97 指考數學乙非選擇題作答情形分析
編者按：
97 指考非選擇題評分標準說明系列報導，以數學考科壓軸，為此系列報導畫下句
點。本期邀請本中心數學考科兩位學科研究員撰文，提供數學甲、數學乙的非選
擇題評分標準說明及考生作答情形分析，請關心高中教育的各界參考。
第一處
陳慧美
表一列出
93 至 97 年數學乙非選擇題得零分及滿分的考生人數及人數百分比。由表中可看出
97 年的零分人數百分比為 25%，可明顯看出較 96 年少，但由歷年來看，它並非是零分人數百分比
最少的一年，
95 年的零分人數百分比才是最低的一年；再由表中可知今年數學乙非選擇題得滿分
的人數百分比為
9.1%，與 96 年相比增加許多，且由歷年來看，其滿分人數百分比算還滿高的，只
較
93 年與 95 年的人數百分比略少一些。
表一、
93 至 97 年數學乙非選擇題零分、滿分統計表
為了解數學乙考生可能的作答情形，我們從參與
97 年數學乙考生群中隨機抽樣了 561 名考生
的答案卷進行分析。至於各題的正確解法，可詳見選才電子報第
168 期「我的數學科非選擇題得分
了嗎？」
【第一題題目】
坐 標 平 面 上 有 兩 條 拋 物 線 ， 第 一 條 拋 物 線 的 頂 點 在
)
0
,
4
(
−
， 焦 點 在
)
4
,
4
(
−
， 第 二 條
拋 物 線 的 頂 點 在
)
4
,
4
(
， 焦 點 在
)
0
,
4
(
， 求 兩 條 拋 物 線 的 交 點 。
( 1 3 分 )
零分
滿分
年度
人數
百分比
人數
百分比
97 19,505 25% 7,214 9.1%
96 31,953 37% 2,203 3%
95 9,798 10% 9,709 10%
94 31,808 33% 773 0.8%
93 13,348 14% 9,087 9.2%
試題統計值：
項目
平均得分〈得分率〉
標準差
統計值
3.95〈30.38%〉
5.31
說明：
數學乙非選擇題中的第一題是評量兩拋物線的交點，考生對於此題的解法有下列兩種：
(1) 能 正 確 地 寫 出 兩 條 拋 物 線 方 程 式 ， 即
2
2
(
4)
16
(
4)
16(
4)
x
y
x
y
+
=
−
= −
−
， 再 解 聯 立 方 程 組 求 得 二
交 點 為
)
4
,
4
(
和
)
0
,
4
(
−
即 可 得 滿 分 。
(2) 能正確敘述「第二條拋物線的頂點
)
4
,
4
(
為第一條拋物線上的一點」之理由；同理，
「第一條拋
物線的頂點
)
0
,
4
(
−
亦為第二條拋物線上的一點」之理由，接著還需說明這兩條拋物線最多只有
兩個交點，即可得滿分。
表二、數學乙非選擇題第一題作答情形統計
內容
份數
百分比
未答
125 22.2%
有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。
32 5.7%
（法一）利用拋物線方程式求解
345 61.6%
利用拋物線方程式求解，完全正確。
124 22.1%
未能寫出兩條正確拋物線方程式
2
2
(x 4)
16
(
4)
16(
4)
y
x
y
+
=
−
= −
−
，或
2
2
2
2
(
4)
(
4)
4
(
4)
8
x
y
y
x
y
y
+
+
−
= +
−
+
= −
94 16.8%
只能正確寫出某一條拋物線方程式
83 14.8%
未寫出兩條正確拋物線方程式，但寫出二條準線
4
8
y
y
= −
=
1 0.2%
欲利用拋物線方程式求解，有求得
4
x
= ± 或
0
y
= 、4，但無
法將其配對成
(4,4) ( 4,0)
−
和
。
2 0.4%
欲利用拋物線方程式求解，但無法解出二點
(4,4) ( 4,0)
−
和
41 7.3%
（法二）利用圖形法求解
59 10.6%
利用圖形法完全正確，意即在圖形上說明第一拋物線的正焦
弦長與
(4 ,4) 的關係，與第二條拋物線的正焦弦長與 ( 4,0)
−
的關係。
0 0%
畫出圖形後，即說明兩交點為
(4 ,4) 與 ( 4,0)
−
。
8 1.4%
畫出圖形後，有提及正焦弦長為
16，但未說明正焦弦長與
兩交點間的關係。
2 0.4%
圖形的開口方向不對
11 2.0%
圖形畫錯，以致答案錯誤
38 6.8%
其他
1 0.2%
表二是從
97 年數學乙考生群中，抽樣 561 名考生的答案卷進行分析，表中可看出二成多的考
生連下筆作答都不願意就直接放棄；另有
5.7%的考生則寫一些與答案無關的內容，但可看出不知
該如何作答。抽樣中有
22.1%的考生能完全作對，且是以拋物線方程式來求交點，較少看到考生能
正確畫出兩條拋物線圖形後，可正確說明出為何交點為
(4 ,4) 與 ( 4,0)
−
。
關於法一的部分，知道要利用拋物線方程式求解的考生比例約為
61.6%，但只有 22.1%的考生
能完全作對。首先，在寫出兩拋物線方程式部份，有
16.8%的考生未能寫出兩條正確拋物線方程式，
如：寫成
2
2
(
4)
0
x
y
+
+
= 與
2
2
(
4)
(
4)
0
x
y
−
+ −
= ，因此無法得分；又有 14.8%的考生僅正確列出其
中 一 條 拋 物 線 方 程 式 ， 其 中 較 多 考 生 寫 錯 第 二 條 拋 物 線 ， 多 數 考 生 寫 成
2
(
4)
16
x
y
+
=
或
2
(
4)
16(
4)
x
y
−
=
− ，考生可能是因為粗心或觀念不清楚而寫錯。由此可知，有 31.8%的考生無法由
題幹的敘述寫出兩條正確拋物線方程式，因此建議高中教師在教授拋物線單元時，可加強此部分的
練習。但更為可惜的是，有
7.3%的考生可列出二條正確的拋物線方程式，但卻無法解出交點，及
另有
0.4%的考生好不容易求得
4
x
= ± 或
0
y
= 、4，但無法將其配對成 (4 4)
,
和
( 4 0)
,
−
，因而無法得
滿分。
關於法二部份，利用圖形法求解的考生有
10.6%，在抽樣卷中發現有 1.4%的考生可正確畫出
兩拋物線的圖形，但未說明這兩條拋物線的交點為
( 4 4)
,
和
( 4 0)
,
−
的理由，且從圖形中的數據亦無
法看出
( 4 4)
,
在第一條拋物線的理由，因而無法拿到分數。另有
0.4%的考生只提及正焦弦長為 16，
但卻未進一步說明正焦弦長與點
( 4 4)
,
之關聯性，亦無法得分。另外，在抽樣時發現考生在圖形的
描繪上有些問題，如：有
8.8%的考生無法正確繪出正確圖形，其中 2%的考生其圖形的開口方向不
對，另有
6.8%的考生則將圖形畫成只有一個交點或無交點的情形，可知考生對圖形的描繪並不是
相當理想。至於在其他作法中，有考生會直接假設第一條拋物線為
2
0
ax
by c
+
+ = ，第二條拋物線
為
2
0
dx
ey
f
+
+ = ，但經計算後亦無法求得交點。
數學乙非選擇題第一題
0
10
20
30
40
50
60
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 分數
人
數
百
分
比
圖一、數學乙第一題的考生成績分布圖
圖一為數學乙全體考生於非選擇題第一題的成績分布圖。其中以
0、4、8、11、13 分的考生居
多，可將各分數所對應的考生群區分如下：
得
0 分者：未答、不知如何下手作答。或利用兩拋物線方程式求解，卻無法寫出二條正確拋物線方
程式。或利用圖形法作答，但卻無任何說明兩拋物線的交點為
(4 ,4) 與 ( 4,0)
−
。
得
4 分者：只能正確寫出某一條拋物線方程式。
得
8 分者：可以正確寫出二條正確拋物線方程式。
得
11 分者：只解出一個交點，或求得
4
x
= ± 或
0
y
= 、4，但無法將其配對成 (4 4)
,
和
( 4 0)
,
−
。
得
13 分者：能正確推論求得答案。
由以上敘述可知此題主要鑑別的考生能力群為
0、4、8、11、13 分。其中得零分的人約 58%，
得
4 分的考生約 11%，得 8 分的考生約 4%，得 11 分的生約 4%，約有 20%的考生能完全作對。
【第二題題目】
建 築 公 司 在 房 市 熱 絡 時 推 出 甲 、 乙 兩 型 熱 門 預 售 屋 。 企 劃 部 門 的 規 劃 如 下 ： 甲 型
屋 每 棟 地 價 成 本 為
5 0 0 萬 元 ， 建 築 費 用 為 9 0 0 萬 元 ， 乙 型 屋 每 棟 地 價 成 本 為 2 0 0
萬 元，建 築 費 用 為
1 5 00 萬 元，公 司 在 資 金 部 分 限 制 地 價 總 成 本 上 限 為 3 5 0 0 萬 元，
所 有 建 築 費 用 的 上 限 為
1 億 2 0 00 萬 元 ；無 論 甲 型 或 乙 型 售 出 ， 每 棟 獲 利 皆 為 5 0 0
萬 元 ， 假 設 推 出 的 預 售 屋 皆 可 售 出 ， 請 問 推 出 甲 、 乙 兩 型 預 售 屋 各 幾 棟 ， 公 司 才
可 得 到 最 大 利 潤 。
( 1 3 分 )
試題統計值：
項目
平均得分（得分率）
標準差
統計值
6.47（49.77%）
5
說明：
數學乙非選擇題第二題主要是評量考生能否利用線性規劃原理解題。
本題的解題步驟如下：
(1) 正 確 列 出 目 標 函 數 與 不 等 式 組 ， 或 在 坐 標 平 面 上 畫 出 正 確 的 可 行 解 區 域 。
(2) 再 利 用 以 下 兩 種 方 法 求 出 答 案
(a) 頂 點 法
正 確 求 出 可 行 解 區 域 的 四 個 頂 點 ， 再 代 入 目 標 函 數 中 作 比 較 ， 得 到 正 確 答 案 。
(b) 平 行 線 法
畫 出 正 確 的 可 行 解 區 域 ， 再 描 述 目 標 函 數 的 斜 率 介 於
5
2
− 與
3
5
− 之 間 ， 或 在 坐 標
平 面 上 畫 出
500
500
x
y k
+
= 之 直 線 ， 平 移 後 得 到 正 確 答 案 。
表三、數學乙非選擇題第二題作答情形統計
內容
份數 百分比
未答
97 17.2%
有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。
21 3.7%
(1)不等式組與目標函數
未寫出不等式組
≤
+
≤
+
≥
≥
12000
1500
900
3500
200
500
0
,
0
y
x
y
x
y
x
，或寫錯不等式組，或可
行解區域標示錯誤。
43 7.7%
不等式中的大小於符號寫錯，例如：寫成
500
200 <3500
900
1500 <12000
x
y
x
y
+
+
；或
500
200 >3500
900
1500 >12000
x
y
x
y
+
+
；或
=
+
=
+
12000
1500
900
3500
200
500
y
x
y
x
，之後再解
500
200 =3500
900
1500 =12000
x
y
x
y
+
+
這二條直線，而得到
(5,5) 的答案。
63 11.2%
未寫出目標函數
( , ) 500
500
P x y
x
y
=
+
或寫錯目標函數。
67 12.0%
(2)（法一）利用頂點法求解
225 40.1%
利用頂點法求解，且完全做對。
89 15.9%
完全沒寫出可行解區域上的四個頂點：
(0 0)
, 、 (7 0)
, 、
(0 8)
, 、及 (5 5)
, 。
31 5.5%
欲寫出可行解區域的四個頂點，但寫錯頂點
(5 5)
, 這點。
23 4.1%
已解出可行解區域上的四個頂點，但沒有分別將
(0 0)
, 、
(7 0)
, 、 (0 8)
, 、 (5 5)
, 代入目標函數 ( , )
P x y 中比大小。
81 14.4%
前面完全正確，但最後答案卻寫錯。
1 0.2%
（法二）利用平行線法求解
13 2.4%
利用平行線法求解，且完全做對。
11 2.0%
在利用直線
500
500
x
y k
+
= 掃動時，因直線畫錯（即斜率
錯誤）而找到錯誤頂點。
2 0.4%
（法三）利用窮舉法求解
22 3.9%
利用窮舉法，且完全正確。
1 0.2%
無法列出可行解區域內的所有整數點
21 3.7%
其他
10 1.8%
此題為線性規劃試題，自
91 年以來線性規劃試題已是第四次出現在數學乙非選擇題上，但由
抽樣
561 名數學乙考生的答案卷進行分析可知（見表三），仍有 17.2%的考生一個字都不願作答，
直接放棄；另有
3.7%的考生則是寫一些與答案無關的內容，但可看出不知該如何作答。由此可知，
有約
20%的考生對線性規劃試題仍採放棄態度。
在步驟一列出不等式組部份，有
7.7%的考生未列出不等式組、或寫錯不等式組、或可行解區
域標示錯誤。另有
11.2%的考生則將不等式組的符號寫錯，如：寫成
500
200 <3500
900
1500 <12000
x
y
x
y
+
+
，但在
計算過程中，又直接利用
500
200
3500
900
1500
12000
x
y
x
y
+
=
+
=
求得
(5 5)
,
這答案，因此在受理考生複查時，最常
接觸到的案件為：明明我的答案
(5 5)
,
正確，但我的非選擇題為何沒得滿分，甚至一分未得呢？原
因是這類的考生一開始將情境問題轉換成數學式時，卻出現了錯誤的不等式組，又在過程中無法合
理推論與計算，因此無法得分。
在目標函數部份，有
12%的考生未寫出或寫錯了目標函數，因此無法說明甲、乙型預售屋各
幾棟時，公司可得最大利潤。
當考生能正確寫出不等式組、或將可行解區域正確畫出後，其在步驟二中可利用「平行線法」
求解。利用目標函數
(
) 500
500
p x, y
x
y
=
+
的斜率為
1
− ，當直線 500
500
x
y k
+
= 在坐標平面上平移
時，可知當甲、乙兩型預售屋各為
5 棟時，公司可得到最大利潤；亦可利用頂點法求值，即求出可
行解區域的頂點後，再分別代入目標函數內比大小，可以得出甲、乙型預售屋各為
5 棟時，公司可
得最大利潤。從抽樣卷的分析結果知（見表七）
，較少考生（約
2.4%）是以平行線法的觀念求解，
其中有
2.0%的考生能完全作對，但有 0.4%的考生因直線 500
500
x
y k
+
= 畫錯而得到錯誤的頂點，
因而失去部分分數。
大部份考生（
40.1%）是利用頂點法求解，但只有 15.9%的考生能完全作對，其中常見的錯誤
類型為：有
5.5%的考生在使用頂點法求解時，完全沒寫出可行解區域的四個頂點，因此無法求得
公司在售出幾棟時，可得最大利潤。另有
4.1%的考生在寫出可行解區域頂點時，因粗心算錯頂點
)
5
,
5
(
，而無法得到正確答案，實在可惜。但較為可惜的是有
14.4%的考生已解出可行解區域的四
個頂點，卻沒有將四個頂點代入比較，以致無法由答案卷上得知最大利潤所發生的點是如何得到的。
數學乙非選擇題第二題
0
5
10
15
20
25
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13分數
人
數
百
分
比
圖二、數學乙第二題的考生成績分布圖
圖二為數學乙全體考生非選擇題第二題成績分布圖。其中以
0、4、7、9、13 分的考生居多，
可將各分數所對應的考生群區分如下：
得
0 分者：未答、或寫一些跟答案無關的內容、亦或目標函數與不等式組皆寫錯。
得
4 分者：可寫出不等式組，但未寫出目標函數；或寫出了目標函數，但不等式組並未完全正確。
得
7 分者：利用頂點法求解時，有部分頂點寫錯。
得
9 分者：在答題過程中沒有明確說明是依據何種概念判斷出最大利潤，即未將四個頂點代入比
較，以致無法得知最大利潤所發生的點是如何得到的，因而無法得滿分。
得
13 分者：能正確推論求得答案。
由以上敘述可知此題區分了各能力的考生群，其中得零分的考生約有
28%，得 4 分的考生約
有
7%，得 7 分的考生約有 10%，得 9 分的考生約有 15%，約 25%的考生能完全作對。
今年數學乙的計算證明題並不困難，所用到的解題概念很基本，皆是課本中常見的概念，如：
第一題是屬於拋物線的基本概念與計算，考生若能清楚拋物線方程式的基本定義，應不難寫出這兩
條拋物線方程式；第二題線性規劃問題可說是數學乙非選擇題中的常客，相信對於平時常做歷屆試
題的考生而言應是駕輕就熟。但從分析中可發現，第一題中有五成多的考生無法寫出一條正確的拋
物線方程式，而在第二題中有二成多的考生在線性規劃問題中，仍無法寫出正確的不等式組、目標
函數，可知考生對於數學基本觀念的瞭解與應用須再加強，因此建議考生在鑽研困難的數學問題
前，應先確認自己對於一些基本定理或概念是否已清楚瞭解，以免應考時因觀念不清楚而無法得分。
大考中心每年均會針對數學甲、數學乙的非選擇題答案卷進行抽樣，並進行作答類型分析，此舉是
為了想了解考生在解題過程中所使用的概念與想法，進而從中發現考生可能的迷思概念與錯誤類
型，以提供給高中教師教學上的參考。此外，高中老師若對此分析結果有其教學上的其他看法，亦
歡迎與我們分享。