林廷數學考試中心
108 下學期指考數學(甲)模擬測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試範圍：第一~第四冊、選修數學甲全
考試時間：80 分鐘
題型題數：單選題 5 題，多選題 4 題，選填題第 A 至 B 題共 2 題，非選擇題 2 題。
作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修
正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由
考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，
考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫
記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50
時，則考生必須分別在答案卡的第
20 列的 與第 21 列的 畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
18
19
8
3
7
20 21
50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
18
19
3
8
1
2
4
5
6
7
9
0
8
1
2
3
4
5
6
7
9
0
20
1
21
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-1-
第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 7 0 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 3 0 分 ）
說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡
之「選擇（填）題答案區」
。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，
該題以零分計算。
1. 設兩複數
α β
，
在複數平面上所對應的點分別為 A，B，而 O 點為原點。
若
1
3i
α
β
= +
，則
OBA
∠
等於下列哪個選項？
(1)
6
π
(2)
3
π
(3)
2
π
(4)
2
3
π
(5)
5
6
π
2. 在
ABC
∆
中，設
A
B
C
∠
∠
∠
、
、
之三對邊長分別為 a、b、c。若
ABC
∆
的
外接圓半徑為 1，則
2
2
2
2
2
2
1
2
3
(
2
3 )(
)
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
+
+
+
+
的最小值為何？
(1) 36
(2) 72
(3) 108
(4) 144
(5) 180。
-2-
3. 在右圖
ABC
∆
中，
3
8
7
AB
BC
CA
=
=
=
，
，
；四邊形 ABDE 及四邊形 ACFG
為正方形，則
BE CG
⋅
之值為何？
(1)
15 3
(2) 18 3
(3)
21 3
(4)
24 3
(5) 27 3 。
4. 設 m 為整數。若不論 k 為任何實數，三平面
1
:
3
E x
my
z
+
− =
，
2
: 2
3
5
E
x
y
kz
+
+
=
，
3
:
3
E
x
ky
z
k
+
+
=
，恆交於一點，則 m 的所有可能值的個
數為何？
(1) 3
(2) 8
(3) 13
(4) 18
(5) 23。
5. 如右圖所示，直角
ABC
∆
中，
BAC
∠
為直角，
AE
BC
⊥
且
1
BD
DC
EC
=
=
=
，
則
AC
的長度為何？
(1)
2
(2)
3
(3)
3
2
(4)
3
3
(5)
3
5 。
-3-
二 、 多 選 題 （ 占 2 0 分 ）
說明：第 6 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答
案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯
1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，
該題以零分計算。
6. 同時擲
(
2)
n n
≥
枚均勻的硬幣，
n
A
表事件「至少出現
1
n
−
個正面」
；
n
B
表
事件「不是全為正面且不是全為反面」
，則下列哪些選項是正確的？
(1)
3
1
(
)
4
P A
=
(2)
4
7
(
)
8
P B
=
(3)
3
3
3
(
)
8
P A
B
∩
=
(4)
3
A
與
3
B
為獨立事件
(5)
4
A
與
4
B
為獨立事件。
7. 多項式
3
2
( )
2
f x
x
px
qx
=
+
+
+ ，其中
p
，
q
為實數，若
( )
0
f x
=
有二虛根
2
α α
，
，且
( )
f x
可改寫成
(
1)(
2)(
3)
(
0)(
2)(
3)
(0 1)(0
2)(0 3)
(1 0)(1 2)(1 3)
x
x
x
x
x
x
a
b
−
−
−
−
−
−
×
+ ×
−
−
−
−
−
−
(
0)(
1)(
3)
(
0)(
1)(
2)
(2 0)(2 1)(2 3)
(3 0)(3 1)(3 2)
x
x
x
x
x
x
c
d
−
−
−
−
−
−
+ ×
+ ×
−
−
−
−
−
−
，其中 a，b，c，d 為實數。試問
下列哪些選項是正確的？
(1)
3
1
α
=
(2)
3
p
=
(3)
4
q
=
(4)
3
a
=
(5)
9
b
=
。
-4-
8.
A，B，X 是三個二階方陣。已知
cos120
sin120
sin120
cos120
A
°
°
=
°
−
°
，
0
1
1
0
B
−
=
，而 x
滿足 AX
B
= ，試問下列哪些選項是正確的？
(1)
2
1
0
0
1
A
=
(2)
B 的反矩陣等於
3
B
(3)
X
AB
=
(4)
X
所對應的平面變換是旋轉
(5) 若 X 將直線
:
3
L y
x
=
變換至直線
'
L ，則
'
L 與 L 垂直。
9. 設 p，q，r 均為實數。已知坐標空間中三向量
( , 0 , )
OA
p
q
=
，
( ,
, 0)
OB
r p
=
，
(1 , 1 , 1)
OC
=
，其中
OA
與
OB
的長度均為 1 且
45
AOC
BOC
∠
= ∠
= °
。試問
下列哪些選項是正確的？
(1)
6
3
p
r
+ =
(2)
1
3
pr
=
(3)
1
cos
4
AOB
∠
=
(4)
3
(
)
4
OC
OA OB
⋅
×
=
(5) 由
OA
，
OB
，
OC
三向量所展成的平行六面體體積為
5
6
。
-5-
三 、 選 填 題 （ 占 2 0 分 ）
說明：1. 第 A 至 B 題，將答案畫記在答案卡上「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號
( 10 ～15 )。
2. 每題完全答對給 10 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
A、B 為常數，以 x 為自變數之函數
2
cos
sin cos
y
A
x
B
x
x
=
+
，若 y 的最大值為
9，最小值為
1
− ，則 A 之值為 ____________，B 之值為 ____________。
B.
有一邊長為
2 的正方形 ABCD。今沿著它的對角線
AC
摺起，使平面 ABC
與 ACD 互相垂直，則直線 AB 與直線 CD 間的公垂線段長(意即此兩直線間的
距離)為 ________________。
第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占 3 0 分 ）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子
題號（(1)、(2)、……）
，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚予以零分。
作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標準於題末。
一、有一遊戲是將盒中放入 2 個白色球、以及紅、藍、綠色球各一個，每次從中任
取一球，取後不放回，直到紅、藍、綠 3 個色球全部取出為止。令隨機變數 X
表示此遊戲所取球的次數。試求：
(1)
X 的期望值。( 7 分)
(2)
X 的標準差。(計算到小數點後第三位，第四位四捨五入) ( 8 分)
(參考數值：
2
1.414
3
1.732
5
2.236
6
2.449
7
2.646
≈
≈
≈
≈
≈
，
，
，
，
)
二、坐標平面上，O 為原點，若直線
:
L x
y
k
+ =
與
2
2
:
4
4
0
C x
y
x
y
k
+
−
−
+ = 交
於相異的兩個點 A，B，求：
(1) 實數 k 的範圍。( 7 分)
(2)
OA OB
⋅
的範圍。( 8 分)