114 學年度物理系學士班「個人申請」入學第二階段招生考試
【
物理
試題】
【本考科
不可使用
計算機】
答案請務必寫在試卷本上，並請標明題號，試題隨卷繳回
所有作答必須有計算過程或依題目要求進行說明
1.
將電子（電量 e, 質量 m）從金屬鋁表面移出所需
的功函數為 W。普朗克常數為 ℎ，光速為 𝑐。
(a) 若以波長為
𝜆 的紫外光照射鋁的表面以致釋
出電子，並且釋出之電子的動量乘以光速會大
於 W，求光電子的最大動能。(5%)
(b) 若將入射光的波長減為
𝜆/2，求此時光電子的
最大動能。(5%)
(c) 請 問 金 屬 鋁 靶 材 本 身 為 什 麼 要 接 地 ？ (5%)
（回答重點即可）
2.
拉賽福
(Ernest Rutherford) 以 𝛼 粒子撞擊金箔實驗之後，發展出他所認為的原子模型，也就是行
星軌道式的原子模型。電子繞著原子核像行星繞著恆星一樣公轉。電子繞行的軌道範圍佔了整個
原子的大部分空間，但原子的質量都集中在中心極小的原子核裡。但這個模型有一個致命性缺點，
也就是人們已知加速運動中
(如圓週運動) 的電子會釋放出電磁輻射導致整個系統的力學能下降，
從而使電子不能在軌道上穩定的存在。因此波耳
(Niels Bohr) 進一步改良了這個模型，他假設若
要使電子能穩定的在軌道繞行而不輻射，則必須遵守角動量量子化的規則
: 𝐿 = 𝑛
ℎ
2𝜋
, 其中 𝑛 是
大於或等於
1 的整數， ℎ 則是著名的普朗克常數。從這裡出發，利用類似牛頓力學中的二體引
力問題，找出了能量守恆的方程式，進一步則得到了驚人的結果，也就是精準的計算出氫原子的
能階及其光譜線的波長。假設庫倫常數為
𝑘，電子質量為 m
e
、氫原子核質量為
m
p
，兩者所帶的
電量分別為−𝑒、𝑒，請由波耳的假設出發，導出氫原子的能階公式。(10%)
3.
在一個固定不動的磁鐵上方，有一半徑為 𝑅 、質量為
m 的均質細塑膠環，環面保持水平，自靜止自由落下，
質心始終保持在磁鐵的正上方，空氣阻力可忽略，重
力加速度為 𝑔。初始靜止時，該圓環面的磁通量為 𝐵
0
，
經過時間 𝑇 後，該圓環面的磁通量為 𝐵、下落的位移
為 𝐻。若將塑膠環改為一個大小、外形及質量皆相同
的超導環
(亦即沒有電阻的導體圓環)，重覆以上步
驟，初始時環上沒有電流，圓環面的磁通量一樣為 𝐵
0
，
而在下落位移同為 𝐻 時，其磁力線的側視截面圖如右
圖。
(a) 此次的下落時間比
𝑇 大或小?為什麼? (2%)
(b) 求此時該超導環上的電流。(8%)
4.
如右的俯視圖所示，一個質量為
m、電量為 q 的帶電粒子
以速率
𝑣 (≪ 𝑐) 由 p 點出發，水平進入一個具有均勻磁場
B 的區域 (磁場方向為垂直射入紙面)，最後從 q 點離開，
過程中，行走之路徑為一圓弧，而該圓弧所張之角度為
60
°
。
(a) 請問從
p 點到 q 點的過程歷時多長？(8%)
(b) 求粒子在該過程中的總位移量。(5%)
(c) 求粒子在該過程前後的能量改變量。(2%)
5.
一個半徑為 𝑟、質量為 𝑚 的均質細圓環，在水平地面上以等速率 𝑣 作純滾動，其圓環面和地面
的夾角為 𝜃 (< 90°)，以致其質心相對於地面作等速率圓周運動，類似腳踏車的轉彎原理。該圓
環和地面的動摩擦係數為 𝜇
K
，靜摩擦係數為 𝜇
S
，重力加速度為 𝑔。
(a) 求圓環所受之淨力的大小。(5%)
(b) 求圓環的總動能。(5%)
(c) 求質心之等速率圓周運動的周期。(5%)
(d) 求圓環與地面接觸點之圓形軌跡的半徑。(5%)
(e) 求
𝜃 的最小值。(5%)
(f) 以圓環與地面之接觸點為參考支點，求該系統之角動量量值。(5%)
6.
一條沿著 𝑥 軸 (向右為正向) 的水平細繩上有兩個線性波，皆為正弦波，A 波向左傳遞、頻率為
𝜔、波速為 𝑣，B 波向右傳遞、頻率同為 𝜔、但波速為 2𝑣，在時間 𝑡 = 𝜋/(2𝜔) 時，兩波於 𝑥 =
0 處都達到最大垂直正向 (向上) 位移。兩波的振幅皆為 1。
(a) 分別求出 A、B 兩波的波長。(4%)
(b) 分別寫出 A、B 兩波的波函數 (為
𝑥、𝑡 的函數)。(6%)
(c) 求出該繩上出現節點 (即垂直位移始終為零) 的
𝑥 座標，以及相鄰兩節點間的距離。(10%)
試題隨卷繳回