7-1
排列
重點一
加法原理與乘法原理
1.
樹狀圖：
類似樹幹分枝形狀，以方便逐一列舉可能發生的事情，如下圖。
2.
基本原理：
1
加法原理：完成一件事可分成好幾類，將各類的方法數相加，即為完成整件事的方法數。
例如完成一件事，可有 3 種方式，第 1 種方式有 m
1
種選擇，第 2 種方式有 m
2
種選擇，第
3 種方式有 m
3
種選擇。若只能擇一完成，則完成這件事共有 m
1
+ m
2
+ m
3
種不同的方法。
2
乘法原理：完成一件事可分成好幾步，將各步的方法數相乘，即為完成整件事的方法數。
例如完成一件事，須分 3 個步驟，第 1 步驟有 m
1
種選擇，第 2 步驟有 m
2
種選擇，第 3 步
驟有 m
3
種選擇，則完成這件事共有 m
1
# m
2
# m
3
種不同的方法。
3.
排容原理：
計數時考慮可能發生的狀況，再扣除不符題意或重複計算的部分，多算的需排除，少算的再
追加。
7
新增
無
刪除
環狀排列、重複組合、巴斯卡定理、二項式定理
174
排列組合
單元
7
排列組合
7
C
樹狀圖
1
甲、乙兩人單挑桌球，每場均有勝負，規
定先取得兩場勝利者為勝方，則共有幾種
賽事序列來決定勝方？
將每場比賽勝出者，以樹狀圖逐一列舉表
示。
想法
[ 答：6 種 ]
由樹狀圖知：
共有 6 種賽事序列來決定勝方
右圖是田字型街道，
由 A 點 出 發 到 K 點
取 捷 徑， 試 利 用 樹
狀圖描述所有路徑，
並 求 共 有 多 少 種 不
同的路徑？
[ 答：樹狀圖見解析，6 種 ]
由樹狀圖知：
共有 6 種不同的路徑
加法原理
2
小穎有多種不同集數的漫畫書：灌籃高手
10 集、哆啦 A 夢 8 集及海賊王 6 集，今隨
手攜帶一本出門，則有幾種不同的拿法？
完成一件事可分成好幾類， 將各類的方法
數相加。
想法
[ 答：24 種 ]
10 + 8 + 6 = 24（種）
左岸咖啡館中有 5 種咖啡、7 種手工餅乾及
8 種小蛋糕，今阿德任點一種，則有幾種不
同的點法？
[ 答：20 種 ]
5 + 7 + 8 = 20（種）
175
乘法原理
3
小真有 6 件不同款式的上衣，4 條不同色質
的長褲及 3 雙鞋子，某日參加宴會，從上
衣、褲子到鞋子各挑一樣搭配，試求小真
有多少種搭配穿法？
完成一件事可分成好幾個步驟，將各步驟
的方法數相乘。
想法
[ 答：72 種 ]
由乘法原理知：
6 # 4 # 3 = 72（種）
將 a b c l m n x y z t
+ +
+
+
+ + +
^
^
_
h
h
i展開，
共可得幾個不同的項？
[ 答：36 個 ]
由乘法原理知：
3 # 3 # 4 = 36（個）
乘法原理
4
已知 N = 360，試求 N 之所有正因數的個
數。
將 360 作質因數分解：
N
360
2
3
5
3
2
#
#
=
=
。
想法
[ 答：24 個 ]
N = 360 = 2
3
#
3
2
#
5
a N 的正因數必為 2
a
#
3
b
#
5
c
其中 a = 0 ∼ 3，b = 0 ∼ 2，c = 0 ∼ 1
` N 的正因數有：
3
1 2
1 1
1
24
+
+
+
=
^
^
^
h
h
h
（個）
已知 N = 240，試求 N 之所有正因數的個
數。
[ 答：20 個 ]
N = 240 = 2
4
# 3 # 5
a N 的正因數必為 2
a
# 3
b
# 5
c
其中 a = 0 ∼ 4，b = 0 ∼ 1，c = 0 ∼ 1
` N 的正因數有：
4
1 1
1 1
1
20
+
+
+
=
^
^
^
h
h
h
（個）
重點二
直線排列
1. n
階乘：
n 為非負整數，n 階乘記作 n!，定義 !
n
n
n
1
2
1
#
#
# #
g
=
-
^
h
。
觀念補充 //
規定 0! = 1，且 !
!
n
n
n
1
#
=
-
^
h 。
176
單元
7
排列組合
7
C
2.
排列和計數方法：
從 n 件不同物中，任取 r 個排成一列的方法數：
!
!
P
n
n
n
r
n
r
n
1
1
r
n
#
#
#
g
=
-
- +
=
-
^
^
^
h
h
h
。
當 r = n 時，就是 n 件不同物全取排列：
!
P
n
n
n
1
2
1
n
n
#
#
# #
g
=
-
=
^
h
。
3.
部分相同物的直線排列：
n 件物品中，若有相同的種類，例如：第 1 類有 m
1
件相同，第 2 類有 m
2
件相同，第 3 類有
m
3
件相同，且 m
1
+ m
2
+ m
3
= n，將此 n 件物品排成一列，共有
!
!
!
!
m m m
n
1
2
3
種不同的排列方法。
4.
有限制的直線排列：
1
限制甲、乙必相鄰：先將甲、乙視為一體，排完後再補上甲乙可對調的方法數。
2
限制甲、乙不相鄰：先排其他人，再讓甲、乙插入排好的空隙之中。
5.
錯排：
1
n 人排列，規定甲不排首的方法：
全 -（甲排首）
!
!
n
n
1
=
-
-
^
h
2
n 人排列，規定甲不排首且乙不排末的方法：
全 -（甲排首）-（乙排末）+（甲排首且乙排末）
!
!
!
n
n
n
2
1
2
#
=
-
-
+
-
^
^
h
h
6.
重複排列：
從 n 種不同物中任取 r 個來排，若東西可以重複使用是為重複排列，其排法為 n
r
。
觀念補充 //
1
重複排列就是東西可以重複排，所以每次都一樣： n
n
n
n
r
# #
#
g
=
6
7
8
4444444 4444444
r 個
。
2
直線排列就是東西不可重複排，所以每次都減 1：
n
n
n
n
r
P
1
2
1
r
n
#
#
#
#
g
-
-
- +
=
^
^
^
h
h
h
。
數字排列問題
5
由數字「0，1，2，3，4，5，6」中，任取
3 個不同數字排成一個三位數，試求有多少
個三位數？
依乘法原理處理，但 0 不能放首位。
想法
[ 答：180 個 ]
因 0 不能放百位，所以百位先填
再來任意排，共 6 # 6 # 5 = 180（個）
由數字「0，1，2，3，4，5，6」中，任取
3 個不同數字排成一個三位數，試求可排出
多少個偶數？
[ 答：105 個 ]
偶數中分成個位數為 0 與個位數非 0 兩種
個位數為 0：
0
0
& 6 # 5 = 30
個位數非 0：
,
,
2
4
6
& 5 # 5 # 3 = 75
共 30 + 75 = 105（個）
177
有限制的排列
6
甲、乙、丙等 6 人排成一列，試求下列各
情形之排列數：
1
任意排列。
2
甲必排首位。
3
甲、乙 2 人必相鄰。
4
甲、乙、丙 3 人不相鄰。
甲、乙必相鄰：將甲、乙視為一體，排完
後再補上甲、乙可對調的方法數；
甲、乙、丙不相鄰：先排其他人，再讓甲、
乙、丙插入排好的空隙之中。
想法
[ 答： 1 720 種 2 120 種 3 240 種
4
144 種 ]
1 6! = 720（種）
2
甲乙丙丁戊己
扣除甲排首位，其餘 5 人任意排
共 5! = 120（種）
3
甲乙丙
丁戊己
甲、乙視為一體 & 5!
甲、乙兩人可對調 & 2!
共 5!
#
2! = 240（種）
4
丁 戊 己
先排丁、戊、己 & 3!
將甲、乙、丙插入 4 個空隙 & P
3
4
共 !
!
!
P
3
6
4
3
4
144
3
4
#
#
=
-
=
^
h
（種）
已知有甲、乙、丙等 7 人共 4 男 3 女，試
求下列各排列數：
1
甲排首且乙排末。
2
三位女生必須相鄰。
3
三位女生必須分開。
[ 答：1 120 種 2 720 種 3 1440 種 ]
1 扣除甲排首乙排末
其餘 5 人任意排列
共 5! = 120（種）
2
女
1
女
2
女
3
男
1
男
2
男
3
男
4
3 女視為一體 & 5!
3 女可對調 & 3!
共 5! # 3! = 120 # 6 = 720（種）
3
男
1
男
2
男
3
男
4
4 男先排 & 4!
將 3 女插入 5 個空隙 & P
3
5
共 !
!
!
P
4
24
5
3
5
1440
3
5
#
#
=
-
=
^
h
（種）
178
單元
7
排列組合
7
C
錯排
7
有甲、乙、丙等 6 人排成一列，試求下列
各排列數：
1
甲不排首。
2
甲不排首且乙不排末。
利用排容原理，需扣除不符題意或重複計算
的部分。
想法
[ 答：1 600 種 2 504 種 ]
1 甲不排首的方法：
全 -（甲排首） = 6! - 5!
= 600（種）
2
甲不排首且乙不排末的方法：
全 -（甲排首 + 乙排末 - 甲排首且
乙排末）
!
!
!
!
6
5
5
4
=
-
+
-
^
h
= 6! - 2
# 5! + 4!
= 504（種）
取 A、B、C、D、E 五個字母來排列， 試求
下列各排列數：
1
A 不得排中位。
2
A 不排首位且 B 不排末位。
[ 答：1 96 種 2 78 種 ]
1
A 不排中的方法：
全 -（A 排中） = 5! - 4!
= 96（種）
2
A 不排首且 B 不排末的方法：
全 -（A 排首 + B 排末 - A 排首且
B 排末）
!
!
!
!
5
4
4
3
=
-
+
-
^
h
= 5! - 2 # 4! + 3!
= 78（種）
走捷徑問題
8
附圖為棋盤型街道，規
定由 A 到 B 走捷徑，試
求：
1
中途必須經過 C 點，
走法有幾種？
2
中途須經過 C 與 D 點，走法有幾種？
若 n = m
1
+ m
2
+ m
3
，則部分相同物的直線
排列公式為
!
!
!
!
m m m
n
1
2
3
。
想法
[ 答：1 300 種 2 150 種 ]
1 A → C → B：
! !
!
! !
!
4 2
6
3 3
6
300
#
=
（種）
2
A → C → D → B：
! !
!
! !
!
4 2
6
1
2 3
5
150
# #
=
（種）
附圖為一棋盤型街道，
試求：
1
由 A 到 B 走 捷 徑， 共 有
多少種走法？
2
由 A 到 B 須 經 過 C 或 D
的走法有多少種？
[ 答：1 252 種 2 171 種 ]
1 A → B：
! !
!
5 5
10
252
=
（種）
2
過 C 或 D = 過 C + 過 D - 過 C 且過 D
= (A → C → B) + (A → D → B)
- (A → C → D → B)
!
!
! !
!
! !
!
! !
!
2
3
3 4
7
3 3
6
2 2
4
#
#
=
+
!
!
!
!
! !
!
2
3
2
3
2 2
4
#
#
-
3
35
20
6
3
3
6
#
#
# #
=
+
-
= 171（種）
179
渡船問題
9
有渡船 3 艘，每船最多可載 5 人，現有 6
人欲安全渡過，其方法有多少種？
重複排列方法為 n
r
。
想法
[ 答：726 種 ]
全部 - 不合的情況
= 任意坐 - 6 人同船
= 3
6
- 3
= 726（種）
小明一家 6 人外出旅遊，分乘 2 部車子，
每部車最多搭載 5 人，試求有多少種搭車
的方法？
[ 答：62 種 ]
全部 - 超載情況
= 任意坐 - 6 人同車
= 2
6
- 2
= 62（種）
分禮物
10
將 5 件不同的獎品隨意分給甲、乙、丙 3
人，試求下列之分法：
1
任意給。 2 甲至少得 1 件。
重複排列搭配排容原理。
想法
[ 答：1 243 種 2 211 種 ]
1 每種獎品有 3 種分法，所求
= 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 3
5
= 243（種）
2
全部—甲沒有
= 3
5
- 2
5
= 211（種）
將 5 件不同的獎品隨意分給甲、乙、丙 3
人，試求甲恰得一件的分法。
[ 答：80 種 ]
甲恰得一件
& 先選一件給甲，有 5 種
其餘 4 件再分給乙、丙，則每件獎品有 2
種分法
& 2
4
種
故 5 # 2
4
= 80（種）
180
單元
7
排列組合
7
C
著色問題
11
以 5 種不同的顏色塗右圖
區域，每一區域只塗一色，
相鄰區域不得同色，顏色
可重複使用，試求共有幾
種不同的塗法？
[ 答：260 種 ]
設塗的次序為 A → B → C → D
1
A 與 C 同色：5 # 4 # 1 # 4 = 80
2
A 與 C 異色：5 # 4 # 3 # 3 = 180
由加法原理：80 + 180 = 260（種）
用 5 種不同的顏色塗右
圖，顏色可重複使用，
但相鄰區域不能同色，
試求塗法有多少種？
[ 答：420 種 ]
依 C → A → E → B → D 順序塗色
1
A、E 同色：
塗法有 5 # 4 # 1 # 3 # 3 = 180
2
A、E 異色：
塗法有 5 # 4 # 3 # 2 # 2 = 240
` 全部塗法有 180 + 240 = 420（種）
限制排列順序之問題
12
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，
規定甲在乙右邊，乙在丙右邊之排法有多
少種？（註：甲、乙、丙不一定相鄰）
[ 答：120 種 ]
甲、乙、丙 3 人位置先以
保留
則 丁 戊 己
之排法為
!
!
3
6
120
=
因甲、乙、丙 3 人順序固定為丙 - 乙 - 甲
1 種
故全部共 120 種排法
將代數學的英文「algebra」各字母重新排
列，則子音保持 l、g、b、r 之順序的排法
有多少種？
[ 答：105 種 ]
子音 l、g、b、r 位置先以 保留
則 a e a
之排法為
! !
!
4 2
7
105
=
因 l、g、b、r 之順序固定只有 1 種
故全部共 105 種排法
181
7-1
1. 餐飲部供應的菜色為肉品 4 種、海鮮 3 種、蔬菜 5 種及甜點 2 種。小丸子要點肉品、海鮮及
蔬菜各 1 種，不點甜點，則共有
60
種點法。
2. 千元鈔 2 張，500 元鈔 3 張，100 元鈔 4 張，每次至少取一張，共有
59
種取法。
3. 某一鐵路，沿線上有大站 10 站，小站 25 站，則鐵路局應備有
1190
種車票。
4. 川劇變臉是將選定的臉譜依序黏在臉上，藉快速逐一扯下臉譜達到變臉的效果。今變臉藝人
想從 8 張臉譜中，選出 5 張並依序表演一段變臉秀，共有
6720
種方法。
5. 將 1、2、3、4、5、6 六個數字排列，其中 1、3、5 任兩個不相鄰，共有
144
種排法。
6. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一列，若甲、乙須相鄰，丙、丁、戊要分開，共有
288
種排法。
7. 有一四位數，千、百位均為奇數，十、個位均為偶數，則共有
400
個數字相異的四位數。
8. 將 b a n a n a 六個字母重新排列，則排法共有
60
種。
9. 將「我為人人，人人為我」8 個字作直線排列，則：
1
任意排列之排法有
420
種。
2
4 個「人」字必相鄰之排法有
30
種。
10. 將四件相異物，
1
分給 A、B、C、D 四人，每人一件，其方法有
24
種。
2
分給 A、B、C 三人，每人可兼得，其方法有
81
種。
3
分給 A、B、C 三人，每人可兼得，但 A 至少得一件，方法有
65
種。
11. 有一排椅子，共有 5 個座位，今有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人，各選一個位子坐，但甲、乙、
丙三人必需相鄰，共有
36
種坐法。
【統測】
12. 三位數中，十位數字是 7 且個位數字是偶數，共有
45
個。
【統測】
7-1
1. 由數字 0，1，2，3，4 組成三位數，數字均不重複，試求：
1
可作成
48
個三位數。
2
所有作成的三位數之總和為
12990
。
2. 百貨公司有 4 道門，甲、乙二人由不同門進出一趟，但每人不得由同一門進出，則其方法有
84
種。
182
單元
7
排列組合
7
C
7-2
組合
重點一
組合
1.
一般組合：
從 n 件不同物中任意選出 r 件（不用排）的方法數：
!
!
!
!
C
r
P
r n
r
n
r
n
r
n
=
=
-
^
h
。
觀念補充 //
1
C
r
n
的方法數就是將 P
r
n
中 r 件可以排來排去的 r! 種方法數都只視為 1 種，所以要再
除以 r!。
2
C
1
n
n
=
（n 個全選：1 種方法）； C
1
n
0
=
（n 個都不選：1 種方法）。
2.
餘組合：
C
C
r
n
n r
n
=
-
，例如：從 10 人中選出 8 人的方法數與從 10 人中剔除 2 人的方法數一樣，則
! !
!
! !
!
C
C
8 2
10
2 8
10
8
10
2
10
=
=
=
。
3.
分組分堆：
舉實例說明：
例如：將 4 本不同的雜誌，依下列情況分配，試求其方法數？
1
平分給 A、B 兩人。
2
平分成兩堆。
3
依 1 本、3 本分成兩堆。
解：1 從 4 本雜誌中任取 2 本給 A，方法有 C
6
2
4
=
再將剩下 2 本分給 B，方法有 C
1
2
2
=
故有 C
C
6
2
4
2
2
#
=
（種）
2 假設將 4
本雜誌平分成 A、B 兩堆之方法有 C
C
6
2
4
2
2
#
=
但因兩堆數目相同且無 A、B 之分（即不考慮順序），故平分兩堆有
!
C C
2
3
2
4
2
2
=
（種）
3
因兩堆數目不同，視為不同的兩堆，故依 1 本、3 本分堆有 C
C
4
1
4
3
3
#
=
（種）
觀念補充 //
若有 m 堆數目相同時，則方法數需再除以 m!。
183
組合性質
1
n 是自然數，若 C
C
n 1
18
5
18
=
+
，試求 n 之值。
C
C
r
n
n r
n
=
-
。
想法
[ 答：4 或 12 ]
C
C
n 1
18
5
18
=
+
& n + 1 = 5 或 n 1
5
18
+
+
=
^
h
& n = 4 或 12
r 是自然數，若 C
C
r
r
3
30
3
1
30
=
+
-
，試求 r 之值。
[ 答：2 或 7 ]
C
C
r
r
3
30
3
1
30
=
+
-
& r + 3 = 3r - 1 或 r
r
3
3
1
30
+
+
-
=
^
^
h
h
& r = 2 或 7
組合概念
2
某次考試，規定由 6 題中選作 4 題，但前
兩題必須作答，則選題方法有多少種？
!
!
!
!
C
r
P
r n
r
n
r
n
r
n
=
=
-
^
h
。
想法
[ 答：6 種 ]
前兩題必須作答，其他 4 題再選作 2 題
& C
2
1
4
3
6
2
4
#
#
=
= （種）
由 12 位立委任選 5 人組成教育委員會，但
必須包含最資深的那一位委員，則有多少
種選法？
[ 答：330 種 ]
因有一人必選，再由 11 人中選出 4 人
& C
4
3
2
1
11
10
9
8
330
4
11
# # #
#
# #
=
=
（種）
184
單元
7
排列組合
7
C
組合概念
3
一群人中，有 4 個白人、5 個黑人與 6 個黃
種人，若欲組成包含 2 個白人、2 個黑人與
3 個黃種人的 7 人小組，試求共有多少種組
法？
!
!
!
!
C
r
P
r n
r
n
r
n
r
n
=
=
-
^
h
。
想法
[ 答：1200 種 ]
白人 4 選 2、黑人 5 選 2、黃種人 6 選 3
& C
C
C
2
4
2
5
3
6
#
#
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
6
5
4
#
#
#
#
#
#
# #
# #
=
= 1200（種）
從 7 名男人和 6 名女人中選取 4 人參加會
議，其中至少 2 名為男人，1 名為女人，試
求共有多少種選法？
[ 答：525 種 ]
至少 2 男 1 女
所求 = 2 男 2 女 + 3 男 1 女
= C
C
C
C
2
7
2
6
3
7
1
6
#
#
+
= 315 + 210
= 525（種）
幾何問題
4
如圖，有三組平行線，
每組各有三條直線，則
這九條線可決定多少個
三角形？
三角形有三個邊，每邊從各組直線中任選。
想法
[ 答：27 個 ]
C
C
C
1
3
1
3
1
3
#
#
= 3 # 3 # 3
= 27（個）
右圖中的每一小方格皆為
正方形，則圖中共有多少
個正方形？多少個矩形？
[ 答：正方形 40 個，矩形 150 個 ]
正方形個數：
4
5
3
4
2
3
1
2
40
#
#
#
#
+
+
+
=
Z Z Z Y
（個）
邊長 1
邊長 2
邊長 3
邊長 4
矩形個數：
C
C
150
2
6
2
5
#
=
（個）
185
分組分堆
5
八件相異的衣服，按件數分堆，各堆中不
分順序，若：
1
分成 1、3、4 三堆的分法有多少種？
2
分成 2、2、2、2 四堆的分法有多少種？
分堆時若有 n 堆數目相同，需再除以 n!。
想法
[ 答：1 280 種 2 105 種 ]
1 C
C
C
1
8
3
7
4
4
#
#
1
8
3
2
1
7
6
5
1
#
# #
# #
#
=
8
35
1
#
#
=
= 280（種）
2
!
C
C
C
C
4
1
2
8
2
6
2
4
2
2
#
#
#
#
2
1
8
7
2
1
6
5
2
1
4
3
1
24
1
#
#
#
#
#
#
#
#
# #
=
= 105（種）
（2、2、2、2 四堆數目相同，需再除以 4!）
本校轉學生有 8 人，將分配到甲班 3 人、
乙班 2 人及丙班 3 人就讀，則共有多少種
分配方法？
[ 答：560 種 ]
8 人先依
, ,
3 2 3
_
i
分組，再分配至各班
先分堆
, ,
3 2 3
_
i
!
C C C
2
3
8
2
5
3
3
&
3
2
1
8
7
6
2
1
5
4
1
2
1
# #
# #
#
#
#
# #
=
280
=
乙班為 2 人，但甲、丙兩班皆 3 人
故分配時需乘以 2!
` 280 # 2! = 560（種）
相異物任選恰能成雙之組合數
6
櫃子內有 6 雙不同樣式的鞋子，任取 4 隻，
試求下列之方法數：
1
4 隻中恰含一雙。
2
4 隻均不成雙。
[ 答：1 240 種 2 240 種 ]
1 先 6 雙任選 1 雙
再從剩餘 5 雙中任選 2 雙
但可挑左右腳
故共有 C
C
2
240
1
6
2
5
2
#
#
=
（種）
2
6 雙中任選 4 雙，但可挑左右腳
故共有 C
2
240
4
6
4
#
=
（種）
宴會中有五對夫妻，任選 4 人，試求下列
之方法數：
1
4 人恰為兩對夫妻。
2
4 人恰含一對夫妻。
[ 答：1 10 種 2 120 種 ]
1 5 對夫妻中任選 2 對
共有 C
2
1
5
4
10
2
5
#
#
=
=
（種）
2
5 對夫妻先任選 1 對
再從剩餘 4 對中任選 2 對
但可挑夫或妻
故共有
C
C
2
5
6
4
120
1
5
2
4
2
#
#
# #
=
=
（種）
186
單元
7
排列組合
7
C
組合觀念應用題
7
因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週
一至下週日七天內停止供應自來水三天，
但考慮民生需求，決定停水的三天完全不
相連，試求共有多少種停水方案。
[ 答：10 種 ]
先將四天供水作排列
再從以下編號 1 ∼ 5 的位置中，選擇三個
不供水：
1 供水 2 供水 3 供水 4 供水 5
故停水方案共有
C
3
2
1
5
4
3
10
3
5
# #
# #
=
=
（種）
台灣高鐵從第 1 車到第 12 車共有 12 節車
廂，為了加強服務乘客，要指定其中 4 節
車廂設置自動販賣機。若設置自動販賣機
的 4 節車廂兩兩不相銜接，則共有多少種
設置的方法？
[ 答：126 種 ]
車廂先不編號，將 4 節設置販賣機車廂插
入其餘 8 節車廂中的 9 個空隙內，完成後
再從頭編號
故共有 C
4
3
2
1
9
8
7
6
126
4
9
# # #
# # #
=
=
（種）
187
7-2
1. 設 P
r
n
及 C
r
n
分別表示從 n 個相異物任取 r 個的排列數與組合數，若 P
C
12
n
n
3
1
2
=
+
，則 n =
5
。
2. n 為自然數，若 C
C
n
n
5
1
5
=
-
，則 P
n
10
=
720
。
3. 設有 6 個足球隊參加比賽，若任意兩隊都互相比賽一場次，則共有
15
場次的比賽。
4. 某次考試，8 題任選 5 題作答，若規定其中某 2 題必選，則其選法有
20
種。
5. 兩組平行線不同向，其中一組有 8 條，另一組有 5 條，則可圍成
280
個平行四邊形。
6. 平面上相異 10 點，任三點均不共線，則此 10 點共可決定
45
條直線，
120
個三角形。
7. 袋中有 14 支籤，其中 5 支可中獎，今任取 5 支籤，則抽到 3 支中獎籤的情形有
360
種。
8. 自編號 1 號到 9 號的 9 顆球中任取兩顆球，試求下列之方法數：
1
此兩球號碼乘積為偶數的方法數為
26
。
2
此兩球號碼之和為奇數的方法數為
20
。
9. 從 8 名男生和 5 名女生中選取 4 人參加羽球比賽，其中至少含 2 名男生和 1 名女生的選法有
560
種。
10. 將 10 件不同的東西按 3、3、4 分給甲、乙、丙三個人，則其方法共有
4200
種。
11. 下列各問題中，何者的解答是 C
6
10
？
B
A 10 位學生中任意挑選 6 位同學排成一列，共有幾種情形？
B 10 個不同顏色的球中任意挑選 4 個出來，共有幾種情形？
C 10 張椅子排成一列，6 位同學各自任意挑選 1 張椅子坐下，共有幾種情形？
D 10 個相同的白色球任意挑選 4 個出來，共有幾種情形？
【統測】
12. 將 6 本不同的書分別放在 3 個不同架子上，若每個架子放 2 本，則共有
90
種放法。
7-2
1. 從 google 的字母中任取出 4 個字母，則
1
取法有
8
種。
2
再將這 4 個字母排成一列，排法有
102
種。
188
7
回顧：排列組合是數學單元中最靈活也是最具挑戰性的章節，對不習慣思考只是一味追求公式的同
學來說會感覺十分困難。檢視排列組合的本質就是有系統的計數方法，公式只是輔助工具，想學好
它的關鍵在於融會貫通，深入透析演算的條理，理解每個步驟背後的數學意義，才是學習的訣竅。
行政院自 2020 年 2 月 6 日起制定以實名制購買口罩的制度，規定
身分證末碼為奇數者
每週一、三、五可購買
，
偶數者每週二、四、六可購買
，
週日則都可以購買
，且每人每
週限購買一次。已知小華、哥哥及爸媽的身分證末碼分別為 2、5、7、4，且他們打算都
在這週購買口罩，試問他們的選擇有多少種？
身分證末碼為 奇數者週一、三、五可購買
偶數者週二、四、六可購買
週日則都可以購買
n 種不同物中任取 r 個來排，可重複使用之排法為 n
r
將 4 件不同物任意分給甲乙丙丁 4 人，共有多少種分法？
依題意
身分證末碼為奇數者，每週一、三、五、日可購買，有 4 種選擇
身分證末碼為偶數者，每週二、四、六、日可購買，也有 4 種選擇
因為可以重複購買， 故依重複排列之概念
共有 4 # 4 # 4 # 4 = 256 種買法
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單 元 公 式
翻譯成數學式
解 題
題目
189
★
表難題
7
1. 健跑鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢，買一送一」的活動方案。該鞋店共有
八款鞋可供選擇，其價格如下：
款式
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
價格
670
670
700
700
700
800
800
800
規定送鞋的價格一定少於所買鞋的價格（例如：買一個「丁」款鞋，只送甲、乙兩款鞋之一）。
若有一位鞋店的顧客使用此方案，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法共有多少種？
答：21 種
2. 棒球比賽中每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、
右外野、中外野、左外野各一位。已知某一職棒球隊有 18 位可以先發的球員，由教練團認
定可擔任的守備位置球員數情形如下：
( 一 ) 投手 4 位、捕手 2 位、一壘手 1 位、二壘手 2 位、三壘手 2 位、游擊手 2 位。
( 二 ) 外野手 4 位（每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備）。
( 三 ) 另外 1 位是外籍球員，他可擔任一壘手與右外野的守備。
已知開幕戰的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，並
由洋將擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排，則此場開幕
戰共有幾種先發守備陣容？（當九個守備位置只要有一個球員不同時，就視為不同的守備陣
容）
答：192 種
3. 汽車保養場的技師欲將舊輪胎換新，已知每個輪胎都被一根主螺絲釘固定住，必須先拔掉主
螺絲釘才能將輪胎拆卸下來，不過不一定拔掉主螺絲釘後就必須立即卸下該輪胎，也可以暫
時拔釘但不急著卸胎，試問一位技師要拆卸下四個舊輪胎共有多少種不同的順序？
答：2520 種
高三人的自信
每個人心中都有一個熟睡的巨人，一旦巨人醒來，潛能便能發揮。
超越逆境，活出精采，努力開創一個屬於自己的品牌。
190
7
C
★
表難題
統測解題影音
7
191
（
A
）
1. 某歌手打算在她的演唱會上表演一段由 6 首不同的歌曲串成的組曲，其中 3 首慢歌、
3 首快歌。她的音樂總監建議在歌曲的安排上最多只能 2 首慢歌連在一起唱，因為
這樣才會使得整個組曲的節奏比較流暢。若她認同並接受音樂總監的建議，試問這
段組曲可以有多少種
不同的安排方式？
A 576 B 648 C 696 D 720。
【111C】
（
B
）
2. 「心公司」想要找設計公司製作招牌，而招牌設計中要先選擇
底色，中間則是心公司的單色商標，商標下放上一排單色文字
寫上心公司，如圖。已知底色、商標顏色以及文字顏色的選擇
有黑、藍、白、黃、紅等五種顏色，且底色不能跟商標顏色相同，
也不能跟文字顏色相同，除此之外，並無其他限制。試問這個
招牌的顏色設計有幾種選擇？ A 60 B 80 C 100 D 120。
【111B】
（
B
）
3. 跆拳道隊有 8 個隊員，教練安排所有隊員每 2 人一組分別在 A、B、C、D 四個不同
場地練習，則共有幾種安排的方式？
A 105 B 2520 C 5040 D 40320。
【110C】
（
A
）
4. 一個空的書櫃有上、中、下共三層，若將國文、英文、數學三本課本放入書櫃的任
一層，且當課本放在同一層左右順序不同時視為不同排列，則共有幾種
不同的排
法？ A 60 B 36 C 27 D 18。
【110C】
（
D
）
5. 某款電玩在開始闖關前需進行設定：第一個步驟是選擇難度，由入門、普通或高手
等 3 種難度擇一；第二個步驟由 4 種盔甲擇一；第三個步驟由 5 種武器擇一。若必
須依序完成這三個步驟，設定才算完成，則有幾種闖關前設定？
A 12 B 23 C 36 D 60。
【110B】
（
C
）
6. 若從 1、2、3、4、5、6、7 七個數字中取兩個相異數字排成二位數，則所有這些
不同的二位數之總和為何？ A 42 B 924 C 1848 D 3696。
【110B】
（
D
）
7. 在一次立法委員選舉中，每位選民須投區域立委與不分區政黨兩種選票，且每種選
票均只能圈選一位，否則視為廢票。已知某甲的戶籍地有 6 位區域立委候選人，而
全國共有 14 個政黨可選擇。若某甲決定去投票，且兩種選票均不投廢票，試問某
甲有多少種的投票組合？ A 6 B 14 C 20 D 84。
【109C】
（
B
）
8. 某一個電腦的過關遊戲中，從據點 A 到據點 C 必須經過據點 B。若從據點 A 到據
點 B 可以選擇的路徑有 2 條，從據點 B 到據點 C 可以選擇的路徑有 3 條，則從據
點 A 到據點 C 有幾種走法？ A 5 B 6 C 8 D 9。
【109B】
（
B
）
9. A 學校桌球校隊有甲、乙、丙、丁、戊五位選手，有一天 A 學校桌球校隊與他校進
行友誼賽。由於時間關係，只進行單打、雙打比賽各一場，且兩場比賽同時進行。
若任意推出選手參賽（不考慮默契等因素），則 A 學校可推出的參賽選手名單有多
少種？ A 12 B 30 C 125 D 243。
【109B】
（
A
）
10. 某啦啦隊競賽規定，每隊組隊人數 8 人且男、女生均至少 2 人。某班共有 4 名男生
與 6 名女生參加啦啦隊競賽，若由此 10 人中依規定選出 8 人組隊，共有多少種組
隊方式？ A 45 B 60 C 75 D 90。
【108C】
（
A
）
11. 如圖所示，使用 8 種不同顏色塗在圖中標號 A、B、C、D、E 的
5 個格子內，顏色不可重複使用，若規定同一格子僅塗同一顏
色，則共可塗出幾種
不同的著色樣式？
A P
5
8
B C
5
8
C 5
6
D 6
5
。
【108B】
（
A
）
12. 同時投擲四個相異公正骰子，點數 3 出現至多一次情形共有幾種？
A 1125 B 1185 C 1245 D 1365。
【107C】
（
B
）
13. 某青年創業開餐廳，擬設計一份有 5 種菜色的菜單。若在原始構思的 7 種菜色中有
2 種為必選，則有幾種
不同菜單？ A 6 B 10 C 21 D 35。
【107B】
（
A
）
14. 某人想在自家後院牆邊的長條空地種植一列菜苗，共有高麗菜 5 株，萵苣 4 株，菠
菜 4 株。若他決定在每兩株高麗菜之間任意種植萵苣或菠菜共兩株，則種植的排列
方法有幾種？
A
! !
!
4 4
8
B 2
8
C
! ! !
!
4 4 5
13
D 5!4!4!。
【107B】
（
B
）
15. 將繞口令「四十個十四 十四個四十」中的文字全取排成一列，且其中四個「十」
須相鄰排在一起，其排法有幾種？
A 70 B 105 C 135 D 210。
【106C】
（
C
）
16. 某自助餐店提供 80 元的便當，便當中除了白米飯之外，還包含一種主菜以及三種
不同的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、魚排 3 種，另有 8 種不同的配菜，
則共可搭配出多少種
不同組合的 80 元便當？
A 59 B 112 C 168 D 210。
【106B】
（
B
）
17. 某飲料店有 5 位假日工讀生，工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與晚班等
4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班，如果規定同一人不可以連續排班，至
少要隔一個時段上班，則共有幾種排班方式？
A 81 B 270 C 900 D 1000。
【106B】
（
D
）
18. 某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個值班時段，而每一值班時段皆需二人值班。
若某天要安排六名員工值班且每人恰值班一次，則共有多少種排班方式？
A 45 B 60 C 75 D 90。
【104B】
（
A
）
20. 將 0、1、2、3、5 五個數字全取，排成一列，可得 4 的倍數的五位數共有多少個？
（註：凡末兩位數是 4 的倍數者即為 4 的倍數）
A 18 B 20 C 24 D 36。
【統測】
192