113 學年度 第一學期 國三數學補考題庫
範圍：第五冊
1
壹、選擇：
1. ( )若 xyz≠0，且 2x＝3y＝4z，則 x：y：z＝？
(A)6：4：3 (B)12：4：3
(C)2：3：4 (D)4：3：2
《答案》A
詳解：設 2x＝3y＝4z＝k
則 x＝
k
2
，y＝
k
3
，z＝
k
4
x：y：z＝
k
2
：
k
3
：
k
4
＝
1
2
：
1
3
：
1
4
＝6：4：3
故選(A)
2. ( )如圖，△ABC 中， DE // BC ， AD ＝8， AB ＝2x， AE ＝x， AC ＝9，則 x＝？
(A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 12
《答案》A
詳解：∵
DE
//
BC
，∴
AD
：
AB
＝
AE
：
AC
8：2x＝x：9，2x
2
＝72，x
2
＝36，x＝±6 (負不合)
故選(A)
3. ( )△ABC 中，已知 D、E 兩點分別在 AB 、 AC 上，則滿足下列哪一個條件時， DE 不一定平行 BC ？
(A) AD ＝3， DB ＝4， AE ＝6， EC ＝8
(B) AD ＝4， AB ＝9， AE ＝8， AC ＝18
(C) AB ＝10， DB ＝5， AC ＝20， EC ＝10
(D) AD ＝3， AB ＝6， DE ＝1， BC ＝2
《答案》D
4. ( )如圖，L
1
// L
2
// L
3
// L
4
// L
5
，且平行線間的距離均相等，則 DE 是 EF 的幾倍？
(A) 1 (B) 3 (C)
1
2
(D)
1
3
《答案》D
詳解：∵L
1
// L
2
// L
3
// L
4
// L
5
，且平行線間的距離均相等
∴
DE
＝
1
3 EF
故選(D)
5. ( )已知△ABC～△DEF，其中∠A 和∠D 為對應點，且∠A＝90°，∠E＝45°， AB ＝4， EF ＝8 2 ，則 DF 之長為
何？
(A) 4 2 (B) 8 (C) 8 2 (D) 16
C
B
D
E
A
L
1
L
2
L
3
L
4
L
5
A
D
F
C
B
E
2
《答案》B
詳解：∵△ABC～△DEF
∴∠D＝90°，∠E＝45°，∠F＝45°
DF
：
EF
＝1：
2
＝
DF
：8
2
，
DF
＝8
故選(B)
6. ( )某一殘障人士專用的斜坡道長 50 公尺、高 3 公尺，某日阿珍從地面沿者斜坡往上走了 20 公尺後，停下來休息，
則此時他離地面的高度為多少公尺？
(A)1.2 (B)1.4 (C)1.8 (D)2
《答案》A
詳解：
設所求高度為 x 公尺
則 20：50＝x：3
x＝1.2(公尺)
7. ( )小軒沿著一棵樹的影子 BE 走到 D 點，此時，小軒的頭、樹的頂端 A 與樹影的末端剛好在同一直線上。若測量得
小軒身高 CD ＝2 公尺，小軒到樹的距離 BD ＝8 公尺，小軒到樹影末端 E 的距離 DE ＝4 公尺，則樹高 AB 為多少公
尺？
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
《答案》D
詳解：∵△ECD～△EAB(AA 相似)
∴
DE
：
BE
＝
CD
：
AB
4：(4＋8)＝2：
AB
AB
＝6
所以樹高 6 公尺
8. ( )一旗杆高 6 公尺，中午過後不久，其影長為 4 公尺。若同一時間，旗杆上方插了一面旗子，旗子高出旗杆頂 50
公分，如圖所示，則旗子的影長為多少公尺？
(A)1 (B)
2
3
(C)
1
2
(D)
1
3
《答案》D
詳解：設旗子的影長 x 公尺
則 6：(6＋0.5)＝4：(4＋x)
x＝
1
3
所以旗子的影長為
1
3
公尺
9. ( )△ABC 中，過 A 點作直線 L
1
// BC ，過 B 點作直線 L
2
// AC ，過 C 點作直線 L
3
// AB ，如圖所示。已知△ABC 的面
積為 12，則三直線 L
1
、L
2
、L
3
所圍成的三角形面積為多少？
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48
《答案》D
詳解：所求＝4×△ABC 面積＝4×12＝48
50
20
3
x
A
B
C
D
E
6
4
A
C
B
L
1
L
2
L
3
3
10.( )△ABC 的三個內角為 30°、60°、90°，若最短邊為 6 公分，則△ABC 的面積為多少平方公分？
(A)18 (B)18 3 (C)36 (D)36 3
《答案》B
詳解：兩股為 6 公分和 6
3
公分
面積＝
6×6 3
2
＝18
3
(平方公分)
11.( )有大、小兩個半徑分別為 8 公尺和 4 公尺的圓形魚池，想用繩子分別將兩個魚池圍起來，繩長至少要有多少公
尺？
(A) 12π 公尺 (B) 24π 公尺 (C) 32π 公尺 (D) 36π 公尺
《答案》B
詳解：8×2×π＋4×2×π＝24π (公尺)，故選(B)
12.( )如圖，已知 BC ⊥ AB ， AD ⊥ AB ， AC ＝ BD ，則下列推論何者錯誤？
(A) DE ＝ CE
(B) AD ＝ BC
(C)∠ABD＝∠BAC
(D)△ABC△BAD 是根據 ASA 全等性質
《答案》D
詳解：∵∠CBA＝∠DAB＝90°，
AC
＝
BD
，
AB
＝
AB
∴△ABC
△BAD(RHS 全等性質)
BC
＝
AD
，∠BAC＝∠ABD，∠C＝∠D
△AED 和△BEC 中
∵
AD
＝
BC
，∠D＝∠C，∠DEA＝∠CEB(對頂角相等)
∴△AED
△BEC(AAS 全等性質)
DE
＝
CE
故選(D)
13.( )如圖， AD 交 BC 於 O 點，若 OA ＝ OD ， OB ＝ OC ，則下列敘述哪些是正確的：
甲：△AOB△DOC
乙：∠B＝∠C
丙： AB ＝ CD
丁： AB // CD
(A)甲
(B)乙、丙
(C)甲、丙、丁
(D)甲、乙、丙、丁
《答案》D
詳解：∵
OA
＝
OD
，
OB
＝
OC
且∠AOB＝∠COD(對頂角相等)
∴△AOB
△DOC(SAS 全等性質)
∠B＝∠C，
AB
＝
CD
∵∠B＝∠C(內錯角相等)
∴
AB
//
CD
故選(D)
E
D
C
A
B
D
O
A
C
B
4
14.( )兩個直角三角形在下列何種條件下不一定全等？
(A)兩銳角對應相等 (B)一斜邊及一股等長
(C)兩股對應相等 (D)一斜邊及一銳角對應相等
《答案》A
詳解：(A)AAA 為相似性質，不一定會全等
(B)RHS 全等性質 (C)SAS 全等性質 (D)AAS 全等性質
故選(A)
15.( )有一個數學遊戲如下圖所示：由左方入口進入，依框內指示，根據下圖兩個三角形判斷正確的路徑，則出口為
何？
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
《答案》B
詳解：∵∠A＝∠B，
AE
＝
BE
，∠AEC＝∠BED
∴△ACE
△BDE(ASA 全等性質)
故選(B)
16.( )如圖，平行四邊形 ABCD 中，兩對角線相交於 O，E 為 AD 中點， CE 交 BD 於 F，則 OF ： BD ＝？
(A)1：3 (B)1：4 (C)1：5 (D)1：6
《答案》D
詳解：∵平行四邊形的對角線會互相平分
∴
OA
＝
OC
，
OB
＝
OD
O 為
AC
的中點，
OD
＝
1
2 BD
又 E 為
AD
的中點，∴F 為△ACD 的重心
OF
＝
1
3 OD
＝
1
3
×
1
2 BD
＝
1
6 BD
OF
：
BD
＝1：6
17.( )如圖，I 點為△ABC 的內心，若 AB ＝8 公分， AC ＝6 公分，且△ABI 的面積為 6 平方公分，則△ACI 的面積為多
少平方公分？
(A)
9
2
(B)
11
3
(C)6 (D)8
《答案》A
詳解：設圓 I 的半徑為 r，如圖
則△ABI 的面積＝
1
2
×
AB
×r＝6
1
2
×8×r＝6
r＝
3
2
△ACI 面積＝
1
2
×
AC
×r＝
1
2
×6×
3
2
＝
9
2
(平方公分)
D
E
A
C
B
A
C
B
D
F
O
E
A
C
B
I
5
18.(
)I 點為△ABC 的內心，若 AB ＝6， BC ＝9， AC ＝12，則△AIB、△BIC、△AIC 的面積比為何？
(A)3：4：6 (B)6：4：3 (C)4：3：2 (D)2：3：4
《答案》D
詳解：設內切圓的半徑為 r
△AIB 的面積：△BIC 的面積：△AIC 的面積
＝(
1
2
×6×r)：(
1
2
×9×r)：(
1
2
×12×r)＝6：9：12＝2：3：4
19.( )已知 O 點為△ABC 的內心，若∠A＝90°， AB ＝9， AC ＝12，則△AOB 面積：△BOC 面積：△AOC 面積＝？
(A)1：2：3 (B)3：4：5
(C)3：5：4 (D)4：5：6
《答案》C
詳解：∵∠A＝90°
∴
BC
＝
AB
2
＋ AC
2
＝
9
2
＋12
2
＝15
設△ABC 的內切圓半徑為 r
則△AOB 的面積：△BOC 的面積：△AOC 的面積
＝(
1
2
×9×r)：(
1
2
×15×r)：(
1
2
×12×r)＝9：15：12＝3：5：4
20.( )若
為圓 O 的一弦，且
小於半徑，則圓心角∠AOB 的度數可能為多少度？
(A) 45°
(B) 60°
(C) 75°
(D) 90°
《答案》A 【習】
21.( )三角形 ABC 三邊和為 66 公分， ¯
AB ： ¯
BC ＝4：5， ¯
BC ： ¯
CA ＝2：3，則三角形 ABC 的最長邊為多少？
(A)28 公分 (B)30 公分
(C)40 公分 (D)32 公分
《答案》B
詳解：
¯
AB
：
¯
BC
：
¯
CA
＝8：10：15
最長邊為
¯
CA
，66×
15
8＋10＋15
＝30(公分)
故選(B)
22.( )若 abc≠0，3(b＋c)＝4(a＋c)＝6(a＋b)，依 bc：ca：ab 的比將 92 分成三份，則此三組值各為多少？
(A)15、5、3 (B)20、12、60
(C)60、20、12 (D)8、24、60
《答案》C
詳解：
3(b＋c)＝4(a＋c) 4a－3b＝－c……○
1
4(a＋c)＝6(a＋b) 2a＋6b＝4c……○
2
○
1
×2＋
○
2
：10a＝2c，a＝
1
5c
代入
○
1
：b＝
3
5c
則 a：b：c＝
1
5c
：
3
5c
：c＝1：3：5
bc：ca：ab＝15：5：3
bc＝92×
15
15＋5＋3
＝60
ca＝92×
5
15＋5＋3
＝20
ab＝92×
3
15＋5＋3
＝12
A
C
B
I
r
r
6
故選(C)
23.( )設 a、b
、
c 為三正整數，a：b：c＝2：3：4，且[a , b , c]＝240，則 a＋b＋c＝？
(A)160 (B)170 (C)180 (D)190
《答案》C
詳解：設 a＝2k，b＝3k，c＝4k
[a , b , c]＝[2k , 3k , 4k]＝12k
12k＝240，k＝20
則 a＝40，b＝60，c＝80
40＋60＋80＝180
故選(C)
24.( )設 x：y＝3：4、y：z＝5：6，且 x＋y＋z＝118，則 xyz＝？
(A)56700 (B)57600
(C)62600 (D)63600
《答案》B
詳解：由 x：y＝3：4，y：z＝5：6
x：y：z＝15：20：24
設 x＝15k，y＝20k，z＝24k
x＋y＋z＝15k＋20k＋24k＝118
59k＝118
k＝2
得 x＝30，y＝40，z＝48
xyz＝30×40×48＝57600
故選(B)
25.( )如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AB // EF // DG ，且 BF ： FG ： GC ＝2：1：2，2 AE ＝3 BF ，則 AD ： BC
＝？
(A)2：3 (B)4：5 (C)7：9 (D)9：10
《答案》D
詳解：設
BF
＝2a，
FG
＝a，
GC
＝2a
又
AE
：
BF
＝3：2
∴
AE
＝3a
又
BF
：
FG
＝
AE
：
ED
＝2：1
∴
ED
＝1.5a
AD
：
BC
＝(3a＋1.5a)：(2a＋a＋2a)＝9：10
26.( )聖英想在紙上畫出如附圖的
1
2
倍縮放圖，下面是她畫圖的步驟：
步驟一：用尺量出四個邊的長度
步驟二：用量角器量出四個角的角度
步驟三：將四個邊的長度分別除以 2，四個角的角度分別除以 2
步驟四：根據步驟三算出的長度和角度，畫出一個四邊形
判斷上面步驟是否完全正確？
(A)不正確，在步驟一發生錯誤
(B)不正確，在步驟二發生錯誤
(C)不正確，在步驟三發生錯誤
(D)完全正確
《答案》C
詳解：縮放圖形的對應角相等，對應邊成比例
A
B
F
G
C
D
E
7
故選(C)
27.( )下列敘述何者不正確？
(A)兩三角形相似，則對應邊成比例
(B)對應邊成比例的兩三角形必相似
(C)兩多邊形相似，則對應角相等
(D)對應角相等的兩多邊形必相似
《答案》D
詳解：(A)(B)兩三角形相似
對應邊成比例
(C)(D)兩多邊形相似
對應角相等且對應邊成比例
故選(D)
28.( )如圖，四邊形 ABDC 中， AD 和 BC 相交於 E 點，直線 AC 與直線 BD 交於 F 點，則 x＝？
(A)2 (B)3 (C)4 (D)以上皆非
《答案》A
詳解：∵
AF
：
AC
＝1：1＝
BF
：
BD
∴
AB
：
CD
＝1：2＝
AE
：
ED
1：2＝1：x
x＝2
29.( )如圖，△ABC 中，∠A＝90°， DE ⊥ BC ，若 AB ＝5， AC ＝12，則 CD ： DE ： CE ＝？
(A)5：12：13 (B)12：5：13
(C)5：12：15 (D)12：5：15
《答案》B
詳解：∵∠A＝∠EDC＝90°，∠C＝∠C
∴△ABC～△DEC(AA 相似性質)
CD
：
DE
：
CE
＝
AC
：
AB
：
BC
＝12：5：
12
2
＋5
2
＝12：5：13
30.( )如圖，朝會時教官、美倫、佩珊恰好站在同一排；已知美倫和佩珊的身高分別是 156 公分和 149 公分，且教官和
美倫的距離恰好是美倫和佩珊距離的 3 倍，試求教官的身高是多少公分？
(A)174 (B)175 (C)176 (D)177
《答案》D
詳解：設教官的身高為 x 公分
由題意得
(156－149)：(x－149)＝1：(1＋3)
x＝177
31.( )如圖，已知 AD 、 DE 長，若要測量 BC 的長度，則還需要下列哪些條件才足夠？
(A) AE 與 EC 長 (B) DE ＋ AB 與 AB 長
3
2
2
3
1
A
B
C
D
x
E
F
5
12
A
B
C
D
E
佩
珊
美
倫
教
官
B
D
A
E
C
8
(C) BD 與 AC 長 (D) DE // BC 與 BD 長
《答案》D
詳解：∵要利用
AD
：
AB
＝
DE
：
BC
∴還需要
DE
//
BC
與
BD
的長才夠
故選(D)
32.( )若一等腰三角形的頂角為 30°，一腰長為 8，則其面積為多少？
(A)6 (B)9 (C)12 (D)16
《答案》D
詳解：
如圖，
AC
上的高
BD
＝8×
1
2
＝4
故所求＝
1
2
×8×4＝16
33.( )如圖，在平面上有一圓 O，若有 A、B、C 三點其與圓心的距離分別為 a、b、c，則 a－(b＋c)＝？
(A)0 (B)c (C)－c (D)a－b
《答案》C
詳解：∵A、B 在圓上，∴a＝b＝半徑
又 C 在圓外，∴c＞半徑
則 a－(b＋c)＝－c
故選(C)
34.( )在坐標平面上，一直線通過(0 , 3)、(4 , 0)兩點，則一個以(0 , 0)為圓心，半徑為 4 的圓與此直線的關係為何？
(A)不相交 (B)相切 (C)交於兩點 (D)不能判定
《答案》C
詳解：如圖，可知此直線與圓相交於兩點
故選(C)
35.( )如圖， AB 為 OC 的中垂線，且 OC ＝4，則 AB ＝？
(A)3 2 (B)4 3 (C)3 3 (D)4 2
《答案》B
詳解：連接
OA
，如圖
OA
＝
OC
＝4，
OD
＝
1
2 OC
＝2
O
A
B
C
x
y
O
(0 , 4)
(0 , 3)
(4 , 0)
(－4 , 0)
(0 , －4)
O
D
C
A
B
9
∴
AD
＝
OA
2
－ OD
2
＝
4
2
－2
2
＝2
3
AB
＝2
AD
＝2×2
3
＝4
3
36.( )如圖，A、B、C、D、E 為圓上五點，若
︵
DE ＝30°，則∠A＋∠C＝？
(A)195° (B)185° (C)175° (D)165°
《答案》D
詳解：∠A＋∠C＝
1
2
︵
BCD
＋
1
2
︵
BAE
＝
1
2
(360°－
︵
DE
)＝165°
37.( )如圖，圓 O 為△ABC 的外接圓， DE 切圓 O 於 C 點，∠BCD＝60°，∠ACE＝60°，可利用何種全等性質證明△
AOB△BOC？
(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS
《答案》B
詳解：∵
CO
⊥
DE
∴∠OCB＝∠OCA＝90°－60°＝30°
又
AO
＝
BO
＝
CO
∴∠BOC＝∠AOC＝180°－30°－30°＝120°
∠AOB＝360°－120°－120°＝120°
在△AOB 和△BOC 中
∵
AO
＝
CO
，∠AOB＝∠BOC＝120°，
BO
＝
BO
∴由 SAS 全等性質可得△AOB
△BOC
38.( )下列敘述何者錯誤？
(A)若 a 為奇數，則(a＋1)
2
－a
2
必為奇數
(B)若 a 為偶數，則(a＋1)
2
必為奇數
(C)若 a 為偶數，則 a
2
必為 4 的倍數
(D)若 a 為奇數，則 3(a＋1)
2
必為 24 的倍數
《答案》D
詳解：(D)設 a＝2k＋1(其中 k 為整數)
3(a＋1)
2
＝3[(2k＋1)＋1]
2
＝3(2k＋2)
2
＝12(k＋1)
2
必為 12 的倍數
39.( )如圖，已知△ABC 的內切圓切三邊於 P、Q、R 三點，則下列敘述何者正確？
O
D
C
A
B
D
A
B
C
E
60°
60°
D
E
O
A
C
B
A
C
B
O
P
R
Q
10
(A)O 點為三邊的垂直平分線交點
(B) OA ＝ OB ＝ OC
(C) AP ＝ BP ， AR ＝ CR ， BR ＝ CQ
(D)∠B 與∠POQ 互補
《答案》D
詳解：∵O 為△ABC 的內切圓圓心
∴O 為△ABC 三內角的角平分線交點
OA
、
OB
、
OC
不一定相等(除非△ABC 為正三角形)
連接
OP
、
OQ
、
OR
，如圖
∵P、Q、R 為切點
∴
AP
＝
AR
，
BP
＝
BQ
，
CQ
＝
CR
，且
OP
⊥
AB
、
OQ
⊥
BC
∠B＋∠POQ＝360°－∠OPB－∠OQB
＝360°－90°－90°＝180°
∠B 與∠POQ 互補
故選(D)
40.( )直角△ABC 中，已知∠B＝90°，∠A＝30°，若 BC ＝5 公分，則△ABC 的外接圓面積為多少平方公分？
(A)25π (B)36π (C)50π (D)75π
《答案》A
詳解：△ABC 中，∠C＝180°－90°－30°＝60°
△ABC 為 30°、60°、90°的三角形
AC
＝2
BC
＝2×5＝10
又外心 O 在斜邊
AC
中點上
OA
＝
OB
＝
OC
＝
1
2 AC
＝
1
2
×10＝5
則△ABC 的外接圓面積＝π×5
2
＝25π(平方公分)
41.( )如圖，圓 I 為直角△ABC 的內切圓，若 AC ＝12， BC ＝16，則△AIB 面積與△AIC 的面積相差多少？
(A)10 (B)12 (C)14 (D)16
《答案》D
詳解：
AB
＝
AC
2
＋ BC
2
＝
12
2
＋16
2
＝20
內切圓半徑＝(12＋16－20)÷2＝4
△AIB 面積＝
1
2
×
AB
×4＝
1
2
×20×4＝40
△AIC 面積＝
1
2
×
AC
×4＝
1
2
×12×4＝24
40－24＝16
42.( )如圖，D 為△ABC 內部一點，E、F 兩點分別在 AB 、 BC 上，且四邊形 DEBF 為矩形，直線 CD 交 AB 於 G 點。若
A
C
B
O
P
R
Q
A
C
B
O
30°
I
A
C
B
11
CF ＝6， BF ＝9， AG ＝8，則△ADC 的面積為何？【會 103】
(A) 16 (B) 24 (C) 36 (D) 54
《答案》B 【會 103】
詳解：△CGB 中
∵
DF
//
BG
(四邊形 DEBF 為矩形)
∴
CD
：
DG
＝
CF
：
BF
＝6：9＝2：3
△AGC 中
△AGD 面積：△ADC 面積
＝
DG
：
CD
＝3：2(同高)
又△AGD 面積＝
1
2
×
AG
×
DE
＝
1
2
×8×9＝36
∴△ADC 面積＝36×
2
3
＝24
故選(B)
43.( )如圖，菱形 ABCD 中，E 點在 BC 上，F 點在 CD 上，G 點、H 點在 AD 上，且 AE // HC // GF 。若 AH ＝8， HG
＝5， GD ＝4，則下列選項中的線段，何者的長度最長？【會 110】
(A) CF (B) FD (C) BE (D) EC
《答案》A 【會 110】
詳解：∵四邊形 AECH 為平行四邊形
∴
EC
＝
AH
＝8
BC
＝
CD
＝
AD
＝8＋5＋4＝17
BE
＝17－8＝9
又
CF
︰
FD
＝
HG
︰
GD
＝5︰4
∴
CF
＝17×
5
5＋4
＝
85
9
FD
＝17×
4
5＋4
＝
68
9
CF
的長度最長，故選(A)
44.( )下圖為三角形紙片 ABC，其中 D 點和 E 點將 AB 分成三等分，F 點為 DE 中點。若小慕從 AB 上的一點 P，沿著與
直線 BC 平行的方向將紙片剪開後，剪下的小三角形紙片面積為△ABC 的
1
3
，則下列關於 P 點位置的敘述，何者正確？
【會 109】
A
G
E
B
C
F
D
12
(A) 與 D 點重合
(B) 與 E 點重合
(C) 在 DF 上，但不與 D 點也不與 F 點重合
(D) 在 FE 上，但不與 F 點也不與 E 點重合
《答案》D 【會 109】
詳解：設剪下的小三角形為△APQ
∵
PQ
//
BC
，∴△APQ～△ABC(AA 相似)
沿 D 點剪開，△APQ 面積＝
1
9
△ABC 面積
沿 F 點剪開，△APQ 面積＝
1
4
△ABC 面積
沿 E 點剪開△APQ 面積＝
4
9
△ABC 面積
△APQ 面積＝
1
3
△ABC 面積＝
3
9
△ABC 面積
P 點在
FE
上，但不與 F、E 兩點重合
故選(D)
45.( )如下圖，直角三角形 ABC 的內切圓分別與 AB 、 BC 相切於 D 點、E 點。根據圖中標示的長度與角度，求 AD 的
長度為何？【會 108】
(A)
3
2 (B)
5
2 (C)
4
3 (D)
5
3
《答案》D 【會 108】
詳解：設此內切圓與
AC
相切於 F 點
由切線性質知︰
AD
＝
AF
，
BD
＝
BE
，
CE
＝
CF
設
AD
長為 x
則依據下圖與畢氏定理列式︰
(x＋1)
2
＋5
2
＝(x＋4)
2
x
2
＋2x＋1＋25＝x
2
＋8x＋16
6x＝10，x＝
5
3
即
AD
＝
5
3
故選(D)
A
B
D
F
E
C
4
1
D
E
B
A
C
13
46.( )如圖，矩形 ABCD 內有一灰色扇形 EOF，其中 E、O、F 分別在 ¯
AB 、¯
BC 、 ¯
CD 上，且
︵
AB 與 ¯
AD 相切於 G 點。若 ¯
BO
＝2， ¯
CO ＝1，∠EOF＝90°，則矩形 ABCD 的周長為何？【會 109(補考)】
(A) 9 (B) 10 (C) 6＋2 3 (D) 6＋2 5
《答案》D 【會 109(補考)】
詳解：在△OBE 與△FCO 中
∵∠EOB＝∠OFC，∠B＝∠C，
OE
＝
OF
∴△OBE
△FCO(AAS 全等)
FC
＝
OB
＝2
連接
GO
∵G 為切點，∴
AD
⊥
GO
又
GO
＝
FO
＝
1
2
＋2
2
＝
5
矩形 ABCD 的周長＝2×(3＋
5
)＝6＋2
5
故選(D)
47.( )△ABC、△ACD、△ADE 的頂點都在同一圓上，其中各點位置如圖所示。若 AC ＝ AE ，且∠CAD＝∠DAE＝30°，
∠BAC＝29°，則
︵
AB 的度數為何？【會 109(補考)】
(A)56 (B) 58 (C) 60 (D) 62
《答案》D 【會 109(補考)】
詳解：∵
AC
＝
AE
，∴
︵
AC
＝
︵
AE
又
︵
AB
＋
︵
BC
＋
︵
CD
＋
︵
DE
＋
︵
AE
＝360°
︵
AB
＋29°×2＋30°×2×2＋
︵
AB
＋29°×2＝360°
2
︵
AB
＝124°
︵
AB
＝62°
故選(D)
14
48.( )如圖，G 為△ABC 的重心。若圓 G 分別與 AC 、 BC 相切，且與 AB 相交於兩點，則關於△ABC 三邊長的大小關
係，下列何者正確？【會 103】
(A) BC ＜ AC
(B) BC ＞ AC
(C) AB ＜ AC
(D) AB ＞ AC
《答案》D 【會 103】
詳解：
連
AG
、
BG
、
CG
作
GD
⊥
AB
、
GE
⊥
BC
、
GF
⊥
AC
GE
＝
GF
＝圓 G 的半徑 r
設
GD
＝a
∵G 為重心
∴△ABG 面積＝△BCG 面積＝△ACG 面積
1
2
×
AB
×a＝
1
2
×
BC
×r＝
1
2
×
AC
×r
∵a＜r，∴
AB
＞
BC
＝
AC
故選(D)
49.( )如圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ， CA 為∠BCD 的角平分線，I 點為△ABD 的內心。若∠ADC＝110°，∠ABC＝
50°，則∠IAC 的度數為何？【會 109(補考)】
(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35
《答案》C 【會 109(補考)】
詳解：∵∠BCD＝180°－∠ADC＝180°－110°＝70°
∠1＝
1
2
∠BCD＝35°
∴∠2＝∠1＝35°
又∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－50°＝130°
且 I 為△ABD 的內心
∴∠IAD＝
1
2
∠BAD＝65°
∠IAC＝65°－∠2＝65°－35°＝30°
故選(C)
50.( )如圖，G 為△ABC 的重心，直線 AG 與 BC 相交於 D 點，E 點在 CD 上且 GE ⊥ BC 。若 BE ＝5， CE ＝3， GE ＝
A
B
C
G
15
2，則 ¯
AG 的長度為多少？【會 110(補考)】
(A)
13 (B)
29 (C) 2 3 (D) 2 5
《答案》D 【會 110(補考)】
詳解：∵G 為△ABC 重心
∴D 為
BC
中點且
AG
＝2
GD
DE
＝
CD
－
CE
＝
1
2 BC
－
CE
＝
1
2
(5＋3)－3＝1
在△GDE 中
GD
＝
¯
DE
2
＋ ¯
GE
2.
＝
1
2
＋2
2.
＝
5
AG
＝2
GD
＝2
5
故選(D)