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心算應該怎麼學？評《數學速算魔法》
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授
書名：數學速算魔法（Secrets of Mental Math: the mathematician’s guide to
lightening calculations and amazing math tricks）
作者：亞瑟‧班傑明（Arthur Benjamin）、麥克‧薛莫（Michael Sehrmer）
譯者：李旭大
出版社：稻田出版有限公司，新北市
出版資料：303 頁，平裝
出版年：2011 年
ISBN: 978-986-6749-3
關鍵詞：美國科普、心算、數學魔術
一、前言
1998 年，當時的英國教育部長拜耳斯（Stephen Byers）在廣播節目現場回
答 7×8=54 時，曾經引起了軒然大波。為此，計算機在教育過程（尤其是小學
教育階段）之使用，立刻成了眾矢之的。於是，如何不甩計算機，幫助一般人從
發現數字模式如何運作中激發創造力，就成為歐美許多數學普及書寫的關懷所
在。其中，有些作者所建議的方法，就是老祖宗的「捏指一算」
。而這當然與心
算（mental calculation）息息相關！
不過，我們必須首先注意：心算能力絕對不等同於數學能力，這個說法是數
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學家社群的共識，幾乎是不證自明（self-evident）
。儘管有些數學家（譬如高斯）
的心算能力超強，非一般人所能望其向背，不過，擁有抽象思維能力才能成為數
學家，則是不爭的事實。這是因為吾人一旦離開初等數學（elementary
mathematics）的層次，幾乎所有遭遇到的數學概念都是抽象的，無法針對這些
數學物件進行心智的思維活動，當然就不具備數學能力或素養了。
因此，我對一般的心算書籍始終不假顏色，究其原因，無非就是它們對於心
算通常只知皮相，而無法深入其所以然之故。不過，現在由亞瑟‧班傑明領銜所
撰寫的這一本《數學速算魔法》，顯然就不一樣了。由於他是一位受過專業訓練
的數學家（任教於美國加州 Harvey Mudd College 數學系）
，而且擅長魔術表演，
所以，我對他如何在本書中利用快速心算，說明魔法數學的秘密，就充滿了期待。
一旦讀者掌握了這些秘密，同時也能夠連結到學校曾經學過的基本數學知識，那
麼，這些秘密就如同作者所強調的，「是可以使人終身受益無窮的法寶」
。
二、內容簡介
本書除了第一作者的〈導言：數學速算魔法的秘密〉、第二作者的〈後記：
用科學的語言 － 數學來甄別慌言〉以及本書各章問題的參考答案之外，其餘內
容共分成十章，其目錄如下：
第 1 章 速算法：簡單又非同尋常的速算法
第 2 章 多退少補：由左至右的加減法心算法則
第 3 章 分配律：乘法心算的基本原則
第 4 章 新穎的乘法運算：間接相乘法
第 5 章 除法心算
第 6 章 「估算」的技巧
第 7 章 黑板數學：神筆妙算
第 8 章 難忘的一章：數字的記憶
第 9 章 由難變易：高級乘法運算
第 10 章 其樂無窮：神奇的數學魔術
在第 1 章中，作者利用計算例子說明各章的重點。第 2 章的加減法強調「由
左到右」的心算法則，其實也是中國傳統籌算與珠算的進路。在本章中，作者在
人物素描欄介紹偉大數學家高斯，其中特別指出高斯如何掌握速算的模式
（pattern）。
在第 3 章中，作者指出：讀者「將學會如何用心算的方法計算一位數與兩位
數、三位數相乘；除此之外，你還將學會一種簡便、快速的平方心算方法。」不
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過，作者也提醒他們的讀者：
「學習本章的技巧，需要有一個小小的前提：你要
掌握 1 至 10 的乘法口訣表。事實上，要想快速地進行乘法心算，你就需要對乘
法口訣做到倒背如流。一旦掌握了乘法口訣表，你就可以開始學習本章講述的技
巧了。」此外，作者也基於變魔術之經驗，告訴我們：
「任何一個魔法背後都有
一個合理的解釋，數學訣竅也不例外。」而本章的訣竅，就是乘法對加法的分配
律。至於人物素描，則介紹美國十九世紀早期快速心算大師澤拉‧柯爾本
（1804-1939）
，他後來成為一名傳教士，經常公開表演快速心算，可惜，後來英、
美兩國公眾對他的技能逐漸喪失興趣。有關第 4 章內容則仍然與乘法有關，不
過，作者介紹了所謂的「間接相乘法」。
第 5 章主題是「除法心算」。作者特別指出此一算法與日常生活經驗的息息
相關：
「你是否數過，在一週內你遇到過多少次需要將物品平均分配的情況？無
論是計算一公斤米需要多少錢，還是計算（美金）20 元錢能買多少公升汽油，
這種技能都是很有用的。它不僅會讓你節省時間，而且還會讓你的生活更加舒適
方便，因為你不必在每次需要計算的時候，都掏出計算機來進行此類的手工運
算。」
第 6 章主題是「估算」的技巧。這一技巧所以重要，乃是譬如你只想知道一
個約數或概數，假設你為了購買一棟新房，正在蒐集關於貸方報價方面的資訊，
而在這個階段，你真正想要知道的是，每個月大概需要償還多少錢。而這當然可
以不管個位數或甚至十位數（此處以美金為例）
。在估算的過程中，前此所學過
的加、減、乘、除，與平方根等運算方法，都派上用場，同時，
「所有的運算採
用的都是自左至右的方法」。在人物素描方面，作者除了介紹曾與美國心算大師
澤拉‧柯爾本一較長短的英國速算工程師喬治‧帕克‧比德爾之外，還介紹了因
決鬥而殞落的數學天才巨星埃瓦里斯特‧伽羅瓦（E. Galois, 1811-1832）
。不過，
介紹後者的目的何在，我倒是無從索解，因為，根據他的傳記我們無法認定伽羅
瓦也是一位速算大師，儘管他確定是數學史上罕見的天才。
第 7 章的主題是快速筆算。作者強調「大多數此類的運算都是用於智力測
驗，而不是應用於實踐」
，因此，他們在本章中，將重點放在平方根的求法和多
位數乘法十字交叉的運算上。為了快速檢視答案，作者也引進基於模算術的「模
總和」查錯法，譬如所謂的「捨 11 餘數法」
。在人物素描方面本章介紹「世界上
最聰明的女人」莎昆塔拉‧戴維，這位印度女子曾在 1980 年在倫敦計算
7686369774870 與 2465099745799 的乘積，結果在 20 秒內得出正確答案：
18947668177995426773730。
第 8 章主題是記憶術的使用（譬如輔助記憶的語音系統），特別是如何應用
在心算上。在人物素描方面，本章介紹亞歷山大‧克雷格、艾特肯（Alexander
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Craig Aitken, 1895-1967）
。這位神奇的記憶大師，也是愛丁堡大學的數學系教授。
第 9 章主題是作者所謂的「高級乘法運算」
。作者指出：
「你是不是真的想要
發揮自己心算能力的極限，從而使自己成為一個了不起的數學魔術師呢？如果答
案是肯定的，本章將幫助你實現這個目標。」在人物素描方面，本章介紹十八世
紀美國一位黑奴托馬斯‧富勒，他出生於非洲，也是一位速算大師。
第 10 章主要提供「神奇的數學魔法」
，這是因為作者發現「同魔術一樣，算
術同樣能夠增添人們生活的快樂。」事實上，本章「通靈數學」
、
「魔術數字 1089」
、
「缺失數字的秘密」、
「神奇的跳蛙加法」、
「數字魔方」以及「神奇的總和預知」
各節，都與數學魔術有關。至於後半部的「立方根快速計算」與「平方根的快速
心算」，由於掌上型計算機的使用，一般數學教科書早已不加聞問。不過，基於
知識獵奇的觀點，稍加理解其中源由，其實也是一件趣事。
本書〈後記〉由第二作者麥克‧薛莫（《懷疑論者》（Skeptic）雜誌創辦人）
書寫，主旨在於提供一個「慌言甄別工具包」，建議讀者「在聽到任何斷言時，
你要向自己提問 10 個問題，這些問題有助於確定你是否可以接受這些斷言」。
三、評論
對於一般讀者的計算能力來說，本書前五章所提供的加、減、乘、除等心算
方法已經綽綽有餘，如有興趣適當練習即可。至於第 9 章的「高級乘法計算」多
少有一點表演性質，熟悉與否悉聽尊便。從提升數學能力的觀點來看，我倒是希
望讀者千萬不要錯過第 6、7 和 10 這三章。第 6 章介紹「估算」的技巧，作者以
超市購物、小費以及稅率估算為例，說明這些技巧如何與我們的日常生活息息相
關。其中，作者所介紹的平方根之估算方法，與古巴比倫人的方法完全一致，這
是數學史還有現代認知價值的絕佳例證，值得我們深思。第 7 章主題是「神筆妙
算」
，介紹快速筆算方法，作者也承認這類題目都用於智力訓練，而不是基於實
作需求。從數學學習觀點，本章最有趣的單元，是所謂的「模總和查錯法」，這
是了解模算術（modular arithmetic）概念的重要性之契機，也是初等數論的絕
佳題材，值得中學數學教師參考借鏡。基於同樣的考慮，我也期待讀者願意深入
研讀第 10 章，它的主題雖然是「魔術數學的藝術」
，但是，作者卻充分利用本章
的例子，說明「要想知道算術魔術的秘密，就需要知道代數學」。事實上，作者
自述學習代數的理由，
「卻是想要知道一些數學魔術的秘密」
，這個現身說法，也
印證了數學魔術師林壽福、吳如皓與莊惟棟等人的數學教學關懷。因此，要是老
師想要結合心算技巧，跟學生分享一點數學經驗，那麼，本書第 10 章就是最佳
切入點。
本書〈後記〉出自第二作者麥克‧薛莫，由於他是《懷疑論者》（Skeptic）
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雜誌創辦人，因此，他非常關心如何確定吾人所聽到或看到的斷言（assertion）
如何可以接受。他所提供的「慌言甄別工具包」跟本書內容並不直接相干。所以
將這些關懷一起收入本書，應該是訴求讀者的明辨是非之能力或素養，而這一能
力當然與數學素養息息相關。
最後，我還要趁此機會澄清一個迷思：許多人認為快速心算的人都是天才。
其實，被認為天才的本書作者亞瑟‧班傑明也不這麼認為。他自認「也許我天生
好奇，幹什麼事情都喜歡打破沙鍋問到底，想知道某件事到底是一個數學問題
呢，還是一個魔術遊戲。」同時，根據他多年的教學經驗，他相信數學是一門每
一個人都能掌握的素養或能力，同時，正如同學習其它技能一樣，只要利用正確
方法努力練習，就可以獲得起碼的成就感。我們相信：對於數學學習缺乏成就感
甚至感到厭惡的學生，練習心算一定可以提升他們的學習自信心，但是，數學素
養或能力畢竟是關乎計算背後的原理，身為家長或教師的我們，可千萬別忽略本
書作者所分享的一些數學經驗才好。
附記：本文增補自我為本書中譯版之推薦序〈心算應該怎麼學？〉