Week 9-3
邊檢定、右邊檢定和左邊檢定。假設檢定是那一種類型，主要是看對
立假設的型態。通常虛無假設是描述現有方法、程序、治療方式等，
而對立假設為虛無假設的對立面，通常表示新的方法、程序、治療方
式等。假設檢定就是用觀測的資料來對虛無假設做拒絕
(reject)或不
拒絕
(do not reject)判斷的決策方法。
型一誤差
(Type I error): 當 H
0
為真，依觀測資料判斷而拒絕
H
0
(接受
H
1
)。
型二誤差
(Type II error): 當 H
0
不真，依觀測資料判斷而不拒絕
H
0
(拒
絕
H
1
)。
顯著水準
α (significance level α):
P
(型一誤差)=
P
(拒絕 H
0
| H
0
為真
)。
檢定力
(power): 1-
P
(型二誤差)=1-
P
(不拒絕 H
0
| H
0
不真
)=
P
(拒絕
H
0
| H
0
不真
)。
p
-值(
p
-value): 在 H
0
為真之條件下，檢定統計量比其觀測值還要極端
的機率
=
P
(檢定統計量比其觀測值還要極端| H
0
為真
)，
p
-值越小越
有足夠證據來拒絕
H
0
。由
p
-值的大小來做是否拒絕 H
0
的判斷，是比
較有彈性的決策。
檢定方法的要求與步驟
: 在顯著水準 α不大於某一小機率(例如 0.05
或
0.1)之下，檢定方法期盼型二誤差的機率,
P
(不拒絕 H
0
| H
0
不真
),
越小越好
(或檢定力,
P
(拒絕 H
0
| H
0
不真
), 越大越好)。而檢定步驟
Week 9-4
則是計算檢定統計量的觀測值，若它落在拒絕域
(rejection region)則
拒絕
H
0
，否則不拒絕
H
0
。也可計算
p
-值，由
p
-值大小來做是否拒絕
H
0
的決策。
1. 單母體平均數的檢定(母體變異數未知)
(1) 資料來自常態分佈
假設
X
1,
X
2,
⋯
,
X
n
是一組從
(母體)平均數 -∞< 𝜇 <∞和(母體)變異數
𝜎
2
> 0 的常態分佈隨機變數
X
取出的隨機樣本
( 𝜇 和 𝜎
2
均未知)，並
給定檢定顯著水準
α。
(i) 雙邊檢定: H
0
: 𝜇 = 𝜇
0
對 H
1
: 𝜇 ≠ 𝜇
0
若
H
0
為真，檢定統計量
T=
(𝑋−𝜇
0
)
𝑆/√𝑛
~ 𝑡
𝑛−1
，當檢定統計量觀測值
|
t
|
=
|
( 𝑥−𝜇
0
)
𝑠/√𝑛
|
>𝑡
𝑛−1,1−𝛼/2
，則拒絕
H
0
，否則不拒絕，其中
𝑡
𝑛−1,1−𝛼/2
代表
𝑡
𝑛−1
分佈的
1 − 𝛼/2分位值(即
P
(𝑡
𝑛−1
≤ 𝑡
𝑛−1,1−𝛼/2
= 1 −
𝛼/2))，在此稱為臨界值(critical value)。亦可計算
p
-值=
2
P
(𝑡
𝑛−1
> |𝑡 |)，由
p
-值大小來判斷是否拒絕 H
0
。
(ii) 右邊檢定: H
0
: 𝜇 = 𝜇
0
(或 𝜇 ≤ 𝜇
0
) 對 H
1
: 𝜇 > 𝜇
0
當檢定統計量觀測值
t
=
( 𝑥−𝜇
0
)
𝑠/√𝑛
>𝑡
𝑛−1,1−𝛼
，則拒絕
H
0
，否則不拒絕。
此時
p
-值=
P
(𝑡
𝑛−1
> 𝑡 )。
(iii) 左邊檢定: H
0
: 𝜇 = 𝜇
0
(或 𝜇 ≥ 𝜇
0
) 對 H
1
: 𝜇 < 𝜇
0
Week 9-5
當檢定統計量觀測值
t
=
( 𝑥−𝜇
0
)
𝑠/√𝑛
<𝑡
𝑛−1,𝛼
= - 𝑡
𝑛−1,1−𝛼
，則拒絕
H
0
，否
則不拒絕。此時
p
-值=
P
(𝑡
𝑛−1
< 𝑡 )。
(2) 資料不是來自常態分佈(一般利用中央極限定理來做近似顯著水
準
α 的檢定)
(i) 白奴利分佈
假設
X
1,
X
2,
⋯
,
X
n
是一組從
(母體)平均數
p
，
0<
p
<1，的白奴利隨機
變數
X
取出的隨機樣本，並給定檢定顯著水準
α。
雙邊檢定
: H
0
: 𝑝 = 𝑝
0
對 H
1
: 𝑝 ≠ 𝑝
0
當樣本數
n
夠大
(10≤ 𝑛𝑝̂ ≤ 𝑛 − 10，𝑝̂=𝑋)且 H
0
為真，
U
=
𝑝�−𝑝
0
�𝑝�(1−𝑝�)/√𝑛
≈
N
(0, 1)。所以當檢定統計量
U
的觀測值
|
u
|> 𝑧
1−𝛼/2
時，
則拒絕
H
0
，否則不拒絕，其中
𝑧
1−𝛼/2
代表
N
(0,1)分佈的 1 − 𝛼/2分位
值。此時
p
-值=2
P
(𝑁(0, 1) > |𝑢| )。
右邊檢定
: H
0
: 𝑝 = 𝑝
0
(
或
𝑝 ≤ 𝑝
0
) 對 H
1
: 𝑝 > 𝑝
0
當檢定統計量觀測值
u
>𝑧
1−𝛼
，則拒絕
H
0
，否則不拒絕。此時
p
-值
=
P
(𝑁(0, 1) > 𝑢 )。
左邊檢定
: H
0
: 𝑝 = 𝑝
0
(
或
𝑝 ≥ 𝑝
0
) 對 H
1
: 𝑝 < 𝑝
0
當檢定統計量觀測值
u
< 𝑧
𝛼
= - 𝑧
1−𝛼
，則拒絕
H
0
，否則不拒絕。此時
p
-值=
P
(𝑁(0, 1) < 𝑢 )。