
=
7
5
log 49 7
2
=
課本頁次：94
2. 已知
，求
及
的值。
2
log 3
x =
4
x
2
x
−
解：
根據對數的定義，
當
時，我們有
。
log
a
x
b
=
x
a
b
=
因為
，所以
。
2
log 3
x =
2
3
x
=
故
( )
2
2
4
2
3
9
x
x
=
=
=
( )
1
1
1
2
2
3
3
x
x
−
−
−
=
=
=
課本頁次：94
2. 已知
，求
及
的值。
3
log 5
x =
3
x
2
3
x
解：
因為
，所以
。
3
log 5
x =
3
5
x
=
且
( )
2
2
2
3
3
5
25
x
x
=
=
=
課本頁次：94
根據定義，因為
是方程式
的解，所以
log
a
b
x
a
b
=
log
a
b
a
b
=
例如：
3
log 5
log 7
3
5 , 10
7
=
=
因此，任何指數函數皆可改寫成以10為底數的指數函數，
例如：
(
)
(
)
log 7
log 7
7
10
10
x
x
x
y =
=
=
課本頁次：94~95
前一個單元介紹過常數 e =2.71828⋯，當對數以 e 為底數
例如：
（即
）時，稱它為自然對數，常記作
。
log
e
b
ln b
自然對數
與常用對數
是不同底數的兩種對數，
ln b
log b
其值也會有差異
常用對數
10
log 3
log 3
0.4771
=
自然對數
ln 3
log 3
1.099
e
=
課本頁次：95
乙﹑對數律與換底公式
約翰・納皮爾
（John Napier,1550∼1617）
對數的發明者，
使得科學界許多繁複的計算可以簡化。
納皮爾曾說過：「我終於發現某些優秀又簡短的規
則，可以讓運算更有效益，並把困難繁瑣的乘除運
算簡化成加減運算。」
納皮爾所說的規則，就是接下來要介紹的對數律。
課本頁次：95
對數是由指數來定義的，而指數滿足指數律，所以對數也
有一些相對應好用的運算性質。使用指數律時，計算底數
相同的兩數相乘，只要將兩數的次方相加即可。先來看一
個例子：
2
3
2 3
5
10
10
10
10
+
=
=
也就是說，當底數相同的兩數進行乘法運算時，它們的次
方（也就是對數）實際上是在做加法運算。接著，利用對
數的定義，得
5
log100
log1000
2
3
5
log10
log100000
+
= + = =
=
最後，整理可得
log(100 1000)
log100
log1000
=
+
以上的結果並非偶然，一般而言，我們有以下對數律。
課本頁次：95~96
常用對數的對數律
設 ， 皆為正數，則
r
s
(1)
log
log
log
rs
r
s
=
+
(2)
log
log
log
r
r
s
s
=
−
(3)
( 是實數)
log
log
t
r
t
r
=
t
證明：設
且
，即
且
。
log
x
r
=
log
y
s
=
10
x
r
=
10
y
s
=
(1)因為
（指數律），
10
10
10
x
y
x y
rs
+
=
=
所以由對數的定義得
。
log
log
log
rs
x
y
r
s
= + =
+
課本頁次：96
常用對數的對數律
設 ， 皆為正數，則
r
s
(1)
log
log
log
rs
r
s
=
+
(2)
log
log
log
r
r
s
s
=
−
(3)
( 是實數)
log
log
t
r
t
r
=
t
證明：設
且
，即
且
。
log
x
r
=
log
y
s
=
10
x
r
=
10
y
s
=
(2)因為
（指數律） ，
10
10
10
x
x y
y
r
s
−
=
=
所以由對數的定義得
。
log
log
log
r
x
y
r
s
s
= − =
−
課本頁次：96
常用對數的對數律
設 ， 皆為正數，則
r
s
(1)
log
log
log
rs
r
s
=
+
(2)
log
log
log
r
r
s
s
=
−
(3)
( 是實數)
log
log
t
r
t
r
=
t
證明：設
且
，即
且
。
log
x
r
=
log
y
s
=
10
x
r
=
10
y
s
=
(3)因為
（指數律） ，
( )
10
10
t
t
x
tx
r =
=
所以由對數的定義得
。
log
log
t
r
tx
t
r
= =
課本頁次：96
3. 求下列各式的值：
(2)
。
1
125
log
log
log 56
6
42
−
−
(1)
。
log 4
log 25
+
解：
(1)
(
)
log 4
log 25
log 4 25
log100
2
+
=
=
=
(2)
1
125
log
log
log 56
6
42
−
−
1
125
log
56
6
42
=
1
log
1000
=
3
= −
1
42
1
log
6 125
56
=
課本頁次：97
求下列各式的值：
(1)
。
log 2
log 0.2
log 5
log 0.5
+
+
+
(2)
。
log 2
log 20
−
解：
(2)
(
)
1
log 2
log 20
log 2
20
log
1
10
−
=
=
= −
(1)
log 2
log 0.2
log 5
log 0.5
+
+
+
log(2 0.2 5 0.5)
=
log1
=
0
=
課本頁次：97
4. 求
的值。
3log 2
log 5
2 log 20
+
−
解：
3log 2
log 5
2 log 20
+
−
3
2
log 2
log 5 log 20
=
+
−
8 5
log
400
=
1
log
10
=
1
= −
課本頁次：98
求
的值。
5
27
3
2 log
log
log
3
35
14
+
−
解：
5
27
3
2 log
log
log
3
35
14
+
−
2
5
27
3
log
log
log
3
35
14
=
+
−
25 27 14
log
9 35 3
=
log10
=
1
=
課本頁次：98
這就是底下要介紹的換底公式。
計算機上我們很容易按出
和
的值，那麼要如何
log 2
log 3
得出
的值呢？
2
log 3
它跟
和
又有什麼關係呢？
log 2
log 3
課本頁次：98
換底公式
設
均為正整數，且
，則
,
a b
1
a
log
log
log
a
b
b
a
=
一般而言，其他底數的對數都可換成常用對數後再來求值
根據換底公式，就可以知道我們要算的
2
log 3
log 3
log 2
=
證明：設
且
，即
且
。
log
x
a
=
log
y
b
=
10
x
a =
10
y
b =
因為
，
( )
10
10
y
y
y
x
x
x
b
a
=
=
=
所以
log
log
log
a
y
b
b
x
a
=
=
課本頁次：98~99
5. 求下列各式的值：
(2)
。
8
log
2
(1)
。
4
5
log 5 log 4
解：
(1)
4
5
log 5
log 4
log 5 log 4
log 4
log 5
=
1
=
(2)
8
log 2
log
2
log 8
=
1
6
=
1
2
3
log 2
log 2
=
1
log 2
2
3 log 2
=
課本頁次：99
求下列各式的值：
(2)
25
1
log
5
(1)
3
5
7
log 5 log 7 log 9
解：
(1)
3
5
7
log 5
log 7
log 9
log 5 log 7 log 9
log 3
log 5
log 7
=
log 9
log 3
=
(2)
25
1
log
1
5
log
5
log 25
=
1
2
−
=
1
2
log 5
log 5
−
=
( )
1
log 5
2 log 5
−
=
2 log 3
log 3
=
2
=
課本頁次：99
6. 求下列各式的值：
(2)
(
) (
)
2
3
9
log 3
log 4
log 2
+
(1)
2
3
1
1
log 6
log 6
+
解：
(1)
2
3
1
1
1
1
log 6
log 6
log 6
log 6
log 2
log 3
+
=
+
1
=
log 2
log 3
log 6
log 6
=
+
log 6
log 6
=
課本頁次：100
6. 求下列各式的值：
解：
(2)
(
) (
)
2
3
9
log 3
log 4
log 2
log 3
log 4
log 2
log 2
log 3
log 9
+
=
+
5
2
=
log 3
2 log 2
log 2
log 2
log 3
2 log 3
=
+
log 3
5
log 2
log 2
2
log 3
=
課本頁次：100
(2)
(
) (
)
2
3
9
log 3
log 4
log 2
+
(1)
2
3
1
1
log 6
log 6
+
求下列各式的值：
(2)
(
) (
)
2
5
25
log 5
log 8
log 16
+
(1)
2
4
log 24
log 9
−
解：
(1)
2
4
log 24
log 9
log 24
log 9
log 2
log 4
−
=
−
log 8
3
log 2
=
=
log 24
2 log 3
log 2
2 log 2
=
−
log 24
log 3
log 2
−
=
課本頁次：100
解：
(2)
(
) (
)
2
5
25
log 5
log 8
log16
log 5
log 8
log 16
log 2
log 5
log 25
+
=
+
5
=
log 5
3 log 2
4 log 2
log 2
log 5
2 log 5
=
+
log 5
5 log 2
log 2
log 5
=
求下列各式的值：
課本頁次：100
(2)
(
) (
)
2
5
25
log 5
log 8
log 16
+
(1)
2
4
log 24
log 9
−
7. 解方程式
。（四捨五入到小數點以下第4位）
2
3
x
=
解：
根據對數的定義，方程式
的解為
。
2
3
x
=
2
log 3
利用換底公式可得
，
2
log 3
log 3
log 2
=
使用計算機依序按下
可得
。
2
log 3
log 3
1.5850
log 2
=
課本頁次：101
7. 解方程式
。（四捨五入到小數點以下第4位）
3
7
x
=
解：
根據對數的定義，方程式
的解為
。
3
7
x
=
3
log 7
利用換底公式可得
，
3
log 7
log 7
log 3
=
可得
。
3
log 7
log 7
1.7712
log 3
=
使用計算機依序按下
7
3
課本頁次：101
8. 海嘯是一種有強大破壞力的海浪，其強度規模的等
級 與該海嘯的平均海浪高度 （公尺）有著以下
I
H
的關係式：
2
1
log
2
I
H
= +
問：海嘯等級4的平均海浪高度為等級3的幾倍?
解：
令海嘯等級3與4的平均浪高分別為 與 。由題意得：
2
1
3
log
2
= +
①
2
1
4
log
2
= +
②
2
5
log
2
=
由①可得
，即
5
2
2
=
2
7
log
2
=
由②可得
，即
7
2
2
=
課本頁次：102
解：
因此
7 5
2 2
2
2
−
=
=
故海嘯等級4的平均浪高為等級3的2倍。
課本頁次：102
8. 海嘯是一種有強大破壞力的海浪，其強度規模的等
級 與該海嘯的平均海浪高度 （公尺）有著以下
I
H
的關係式：
2
1
log
2
I
H
= +
問：海嘯等級4的平均海浪高度為等級3的幾倍?
承例題，已知當海嘯等級2時，人會被海浪沖走，求
此時的平均海浪高度（公尺）。
（四捨五入到小數點以下第一位）
關係式：
2
1
log
2
I
H
= +
解：
由題意可知
2
1
2
log
2
H
= +
解得
3
2
2
2 2
2.8
H =
=
移項可得
2
3
log
2
H
=
故海嘯等級 2 時，平均海浪高度為 2.8 公尺。
課本頁次：102
丙﹑常用對數與科學記號
第一冊曾使用科學記號來判斷一個很大的數是幾位數，
例如：
5
5.12 10
是6位數
接著，我們進一步來探討任意正數的乘冪，先看一個大
於 1 的例子：利用計算機的
鍵可得
50
15
2
1.1 10
由上式可知
是最高位數字為 1 的16位數。
50
2
課本頁次：103
此外，將一個介於 0 到 1 之間的數字表為科學記號，亦
可知道它在小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字，
例如：
3
0.00543 5.43 10
−
=
從小數點後第 3 位開始出現不為 0 的數字，此數字為 5。
再來看一個例子：利用計算機的
鍵可得
100
53
0.3
5.2 10
−
由上式可知將
表示小數時，
100
0.3
從小數點後第53位開始出現不為 0 的數字，此數字為 5。
課本頁次：103
但因為計算機的位數有限，
所以當數字太大或太小就會超過計算機的範圍而無法計算
此時，可透過常用對數與指數律，
先將它化為 10 的冪次後再表為科學記號來求得其位數，
以上的例子都是利用計算機中的
鍵得到答案，
我們先以
說明驗證，再來看計算機按不出來的例子。
50
2
課本頁次：103
9. 回答以下各小題：
(2)
是幾位數？
200
1000
3
7
(1)
是幾位數？
50
2
(3) 將
表示成小數時，從小數點後第幾位開始
500
0.5
出現不為0的數字？
解：
(1) 因為
(
)
50
50
log 2
50 log 2
15.05
2
10
10
10
=
=
0.05
15
15
10
10
1.1 10
=
所以
是最高位數字為 1 的 16 位數。
50
2
可看出此結果與之前直接利用計算機求得的
位數是相同的。
課本頁次：104
9. 回答以下各小題：
(2)
是幾位數？
200
1000
3
7
(1)
是幾位數？
50
2
(3) 將
表示成小數時，從小數點後第幾位開始
500
0.5
出現不為0的數字？
解：
(2) 因為
(
) (
)
200
1000
200
1000
log 3
log 7
3
7
10
10
=
200 log 3 1000 log 7
10
+
=
所以
是最高位數字為 3 的 941 位數。
200
1000
3
7
940.52
10
0.52
940
10
10
=
940
3.3 10
課本頁次：104
9. 回答以下各小題：
(2)
是幾位數？
200
1000
3
7
(1)
是幾位數？
50
2
(3) 將
表示成小數時，從小數點後第幾位開始
500
0.5
出現不為0的數字？
解：
(3) 因為
(
)
500
500
500
log 2
500 log 2
0.5
2
10
10
−
−
−
=
=
=
151
3.1 10
−
150.51
10
−
0.49
151
10
10
−
=
由上式可知將
表示小數時，
500
0.5
從小數點後第151位開始出現不為 0 的數字，此數字為 3。
課本頁次：104
回答以下各小題：
(1)
是幾位數？最高位數字為何？
40
100
4
3
(2) 將
表示成小數時，從小數點後第幾位開始
100
0.4
出現不為0的數字？此不為0的數字為何？
解：
(1) 因為
(
) (
)
40
100
40
100
log 4
log 3
4
3
10
10
=
40 log 4 100 log 3
10
+
=
所以
是最高位數字為 6 的 72 位數。
40
100
4
3
71.79
10
0.79
71
10
10
=
71
6.1 10
課本頁次：104
回答以下各小題：
(1)
是幾位數？最高位數字為何？
40
100
4
3
(2) 將
表示成小數時，從小數點後第幾位開始
100
0.4
出現不為0的數字？此不為0的數字為何？
解：
(2) 因為
(
)
100
100
log 0.4
100(log 2 log 5)
0.4
10
10
−
=
=
40
1.6 10
−
39.79
10
−
0.21
40
10
10
−
=
由上式可知將
表示小數時，
100
0.4
從小數點後第40位開始出現不為 0 的數字，此數字為 1。
課本頁次：104
日本發行了一本書《2017年最大質數》，
仿照例題9的方法可求得其位數為23249425，
77232917
2
1
−
全書僅印了一個質數
。
如果一頁印約32350個數字的話，
就能在書本印製前估計其頁數為719頁。
相較於碳14的半衰期約為5700年，碳15的半衰期短得許
多，僅有約2.4秒。
至約為原來數量的
倍，而20分鐘後，它的數量會
25
1
2
衰變至約為原來數量的
倍，
25 20
500
1
0.5
2
=
也就是例題9中第(3)小題的這個數。
那麼，1分鐘後，碳15的數量會衰變
課本頁次：105