2022 亞太區小學奧林匹亞數學競賽臺灣區初賽
考試日期：110.12.12 考試時間：09：00～11：00
說明：本試卷共計 30 題填充題，滿分 150 分。請依題號將答案填入答案卷中。
甲、1~10 題每題 6 分，乙、11~20 題每題 5 分，丙、21~30 題每題 4 分。
甲
1. 計算以下算式的值：
30 + 29 + 28 + 27 + ⋯ + 2 + 1
30 − 29 + 28 − 27 + ⋯ + 2 − 1
=?
2. 小明班上有 10 位同學，他們的身高由矮至高排列如下（單位：公分）
：
144、145.5、147.5、149、149.5
151、151.5、151.5、153.5、157
求全班同學身高的算術平均數。
3. 若 a
1
, a
2
為
𝐴𝐵
̅̅̅̅上的 2 個點，b
1
, b
2
為
𝐴𝐶
̅̅̅̅上的 2 個點，c
1
, c
2
, c
3
為
𝐵𝐶
̅̅̅̅上的
3 個點，如右圖。試問圖中有幾個三角形?
4. 若沿著牆邊種樹，並且兩端都要種，首先在左端種下樹，然後隔 7 公尺種一棵，接著再隔 3 公
尺種一棵，依此規律，在種到 100 顆時正好在牆的最右端，問牆的長度是多少公尺？
5. 有一名不肖顧客拿著一疊混入百元鈔的千元鈔至便利商店結帳，店員以數鈔機數出這疊鈔票共
有 100 張，然而在結算金額時，發現這疊鈔票的金額僅有 88300 元。請問這位不肖顧客在這疊
鈔票中混入了幾張百元鈔？
A
B
C
a
1
a
2
b
2
b
1
c
2
c
1
c
3
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考試日期：110.12.12 考試時間：09：00～11：00
6. 小玫打算在升國中前，將老師給他的國中常考英文單字清單給背完。他第一天先背下了清單中
21
1
的單字，但是隔天發現他忘了 8 個，於是為了趕進度，他將沒背起來的單字的
18
1
背起來之
後，再額外多背起 10 個單字。此時他發現清單中還剩 942 個單字沒背起來。那麼老師給他的清
單中有幾個單字？
7. 求
102
101
+
103
102
+
104
103
+
105
104
+ ⋯ +
200
199
=?
的整數部分為何？
8. 若
(1 +
1
3
) × (1 −
1
3
+
1
9
−
1
27
+
1
81
−
1
243
) = 1 −
1
□
求□=？
9. 已知 A 為大於 4 的正整數。若 A÷5 的餘數為 4，A÷7 的餘數為 4，求 A 的最小值為何？
10. 地球表面陸地可分為七大洲。下表是七大洲大約面積，以及各洲在南北半球的分布狀況。
各洲名稱
各洲大約面積
(百萬平方公里)
各洲在南北半球的分布狀況
亞洲
44
幾乎都位於北半球
歐洲
10
全部位於北半球
北美洲
25
全部位於北半球
非洲
30
5
3
位於北半球，
5
2
位於南半球
南美洲
18
幾乎都位於南半球
大洋洲
9
幾乎都位於南半球
南極洲
14
全部位於南半球
合計
150
已知一個人造衛星發生故障後，預計一定會墜落在其中一塊陸地上。假設這顆衛星墜落在這些
陸地各個位置的機率是一樣的，那麼這顆衛星墜落在「非洲北半球」的機率約是多少？
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乙
11. 若已知籃子 A 每籃可裝 12 顆蘋果，籃子 B 每籃可裝 5 顆蘋果。使用 x 個籃子 A 及 y 個籃子 B
可剛好裝完 99 顆蘋果，若籃子的總數大於 10，求 x + y =？
12. 某公共租用單車以 30 分鐘為單位（不足 30 分鐘的部分也視同租了 30 分鐘）收取租金，規則如
下：
(一)
4 小時以內（包含恰 4 小時）的部分，每 30 分鐘計收 10 元。
(二)
超過 4 小時但在 8 小時以內（包含恰 8 小時）的部分，每 30 分鐘計收 20 元。
(三)
超過 8 小時的部分，每 30 分鐘計收 40 元。
小明借車卻忘記還，在收到通知還車之後，共繳了 840 元的租金。假如小明租借的時間最接近
A 小時，其中 A 是個整數，那麼 A 是多少？
13. 將 202123 的各個位數重新排列成一個 6 位數，例如重排成：222013。請問可以重排出幾個相異
且為偶數的 6 位數。
14. 已知甲是個整數
{
甲
÷ 7 = 乙 ⋯ 5
甲
÷ 17 = 丙 ⋯ 15
那麼所有甲可能代表的數中最接近 2000 的是多少？
15. 規定一種適用於正整數的新運算「＊」
：a＊b 等於 a 與 b 乘積的個位數。
例如：3＊2=6、 7＊8=6。求以下算式的值：
2＊4＊8＊16＊
⋯＊1024＝？
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16. 若五個輪胎的半徑由小到大分別為
𝑟
1
，
𝑟
2
，
𝑟
3
，
𝑟
4
，
𝑟
5
，已知輪胎半徑皆為整數且介在 15
公分至 85 公分之間，若後一個輪胎的半徑是前一個輪胎半徑的 1.5 倍。試問
𝑟
4
=？
17. 如右圖，
C為𝐵𝐷
̅̅̅̅上的一點，若∠ABC = ∠ACE = ∠EDC = 90
°
，
𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 3，𝐶𝐸
̅̅̅̅ = 4，𝐴𝐸
̅̅̅̅ = 5，梯形
ABDE 的周長為 14.8，已知
𝐶𝐷
̅̅̅̅ =
4
3
× 𝐴𝐵
̅̅̅̅，
𝐷𝐸
̅̅̅̅ =
4
3
× 𝐵𝐶
̅̅̅̅，求三角形 ABC 的周長為何？
18. 一種在常見的擲骰子遊戲稱做「十八骰子」
，玩法是玩家一次擲出四顆骰子，當其中有兩顆骰子
點數一樣時才會計分。計點方式是扣除兩顆點數相同的骰子不算點，其餘兩顆點數合計即為所
得點數。例如：2234 是七點、4423 是五點。若有兩組骰子點數相同（包含四個都相同），則以
點數較大者之合計為所得點數，例如：2233 是六點、4444 是八點。如果有三顆骰子相同且另一
顆不同則必須重擲。今甲、乙兩人各擲出一次，甲得到十一點，乙得到十二點，巧的是兩人各
別擲出的四個骰子點數總和都剛好是三的倍數。請問，兩人擲出的所有骰子點數總和為何？
19. 有甲、乙兩個齒輪互相咬合，觀察兩齒輪轉動可知：當甲齒輪轉 23 圈時，乙齒輪轉 13 圈。而
且已知甲、乙齒輪的齒數皆約一百多齒，則乙齒輪的齒數為何？
20. 已知下列關係：
1
𝑎
−
1
𝑏
=
𝑏 − 𝑎
𝑎 × b
，例如：
1
3
−
1
7
=
4
3 × 7
。
求以下算式的值：
2
(2 − 1)(4 − 1)
+
4
(4 − 1)(8 − 1)
+
8
(8 − 1)(16 − 1)
+ ⋯ +
1024
(1024 − 1)(2048 − 1)
=?
A
B
C
D
E
𝑥
𝑦
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丙
21. 如圖一，已知直角三角形三邊長關係為：
𝑎 × 𝑎 + 𝑏 × 𝑏 = 𝑐 × 𝑐
如圖二，甲、乙、丙為三個正方形，且甲、乙兩個的面積皆為 4， 求
𝐴𝐵
̅̅̅̅ × 𝐴𝐵
̅̅̅̅為何？
22. 甲、乙兩人分別同時用固定的速率從 A、B 兩個位置沿著
AB
̅̅̅̅相向起跑。在離 A 點 60 公尺的地
方第一次相遇之後，兩人繼續以原來的速度前進。接著各自抵達對方起始位置後，都立即以原
來的速度返回，又在距 B 點 70 公尺處第二次相遇。問
AB
̅̅̅̅為多少公尺？
23. 設有一數列{
𝑎
𝑛
}，其中𝑎
1
= 996，𝑎
2
= 1000，𝑎
𝑛
= 𝑎
𝑛−1
− 𝑎
𝑛−2
(𝑛 ≥ 3)，求𝑎
2022
的值。
24. 全班有 40 位同學圍成一圈逆時針輪流自我介紹，如圖。輪流方式為：由 1 號同學開始，接著每
次同學完成介紹皆先逆時針跳過 3 人，由第 4 人自
我介紹。但如果剛好輪到已經介紹過的同學，則順
延至尚未自我介紹的人。例如：在第一圈輪流時，1
號接著是 5 號，而 37 號接著是 2 號。那麼 23 號同
學是第幾個自我介紹？
𝑎
𝑏
𝑐
圖一
甲
乙
丙
A
B
圖二
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25. 如下圖，有梯形 ABCD。其中
AB
̅̅̅̅平行於CD
̅̅̅̅且AB
̅̅̅̅垂直於AD
̅̅̅̅。
已知
AD
̅̅̅̅被 P
1
、P
2
、
…、P
9
等 9 個均分成 10 等分，而
BC
̅̅̅̅被 Q
1
、Q
2
、
…、Q
9
等 9 個均分成 10 等
分。若圖中斜線區域的面積為 120 平方公分，則此梯形的面積為何？
26. 有一個大長方體，從一個角落切去一塊小長方體形成一個 L 形柱體如圖。
有一隻螞蟻從 A 點沿著這個物體的甲、乙、丙、丁等 4 個平面走最短距離抵達 B 點，已知這隻
螞蟻的出發方向與
AC
̅̅̅̅邊夾60°且共走了 75 公分，求 L 形柱體底部的周長為多少公分？
27. 小明家養了一隻柴犬，而小華家養了一隻土狗。依照過往的經驗可以預估，小明家的柴犬會在
20 天吃完 3 包飼料，小華家的土狗會在 16 天吃完 4 包飼料。由於小華家最近全家長期出國，
將家裡的土狗送至小明家寄養。若小明先買好 20 包飼料給這兩隻狗吃，則這些飼料會在幾天吃
完？ (不到一天用一天來算)
A
B
D
C
P
9
P
8
P
7
P
6
P
5
P
4
P
3
P
2
P
1
Q
9
Q
8
Q
7
Q
6
Q
5
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
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考試日期：110.12.12 考試時間：09：00～11：00
28. 正三角形 ABC 中 AB 邊上有 P
1
、P
2
、
…、P
5
等五個點將其分成 6 等份。
分別過 P
1
、P
2
畫出與 AC 邊平行的線段，再過 P
3
、P
5
畫出與 BC 邊平行的線段，並圍出如圖中
斜線區域。已知斜線區域面積為 4，求三角形 ABC 的面積。
29. 六年甲班在班級同樂會時玩一個數學遊戲，規則是：同學們從 1 開始喊連續正整數，但當遇到
3 的倍數或數字中有 3 的情況，就不能喊出那個數字而以拍手代替。例如：輪到 3、6、9、12、
13、…、35、……等等都必須以拍手代替喊出該數字。那麼第 110 次拍手時是輪到哪個整數？
30. 已知半圓
ADB與半圓 ADC 交於 A、D 兩點，O 為半圓 ADC 之圓心，且𝐴𝐵
̅̅̅̅垂直𝐴𝐶
̅̅̅̅。
若
𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 2，𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 2 × √3，∠AOD = 60
∘
。求圖中鋪色區域的面積。
（圓周率以
π 表示。）
註
: 1、 正三角形面積公式 =
邊長
× 邊長 × √3
4
2、
√3 × √3＝3
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考試日期：110.12.12 考試時間：09：00～11：00
說明：請依題號將答案填入答案卷中。
甲、1~10 題每題 6 分。
1
31
2
150
3
30
4
497
5
13
6
1050
7
99
8
729
9
39
10
25
3
乙、11~20 題每題 5 分。
11
17
12
15
13
68
14
2021
15
8
16
54
17
7.2
18
33、39
19
184
20
2047
2046
丙、21~30 題每題 4 分。
21
40
22
110
23
-4
24
26
25
200
26
75
27
50
28
36
29
236
30
5π
6
− √3
准考證號碼：«准考證»
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