111 學年度普型高級中等學校物理能力競賽第四區複賽
物理科實驗試題第二題參考解
實驗目的
在不使用碼表的情況中，利用物體的自斜面拋出後的距離測量斜面的動摩
擦係數。
需紀錄的數據:
1.
落地距離 D
2.
斜面與桌面的高度 H1
3.
斜面與地面的高度 H2
4.
斜面長度 L
實驗原理
一物體在粗糙斜面上自由下滑如圖 1 中所示，此時物體共受重力 mg、動摩
擦力 f 與正向力 N 三種裡作用，考慮正向力 N 與重力垂直於斜面的分力大小
(
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)相同、方向相反彼此抵消，故物體所受淨力為
F
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑓 … 一
其中動摩擦力 f 為正向力 N 與動摩擦係數μ的乘積，式一可改寫為
F
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑎 … 二
此處 a 為物體的加速度。
若我們想要求物體與斜面間的動摩擦數μ，我們可以將式二移項獲得
𝜇
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑎
𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
… 三
為了求得加速度 a 我們引入等加速度直線運動公式
L
𝑣 𝑡
1
2
𝑎𝑡 … 四
𝑣
𝑣
𝑎𝑡 … 五
因為物體為自由下滑所以
𝑣
0，再將式五代入式四可得
𝑎
𝑣
2L
… 六
將式六代回式三中我們可知動摩擦力係數為
𝜇
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑣
2𝐿 ∗ 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
… 七
接著我們若能知道物體在斜面的末速度
𝑣與重力 g 便可得知動摩擦力係數，我們
可以藉由物體自斜面斜拋至地面的運動來求得他們 ，回顧圖 1，我們假設斜面
底至地面為 H
2
，若物體斜拋歷時 t
2，
物體斜拋落地後距離斜坡的水平距離 D 為
𝐷
𝑣 ∗ 𝑡 … 八
這裡
𝑣 為𝑣在 x 方向的分量𝑣
𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃，再移項可得
𝑡
𝐷
𝑣
… 九
111 學年度普型高級中等學校物理能力競賽第四區複賽
物理科實驗試題第二題參考解
我們再使用垂直方向的距離公式
𝐻
𝑣 ∗ 𝑡
1
2
𝑔𝑡 . . . 十
其中
𝑣 為𝑣在 y 方向的分量𝑣
𝑣𝑠𝑖𝑛𝜃，將式九代入式十可得
𝐻
𝑣𝑠𝑖𝑛𝜃 ∗
𝐷
𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
1
2
𝑔
𝐷
𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
… 十一
因為 tanθ=sinθ/cosθ，我們可以簡化式十一為
𝐻
𝑡𝑎𝑛θ ∗ D
1
2
𝑔𝐷 / 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 … 十二
將式十二中的
𝑣 單獨提到式的一邊
𝑣
𝑔𝐷
2𝐻
2𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
… 十三
我們將式十三代回式七可得動摩擦力係數為
𝜇
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑔𝐷
2𝐻
2𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2𝐿 ∗ 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
… 十四
將式十四簡化一下
𝜇
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐷
4𝐿 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝐻
𝐷𝑡𝑎𝑛𝜃
… 十五
其中
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐿
𝐻 /𝐿另外𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻 / 𝐿
𝐻 ，如此我們便可藉由測量
𝐻
、
𝐻
、
𝐿和𝐷來計算斜坡的動摩擦力係數了。
圖
1:
物體在粗糙斜面下滑受力分析圖
111 學年度普型高級中等學校物理能力競賽第四區複賽
物理科實驗試題第二題參考解
器材
待測物 一個
PP 瓦楞板 100mm*60mm 一張
直尺( 一支
透明膠帶 一捲
美工刀 一把
切割墊 一張
方格紙 五張
白紙 五張
步驟
1.
將器材架設如圖 2
2.
設置一個可以讓墊片下滑的角度後以膠帶固定
3.
用尺或捲尺測量並記錄 H1、H2 與 L
4.
將墊片放置於斜面上讓其自然下滑並斜拋至地面，利用皮尺測量落地點與斜
面的水平距離
5.
利用式十五計算動摩擦係數
圖 2:實驗裝置圖
實驗數據與分析
111 學年度普型高級中等學校物理能力競賽第四區複賽
物理科實驗試題第二題參考解
PP 瓦楞板 直紋正面
L=
29.2(cm)
H1=
14.8(cm)
H2=
74.1(cm)
平均 D =32.075(cm)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐿
𝐻 /𝐿=0.862035
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻 / 𝐿
𝐻 = 0.587969
代入式十五得動摩擦係數μ= 0.3390
PP 瓦楞板 直紋反面
L=
29.2(cm)
H1=
14.8(cm)
H2=
74.1(cm)
平均 D = 31.375(cm)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐿
𝐻 /𝐿=0.862035
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻 / 𝐿
𝐻 = 0.587969
代入式十五得動摩擦係數μ= 0.3515
PP 瓦楞板 橫紋正面
L=
30.40(cm)
H1=
15.35(cm)
H2=
74.90(cm)
平均 D = 32.325(cm)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐿
𝐻 /𝐿=0.863158
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻 / 𝐿
𝐻 = 0.584985
代入式十五得動摩擦係數μ= 0.3463
PP 瓦楞板 橫紋反面
L=
30.40(cm)
H1=
15.35(cm)
H2=
74.90(cm)
111 學年度普型高級中等學校物理能力競賽第四區複賽
物理科實驗試題第二題參考解
平均 D = 31.450(cm)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐿
𝐻 /𝐿=0.863158
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻 / 𝐿
𝐻 = 0.584985
代入式十五得動摩擦係數μ=0.3611
討論
在本次實驗中直紋的 PP 瓦楞板有較小的動摩擦係數，可能是橫紋會造成滑動的
阻礙，而墊片正面有較小的動摩擦係數，可能是反面有未處理乾淨的毛邊導
致。