物理講義：測量與不確定度計算流程解析

學習脈絡

測量與不確定度

第

                    章

1

步驟

說明

步驟

1

求出

x 與 s

分別算出

x 與 s，可暫時不需擔心保留位數，

將計算結果寫下即可。

步驟

2

求出不確定度

uX

將

uX  s

  n

 的計算結果，以無條件進位法，

至多保留

2 位有效數字，即為不確定度。

步驟

3

求出最佳估計值

X

將

x 的計算結果，以四捨五入進位法，保留到

與不確定度的末位一致，即為最佳估計值

X。

步驟

4

寫出測量結果

測量結果 

X±uX

平均值

標準差

s     1

n1

 

∑x

i



x

2

i1

n

x  x

1



x

2

…

x

n

n

基本統計

A 類評估

不確定度

uX  s

  n

 

加減後

同時存在

A 類與 B 類

計算流程

不確定度

 

u   u

A

2



u

B

2

*

 

不確定度

uZ   uX

2



uY

2

 

測量結果：

( 

相加 

XY±uZ

相減 

XY±uZ

2

長度

L

時間

T

質量

M

表示為

L

a

 M 

b

 T 

c

的冪次組合

方程式中之每一
項必定具有相同
的因次

步驟

說明

步驟

1

求出不確定度

依據規格說明、過往數據分析、數
據隨附資料等等估算，至多保留

2

位有效數字，即為不確定度

uX。

步驟

2

求出最佳估計值

將測量值以四捨五入進位法，保留
到與不確定度的末位一致，即為最
佳估計值

X。

步驟

3

寫出測量結果

測量結果 

X±uX

*

 

不確定度

uZ|XY|     uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

 

測量結果 

XY±uZ

*

 

不確定度

uZ

|

X

Y

|

     uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

 

測量結果  X

Y

±

uZ

不確定度的組合

測量與

不確定度

物理量的因次

導出量的因次

力學基本量與因次

因次分析法

不確定度

uX 

最小刻度

2   3

 

B 類評估

不確定度的評估

相除後

相乘後

計算流程

1

 測量與不確定度

3

1-1

   簡介不確定度

一、誤差與不確定度

1 誤差（舊觀念）
  1  當我們想針對特定現象進行定量分析時，就必須進行一系列的測量，測量值與真值（或

標準值、準確值）間的偏差，稱為

誤差



error，如圖 a 所示。誤差的定義為

誤差  測量值  真值

  2  上列誤差的定義看似合理，但量測結果的

「真值」，實際上無法準確獲得，「誤差」

自然無法估算。

以量身高為例，將測量值減真值就是誤差。但身高也是測量才得知的，

因此我們並無法真確得知身高的真值是多少（最常用的方法是用測量的平均值來當真

值）。換言之，我們是利用一個不確定的值來定義誤差，誤差自然也就無法有效估算

了！

2 不確定度（新觀念）
  1  原 先 國 際 上 對 於 誤 差 分 析 並 無 共 識， 一 直 到 了 1993 年， 才 由 國 際 標 準 化 組 織



International Organization for Standardization，ISO 聯合其他國際組織，以

不確定度



uncertainty 的觀念取代誤差，並建立量測不確定度的評估與表示規則 Guide to the 

Expression of Uncertainty in Measurement, ISO-GUM。ISO-GUM 最後的版本於

2008 年

修訂，為現今分析量測結果的國際標準。

  2  所謂不確定度，是因為測量的真值難以確定，因此測量結果應該是一個估計區間才是

合理的，如圖 b 所示（其計算的方法，後續會有詳細的討論）。測量結果可表示為

測量結果  最佳估計值

X ± 不確定度 uX

  3  量測不確定度是以科學的程序估算被量測值的

離散程度

，其大小決定了量測結果的使

用價值。

不確定度愈小，量測結果的品質愈好，使用價值也愈大。

▲

 圖 a　誤差的概念

▲

 圖 b　不確定度的概念

4

3 不確定度的種類

不確定度分為

A、B 兩類： 

A 類評估

B 類評估

依據多次測量數據進行統計分
析而來。增加測量次數，可降
低

A 類不確定度。

依其他資訊來源（權威機構發
布的量值、材料或儀器特性、
製造商提供的規格、校正證
書……等等）研判而來。

不確定度評估

4 誤差和不確定度的比較

測量物理量

x

誤差

不確定度

意涵

測量值與真值的差

測量值的分散程度

數值

正負值皆有可能

恆為正值

符號

無規定

以

uX 表示

分類

系統誤差、隨機誤差

A 類評估和 B 類評估

二、平均值與標準差

1 平均值

假定某一物理量

x 的多次測量值為 x

1

、

x

2

、…、

x

n

，則該物理量

x 的平均值為

x  x

1



x

2

…

x

n

n

2 標準差
  1  高一數學曾學過，如果可以得到母體資料 x

1

、

x

2

、…、

x

n

，其標準差定義為

  σ   x

1



x

2



x

2



x

2

…

x

n



x

2

n



    1n

 

∑x

i



x

2

   

式中標準差

σ（讀作 sigma）稱為

母體標準差

。標準差用以表示測量值之間的

離散程度

，

標準差愈小表示離散程度愈小；標準差愈大表示離散程度愈大。

  2  研究上為了節省時間與經費，在實驗室的狀況通常只是取得代表性樣本 x

1

、

x

2

、…、

x

n

，而不是母體資料。經由統計上的計算，上式需修正為

  s 



   x

1



x

2



x

2



x

2

…

x

n



x

2

n1



    1

n1

 

∑x

i



x

2

  上式的 s 稱為

樣本標準差

。當樣本個數

n 愈大時，s 與 σ 會愈趨近於相等。

i1

n

i1

n

1

 測量與不確定度

5

3 實例說明

情境

某小型學校全班

7 位同學的物理成績 

物理老師為研究龍騰高中的物理學習狀況，

隨機抽測

7 位學生所得的物理成績

分數

x

i

平均值

x 

差值平方



x

i



x

2

母體標準差

σ

（取小數點後

2 位）

分數

x

i

平均值

x 

差值平方



x

i



x

2

樣本標準差

s

（取小數點後

2 位）

#1

45

 60

225

  σ     17

 

∑x

i



x

2

    10.00

45

60

225

 s     1

71

 

∑x

i



x

2

   10.80

#2

50

100

50

100

#3  55

25

55

25

#4  60

0

60

0

#5  65

25

65

25

#6  70

100

70

100

#7  75

225

75

225

以電腦軟體或手機

APP輔助運算標準差

計算平均值和標準差乃至後續要討論的不確定度，都是極為繁瑣的事，

本章的學習重點在於學會處

理實驗數據的正確方法

，至於繁瑣的計算，可以交給電腦、手機或計算機處理喔！下面我們將以最

通行的試算表軟體

Excel，利用上述兩個例子來說明計算平均值、母體標準差和樣本標準差的方法。

目前，該試算表的手機

APP 是免費的喔！

  

※

 AVERAGE 是 Excel 中用來算平均值的函數，其語法為：AVERAGE（範圍）。

※

 STDEV.P 是 Excel 中用來算母體標準差的函數，其語法為：STDEV.P（範圍）。

※

 STDEV 是 Excel 中用來算樣本標準差的函數，其語法為：STDEV（範圍）。

課外補充資料

i1

7

i1

7

6

三、不確定度的

A類評估

1 測量的不確定度

  1  根據 ISO-GUM，測量的不確定度 uX 之定義為 uX  s

  n

。

  2  由上式可知：不確定度 uX 主要與測量方法及測量

次數有關，如右圖所示。

  3  依據 ISO-GUM 的規定，不確定度

至多保留兩位有效

數字，採用無條件進位法

計算，但若下一位數值為

0

則捨去，例如

0.1417... 取為 0.15，但若是 0.1407... 則

取為

0.14。

2 測量的最佳估計值
  1  每一個待測物理量的真值通常是無法知道的，但測量的次數 n 夠大時，平均值 x 即趨

近於真值了。

  2  將實驗所得的平均值 x 依據 ISO-GUM 使用四捨五入進位法，保留到與不確定度的末位

一致，即為

最佳估計值

，記為

X。

3 測量結果的表示法

測量結果  最佳估計值 ± 不確定度 

X±uX

※

 註1：有效數字

有效數字是用來標示測量時有意義的位數。簡單的判定法則如下：

1 

非零的數字都是有效數字，如

16.72 共有 4 位有效數字。

2 

非零數字間的零是有效數字，如

2009.1704 共有 8 位有效數字。

3 

前綴零不是有效數字，如

0.0049 僅有 2 位有效數字。

4 

小數點後綴零是有效數字，如

173.400 共有 6 位有效數字。

在此「前綴零」指的是最左位數的非零數字前方出現的零，而「後綴零」指的是最右位數的非零數
字後方出現的零。要特別注意，不需小數點的數，其後綴零是否為有效數字，需要額外標記或藉由
其不確定度方能判定。建議採用科學記號，即可避免不必要的困擾，如

7000 無法直接判別其有效

數字，但

7.0010

3

可直接看出其有效數字為

3 位。

將

x 四捨五入保留到與

不確定度的末位一致

標準差

  測量次數

，以無條件進位法，

至多保留兩位有效數字

1

 測量與不確定度

7

4 不確定度

A類評估的計算流程與實例

小龍測量小幅度擺動單擺的週期

4 次，所得 4 個數據為：

x

1



2.10 s、x

2



2.08 s、x

3



2.09 s、x

4



2.04 s

則計算不確定度的流程與方法如下：

步驟

說明

實作

步驟

1

求出

x 與 s

分別算出

x 與 s，可

暫 時 不 需 擔 心 保 留
位 數， 將 計 算 結 果
寫下即可。

1

 x 2.102.082.092.04

4

 2.0775s

2

 s    2.102.0775

2



2.082.0775

2



2.092.0775

2



2.042.0775

2

41



0.0262995…s

步驟

2

求出不確定度

uX

將

uX  s

  n

 的 計

算 結 果， 以 無 條 件
進位法，至多保留

2

位 有 效 數 字， 即 為
不確定度。

uX  s

  n

  0.0262995…

4

 0.0131…s，

以無條件進位法保留

2 位有效數字，得 uX0.014s

步驟

3

求出最佳估計值

X

將

x 的 計 算 結 果，

以四捨五入進位法，
保 留 到 與 不 確 定 度
的 末 位 一 致， 即 為
最佳估計值

X。

X2.078s

步驟

4

寫出測量結果

　　測量結果
　　

X±uX

單擺週期 

2.078±0.014 s

8

不確定度的

A類評估

範例

1

物理老師為了讓同學了解測量方法會影響測

量的品質及不確定度，先請甲生以右圖所示

的甲方法幫小英量身高（木尺加上輔助器材，

木尺的最小刻度為

cm）。待甲生量測完畢，

老師將輔助器材拆除，再請乙生以右圖所示

的乙方法幫小英量身高（僅用木尺）。兩人

所得的數據如下表所示，若僅考慮不確定度

的

A 類評估，則：

第

1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次

甲方法



cm

166.2

165.6

165.5

166.4

166.8

165.2

165.4

165.6

165.8

乙方法



cm

163.2

169.6

168.5

169.4

168.8

164.2

161.4

162.6

164.8

1

請依據表格資料，完成不確定度、最佳估計值的計算，並將測量結果填寫到表格欄位

中。

平均值

  標準差 s

A 類不確定度 uX

最佳估計值

X

測量結果

甲方法 

cm

165.833

0.5244

乙方法 

cm

165.833

3.2326

2

你認為哪一種方法的品質比較好呢？請說明你的理由並分析其原因。

解

1

 測量與不確定度

9

馬解

馬上練習

1

下圖所示直尺的最小刻度為

mm，甲生和乙生測量同一支鉛筆的長度各

4 次，數據如下

（單位為

mm），若僅考慮不確定度的 A 類評估：

甲生 

mm

乙生 

mm

第

1 次

52.3

51.4

第

2 次

54.6

57.6

第

3 次

55.8

55.6

第

4 次

55.2

57.5

平均值

x

54.475

55.525

標準差

s

1.5305

2.8999

A 類不確定度 u（X）

最佳估計值

X

測量結果

1

請依據表格資料，完成不確定度、最佳估計值的計算，並將測量結果填寫到表格欄位

中。

2

你認為甲生或乙生的量測品質哪一個比較好呢？請說明你的理由。

10

四、不確定度的

B類評估

1 

B類評估簡介

  1  除了對多次測量統計分析外，藉由其他資訊來評估不確定度者，稱為 B 類評估。在高

中的課程範圍內，大致可分為兩種類型：

  1  直接引用權威機構發布的量值、製造商提供的規格、校正證書…等等所提供的不確

定度

uX。

  2  在測量值均勻分布的前提下，使用儀器測量直接獲得數據者，其 B 類不確定度與量

測儀器的最小刻度有關，定義為：

   

B 類不確定度 uX

 

最小刻度

2   3

。

  2  上式的最小刻度，其意義為儀器的

最小讀數

，不同的儀器可能會以精密度、精準度、

精確度、精度、解析度、…等名詞來表現，但其意義都與最小刻度類似。

2 不確定度

B類評估的計算流程與實例

小明以右圖所示的電子天平測量某物體質量，說明書上載明精確度

為

0.01 g，其顯示的量測值為 65.20 g。

步驟

說明

實作

步驟

1

求出不確定度

1

  直接引用儀器說明書或其他資料所提

供的不確定度。

2

  由最小刻度來估算不確定度 uX，至

多保留

2 位有效數字。

uX 

最小刻度

2   3

   0.01

2   3

 

　　

       0.0028867….0.0029 g

（以無條件進位法保留

2 位有效數字）

步驟

2

求出最佳估計值

將測量值以四捨五入進位法，保留到與不
確定度的末位一致，即為最佳估計值

X。

最佳估計值

X65.2000g

（此處最佳估計值需補二位零，才會與不確定

 

度的末位一致。）

步驟

3

寫出測量結果

測量結果 

X±uX

測量值 

65.2000±0.0029 g

1

 測量與不確定度

11

不確定度的

B類評估

範例

2

圖 a 所示捲尺是家中常備測量長度的小工具，隨著科技的進步，現在我們可以用圖 b
所示的雷射測距儀來取代捲尺。小英買了一個雷射測距儀，說明書上揭露的資訊如圖所

示。小英利用它來測量樓層高度，雷射測距儀顯示的高度數值為

2.600 m，小英該如何紀

錄此測量結果呢？

▲

 圖 a　捲尺

▲

 圖 b　雷射測距儀

解

馬解

馬上練習

2

小柯想測試市售的

9 V 電池的電壓是否真的是 9 伏特，於

是拿出如圖所示的三用電表測試。該三用電表的說明書上

揭露的資訊顯示，測量小於

50 V 的直流電壓時，最小刻度

為

0.001 V。他將檔位切換到直流電壓檔，液晶螢幕顯示為

9.752 VDC（直流電壓 9.752 V），則他應將此測量結果記
為

 　

　。

12

   段考

基礎

練習題

  主題練習  

概念

不確定度的

A 類評估

1 

 物理老師提供同一個測量儀器，請 196 位學生測量白板筆的直徑，此 196 個數據的資料如下
表所示（單位為

mm）。老師已經用 Excel 算出平均值為

15.9097 mm，標準差為 0.3723 mm。

15.02  15.06  15.10  15.10  15.10  15.14  15.18  15.20  15.22  15.26  15.26  15.26  15.26  15.26  15.26 
15.30  15.30  15.34  15.34  15.38  15.42  15.46  15.50  15.54  15.58  15.58  15.58  15.62  15.62  15.62 
15.62  15.66  15.66  15.66  15.66  15.66  15.66  15.66  15.70  15.70  15.70  15.70  15.70  15.70  15.74 
15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.74  15.78  15.78  15.78 
15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.78  15.82  15.82  15.82  15.82 
15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.82  15.86 
15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.86  15.90 
15.90  15.90  15.90  15.90  15.90  15.90  15.90  15.90  15.94  15.94  15.94  15.94  15.94  15.94  15.94 
15.94  15.94  15.94  15.94  15.94  15.94  15.94  15.98  15.98  15.98  15.98  15.98  15.98  16.02  16.02 
16.02  16.02  16.06  16.06  16.06  16.06  16.10  16.10  16.10  16.10  16.10  16.10  16.10  16.10  16.14 
16.14  16.14  16.14  16.14  16.18  16.18  16.18  16.22  16.26  16.26  16.30  16.30  16.30  16.30  16.30 
16.34  16.34  16.34  16.38  16.38  16.38  16.38  16.38  16.38  16.42  16.42  16.42  16.42  16.42  16.46 
16.46  16.46  16.50  16.50  16.54  16.54  16.54  16.58  16.62  16.66  16.70  16.74  16.78  16.82  16.86 
16.90 

  若僅考慮不確定度的 A 類評估，根據這些資料，試回答下列問題：
  1  測量的 A 類不確定度為 

 mm。

  2  測量的最佳估計值為 

 mm。

  3  此次測量結果，白板筆的直徑應表示為 

。

概念

不確定度的

B 類評估

2 

 維妮感覺身體不舒服，因此拿出耳溫槍量測體溫，結果顯示的溫度是
36.8cC。她查了說明書，得知此溫度計的最小刻度為 0.1cC，則她的體溫
應記為

 　　　　　　　　　　。

1

 測量與不確定度

13

1-2

   不確定度的組合

一、同時存在

A類與B類的不確定度

1 若測量時同時存在

A 類與 B 類的不確定度，根據 ISO-GUM 評估準則，其組合不確定度

可表示為

u   u

A

2



u

B

2

 

2 此式推導雖然遠超出高中程度，但就跟在直角坐標系中計算距離的公式類似，有異曲同工

之妙。

組合不確定度

範例

1

如圖所示，徐同學利用最小刻度為

1cm 的直尺，測量他的手機長度。他測量 4 次，所得

數據如表所示：

第

1 次 cm

第

2 次 cm

第

3 次 cm

14.8

14.5

14.1

第

4 次 cm

平均值

xcm

標準差

scm

14.9

14.575

0.3594

1

此次測量的

A 類不確定度為 

 cm。

2

此次測量的

B 類不確定度為 

 cm。

3

此次測量結果的組合不確定度為

 

 cm，測量值應表示為 

 cm。

解

馬解

14

馬上練習

1

承範例

1，徐同學也想知道手機的重量，利用最小刻度為1gw 的彈簧秤，測量手機的重量。

他測量

4 次，所得數據如表所示：

第

1 次 gw

第

2 次 gw

第

3 次 gw

第

4 次 gw 平均值 xgw 標準差 sgw

187.3

187.9

187.5

187.8

187.625

0.2754

1

 此次測量的 A 類不確定度為 

 gw。

2

 此次測量的 B 類不確定度為 

 gw。

3

 此次測量結果的組合不確定度為 

 gw，測量值應表示為

 gw。

二、物理量加減後的不確定度

1 物理量相加後的不確定度

若獨立測量物理量

x、y 後，加總所得的物理量為 zxy，根據 ISO-GUM 評估準則：

  1  不確定度 uZ   uX

2



uY

2

 。

  2  最佳估計值 ZXY，其有效位數的取法，則需依照組合後的不確定度 uZ 來計算。
  3  測量結果 XY±   uX

2



uY

2

 。

2 物理量相減後的不確定度

若獨立測量物理量

x、y 後，加總所得的物理量為 zxy，根據 ISO-GUM 評估準則：

  1  不確定度 uZ   uX

2



uY

2

 。

  2  最佳估計值 ZXY，其有效位數的取法，則需依照組合後的不確定度 uZ 來計算。
  3  測量結果 XY±   uX

2



uY

2

 。

1

 測量與不確定度

15

相加後的不確定度

範例

2

小張利用家裡的電子秤，想要測量媽媽剛買回家

的一顆紅蘋果和兩顆青蘋果之總質量。他分別對

紅蘋果與青蘋果的質量，進行獨立的測量（兩次

的測量沒有相關性），測得紅蘋果的質量為

180 g，而兩顆青蘋果的質量則為 418 g，如

圖所示（經多次測量所得數據皆相同）。已知該電子秤的最小刻度是

1 g，則：

1

此次測量蘋果總質量的不確定度為

 

 g。

2

此次測量蘋果總質量的最佳估計值為

 

 g。

3

此次測量結果，蘋果的總質量應表示為

 

。

解

馬解

馬上練習

2

承範例

2，接著小張將三顆蘋果一起測量，經多次測量電子秤顯示的讀

數皆為

598 g，如圖所示。則：

1

 測量的不確定度為 

 g。

2

 測量的最佳估計值為 

 g。

3

 此次測量結果，蘋果的總質量應表示為 

。

4

  你認為「將三顆蘋果分二次測量」和「將三顆蘋果一起測量」，何種方式的測量品質

比較好？試簡述其理由。

180 g

418g

+

= ?

16

三、物理量相乘除後的不確定度

1 相對不確定度
  1  兩個物理量相乘除後的不確定度，引入「相對不確定度」來處理。當物理量 z  xy 或

   

z 

 xy  時，z 的相對不確定度定義為 

uZ

| Z |



    uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

，式中使用絕對值

| Z |

  可讓相對不確定度恆為正。
  2  將上式交叉相乘，可得物理量相乘除後的組合不確定度 uZ| Z |     uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

2 物理量相乘後的不確定度

  1  當物理量 z  xy 時，z 的相對不確定度為  uZ

| XY |



    uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

  & 物理量相乘後的組合不確定度 uZ| XY |    uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2



   Y 

2

uX

2



X 

2

uY

2

 。

  2  最佳估計值 ZXY，其有效位數通常以四捨五入原則，與不確定度的末位對齊。
  3  測量結果 XY±uZ。
  

【註：相乘或相除後的不確定度計算極為繁複，高中生學習的重點在於了解其精神即可，

建議計算時可透過電腦或計算機】

小騰想要測量物理筆記本的面積

A，其寬度 x、長度 y，如圖所示。

小騰所得長度與寬度測量結果如下表所示。

物理量

最佳估計值

組合不確定度

測量結果表示

寬度

X20.00 cm

uX0.10 cm



20.00±0.10 cm

長度

Y10.00 cm

uY0.20 cm



10.00±0.20 cm

1

  

*

 

XY20.0010.00200.00
uX

X   

0.10

20  0.005

uY

Y   

0.20

10  0.02

  & 不確定度 uA200.00   0.005

2



0.02

2

 4.1231…cm

2



  ※ 或直接利用 uA   Y 

2

uX

2



X 

2

uY

2

    10.00

2



0.10

2



20.00

2



0.20

2

 

  4.1231…cm

2

，以無條件進位法，僅保留

2 位有效數字，故 uA4.2 cm

2

。

2

  最佳估計值 AXY200.00 cm

2

，以四捨五入原則，與不確定度的末位對齊，故取

A200.0 cm

2

。

3

  測量結果應表示為 200.0±4.2 cm

2

。

實例說明

1

 測量與不確定度

17

3 物理量相除後的不確定度

  1  當物理量 z x

y

 時，z 的相對不確定度為  uZ

|

X

Y

|

     uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

。

   

&

物理量相除後的組合不確定度

uZ

|

X

Y

|

     uX

2

X 

2

 uY

2

Y 

2

     uX

2

Y 

2

X 

2

uY

2

Y 

4

。

  2  最佳估計值 Z X

Y

，其有效位數通常以四捨五入原則，與不確定度的末位對齊。

  3  測量結果  X

Y

±

uZ。

在實驗室中，我們只要將平面傾斜一個特定角度，便可

讓滑車在此平面作等速運動，如圖所示。小龍已調整正

確角度，讓滑車作等速運動。他想測量此時滑車的速度，

分別測量了位移量值

x 及時間 t，測量結果如下表所示。

物理量

最佳估計值

組合不確定度

測量結果表示

位移量值

X100.0 cm

uX2.0 cm



100.0±2.0 cm

時間

T10.00 s

uT0.10 s



10.00±0.10 s

1

  

*

 

X

T   

100.0

10.00 10.0

uX

X   

2.0

100.0 0.020

uT

T   

0.10

10.00 0.01

  & 不確定度 uV10.0   0.020

2



0.01

2

 0.2236…cm/s

  ※ 或直接利用 uV   uX

2

T 

2

X 

2

uT

2

T 

4

     2.0

2



10.00

2

100.0

2



0.10

2



10.00

4

 0.2236…cm/s，

  以無條件進位法，僅保留 2 位有效數字，故 uV0.23 cm/s。

2

  最佳估計值 V  XT  10.0 cm/s，與不確定度的末位對齊，故補上一位零，

  取 V10.00 cm/s。
3

  測量結果應表示為 10.00±0.23 cm/s。

實例說明

18

   段考

基礎

練習題

  主題練習  

概念

物理量加減後的不確定度

1 

 小徐買了一臺鍵盤可和主機分離的變形筆電，以最小刻度為

0.1 g 的電

子秤測其質量。單獨秤主機時，電子秤顯示的讀數為

790.0 g；單獨秤鍵

盤時，電子秤顯示的讀數為

310.0 g；（經多次測量所得數據皆相同）則：

  1  此次測量筆電質量總和的不確定度為 

 g。

  2  此次測量筆電質量總和的最佳估計值為 

 g。

  3  此次測量結果，筆電的總質量應表示為 

。

概念

物理量相乘除後的不確定度

2 

 常用的 B5 紙張，其規格如圖所示。小騰想要測量 B5 紙張的面積，其對長度 y
與寬度

x 的測量結果如下表所示。則：

物理量

最佳估計值

組合不確定度

測量結果表示

寬度

X18.25 cm

uX0.10 cm



18.25±0.10 cm

長度

Y25.50 cm

uY0.20 cm



25.50±0.20 cm

  1  此次面積測量的不確定度為 

 cm

2

。2

 此次面積測量的最佳估計值為 

 cm

2

。

  3  測量結果應表示為 

。

＊為多選題

   分科測驗

進攻

題

解題影音

  進階大考試題  

 

   1  在研究浮體時，同學推測圓柱浮體能否穩定維持直立，與密度有關。故決定先測量圓

柱體的體積，而以同一根米尺對圓柱體的直徑與高度各測量

4 次，結果記錄於下表，

最右

3 欄為計算機運算程式所給 4 次測量值的平均值、標準差平方與  1

12

。

第

1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 平均值 標準差平方

1

12

直徑 

mm

121.2

121.5

121.0

121.9

121.400

0.1533333

0.083333

高度 

mm

100.0

100.8

100.4

101.2

100.600

0.2666667

0.083333

若以下各測量值括弧內 ± 號後的數字代表組合不確定度，則下列敘述何者正確？

A 直徑的測量值為

 121.4±0.2 mm　B 直徑的測量值為 121.4±0.5 mm　C 高度

的測量值為

 100.60±0.39 mm　D 高度的測量值為 100.60±0.26 mm　E 圓柱體

體積的組合不確定度等於高度與直徑兩者之組合不確定度的和。

 

〈

111分科，答對率24%〉

1

 測量與不確定度

19

1-3

   物理量的因次

一、因次

1 

 通常描述一個物理量需包含量值和單位兩部分，量值的多寡和所使用的單位有關。例如物
理老師身高

172 公分，也可以表達為 1.72 公尺，像這種描述相同物理量但使用不同單位，

我們稱它們都具有相同的

因次

。

2 

 不管使用公分、公尺、公里甚至光年當單位，它們所代表的物理量都是長度，因此我們說
它們有相同的

長度因次

。同理，所有的質量單位，例如公斤、公克、毫克等也具有相同的

質量因次

；而所有的時間單位，例如秒、月、季等，也具有相同的

時間因次

。

3 

 所有的物理量都有因次嗎？當然不是，如圖所示，角度的定義為其所張
的弧長除以半徑長 

θ Sr  ，而弧長及半徑長均為長度，故兩者相除後

無因次。又如物質比重的定義為：物質和水同體積時，該物質和水兩者

質量（或重量）的比值，亦為沒有因次的物理量。

二、物理量的因次表示法

1 力學的三個基本量
  1  物理量可分為

基本量

和

導出量

兩種。

  2  在力學中以

長度

、

時間

、

質量

來作為基本量，其因次分別表示為

L

、

T

、

M

，稱為基本

因次。力學中其他的物理量都可以由這三個基本量導出，其因次皆可表示為

L

a

 M 

b

 T 

c

的冪次組合。

2 導出量的因次
  1  物理量的因次以 [　] 來表記，例如位移的因次為 [

Δx]L。

  2  物理學導出量的因次都可以用基本量的因次表示，因次與 SI 單位互相對應，例如：

  1 速度 v 的定義為單位時間內之位移  Δx

Δt   

&

 SI 單位為 m/s & [v] 　　　 　。

  2 加速度 a 的定義為單位時間內之速度變化量  Δv

Δt   

&

 SI 單位為 m/s

2

 

   & [a] 　　　 　。

20

導出量的因次

範例

1

1

力的因次

[F ]= 　　　　　。

2

力矩的因次

[τ]= 　　　　  　。

解

馬上練習

1

1

功的因次

[W ]= 　　　　  　。

2

動能的因次

[K ]= 　　　　  　。

3

重力位能的因次

[U ]= 　　　　  　。

三、因次分析法

1 

 因次可用來檢驗物理方程式是否合理，正確的方程式中之每一項必定具有相同的因次。例
如下表所示的等加速度運動末速公式。

公式

v



v

0



at

單位

m/s

m/s



m/s

2

．

sm/s

因次

LT



1

LT



1

LT



1

2 

 因此，我們常常可以利用因次分析來判斷計算的結果是否正確？也可以利用因次分析來推
求數個物理量之間的關係。

因次分析法

範例

2

欲了解聲波如何在金屬中傳播，可利用簡化的一維模型：將金屬原子視為質量

m 的小球，

以間距

d 排列成一直線，且相鄰兩個小球間以彈性常數 k 的彈簧連結，藉以模擬原子間

的作用力。在此簡化模型的假設下，應用因次分析來判定，下列何者可能為金屬中的聲

速？　

A

 d     km　B d   mk　C    

dm

k

　D

  dk

m

　E

 mk

d

。

 

〈

105指考，答對率58%〉

答

 　　　

※ 如果題目不是選擇題，該怎麼辦呢？參考馬上練習

2 ！

解

馬解

1

 測量與不確定度

21

馬解

馬上練習

2

如圖所示的單擺，已知作小角度擺動時，其週期與擺角

θ 無關，故可合

理推論單擺週期

T 可能與擺長 ,、擺錘質量 m 及重力加速度 g 有關，設

Tk,

a

m

b

g

c

（

k 為一無因次的比例常數）的關係式，試應用物理量的因次

分析，找出

a、b、c 的值，進而得到正確的關係式。

＊為多選題

   段考

基礎

練習題

  主題練習  

概念

因次表示法

1 

 試完成下表：

物理量

SI 單位

因次

密度

D

kg/m

3

速率

V

m/s

壓力

P

N/m

2

2 

 重力常數 G 的因次 [G] 　　　　　　　。

22

 

   3  下列關於因次的敘述，何者是正確的？　

A 兩個相同因次的物理量，必定有相同的物理意義　

B 具有相同因次的物理量才可以進行加或減的運算　

C 具有相同因次的物理量才可以進行乘或除的運算　

D 等式兩邊的物理量，可能具有不同的因次　

E 公斤和公斤重具有相同的因次。

  基礎大考試題  

 

   4  假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速度 g、水的密度 ρ 與水深

D。若僅以上述三個物理量的因次來判斷波速 v，則下列何者正確？

A

 v 正比於 gD　B v 正比於 ρgD　C v 正比於    gD 　D v 正比於 g    ρD 　

E

 v 正比於  1

  gD

。

 

〈

110指考，答對率56%〉

＊為多選題

   分科測驗

進攻

題

解題影音

  進階試題  

 

   1  設甲、乙兩個行星同繞太陽在同一平面上作等速圓周運動，且繞行方向相同，週期分

別為

T

1

及

T

2

，其中

T

2

＞

T

1

。則每隔多久時間，兩行星將交會一次（與太陽連成一直

線）？

A

 

T

2



T

1

T

2



T

1

　B

 

T

2



T

1

T

2



T

1

　C

 

T

2



T

1

T

2

T

1

　D

 

T

2

T

1

T

2



T

1

　E

 

T

2

T

2



T

1

。

1

試用因次分析法判斷出答案。

2

以數學方法算出答案。

 

1

 測量與不確定度

23

測量方法與不確定度

素養題

由於紙張很薄，通常厚度都小於

1 mm，因此臺灣的印刷業

採用一種特殊的長度單位－「條」來表示紙張厚度，以避免太多

小數點造成的不方便，而

1 條 ＝ 0.01 mm。

至於怎麼測量紙張的厚度呢？我們可以使用如圖所示的厚

薄規（俗稱量紙器）。運用量紙器的指針即可量出條數，例如

若指針指在刻度

11 處，代表該紙張的厚度為 11 條 ＝ 11×0.01 

mm ＝ 0.11 mm。

一般的影印紙厚度約

0.07 mm，小玉到文具店買了較一般影印紙厚的噴墨印表機專用紙，廠

商在包裝上號稱該紙張的厚度為

0.15 mm。為了驗證廠商的標示是否屬實，小玉決定用量紙器來

測量紙張的厚度。

首先，小玉一次測量

1 張紙的厚度，數據如下表：

次數

第

1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次

紙張厚度



mm

0.154

0.144

0.148

0.151

0.149

0.153

0.148

0.149

0.152 

上述數據處理後可得：平均值為

 0.14978 mm，而標準差約為 0.00307 mm。

小玉又想到一個方法，一次測量

10 張紙的厚度，再算出 1 張紙張的厚度，數據如下表：

次數

第

1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次

10 張紙的厚度



mm

1.520 

1.490

1.520 

1.540

1.480

1.500

1.520

1.480

1.540

1 張紙的厚度



mm

0.152

0.149 

0.152 

0.154 

0.148 

0.150 

0.152 

0.148 

0.154 

上述數據處理後可得：

1 張紙厚度的平均值為 0.151 mm，而標準差約為 0.00235 mm。

原來運用相同的測量工具，使用不同的測量設計，也可以有效降低測量的不確定度呢！

根據上述資料，僅考慮不確定度的

A 類評估，試回答下列問題： 

【混合題】

 

   1  小玉以量紙器測量面紙厚度，刻度如右圖所示，則面紙的厚度約為

多少？

A

 11 條　B 1.1 mm　C 0.11 mm　D 11 μm　E 110 μm。

24

 

   2  小玉每次測量 1 張紙厚度的實驗方法，下列何者為其測量結果的正確表示法？

A

 0.15±0.001023 mm　B 0.150±0.001 mm　C 0.1500±0.0010 mm　

D

 0.14978±0.0011 mm　E 0.1498±0.0011 mm。

3 

 你認為利用哪一種方法的測量結果比較好？廠商有沒有誇大之嫌呢？試簡述之。

P

13 耳溫計、P11 電子秤、P12 捲尺與雷射測距儀、P19 筆電、

P

24 量紙器　 　Shutterstock 圖庫

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 測量與不確定度

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