1
109
學科能力測驗
學科能力測驗
學科能力測驗
學科能力測驗第
第
第
第六
六
六
六次模擬考
次模擬考
次模擬考
次模擬考(文昌
文昌
文昌
文昌 W6)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 65 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
1.
已知在坐標平面上滿足二元一次聯立不等式
0
2
20
4
x
y
x
y
x
y
k
−
≥
+
≤
+
≥
的所有點所形成的封閉區域為 Γ
，試問在下列哪一選項中的 k 值所對應的 Γ 面積為最大？
(1)
5
k = − (2)
3
k = − (3)
0
k =
(4)
13
k =
(5)
23
k =
2.
已知三個正方形
1
2
3
,
,
Γ Γ Γ 的邊長分別為 a, b, c，且正方形
1
Γ 與
2
Γ 的面積和與正方形
3
Γ 的
面積相等。若 12< a < 13，16 < b < 17，n < c < n+1 ，其中 n 為正整數，則 n 之值可能為
下列何者？ (1) 17 (2) 19 (3) 21 (4) 23 (5) 25
3.
已知某新型病毒可讓每位感染者在一天內傳染給其他 4 人，若第 1 天有 1 人感染到此新
型病毒，則第 2 天共有 5 人感染 ，第 3 天共有 25 人感染，以此類推，試問到第幾天，
感染此新型病毒的人數始超過 100 萬人？
(1) 7
天 (2) 8 天 (3) 9 天 (4) 10 天 (5) 11 天
4.
投擲一顆公正的骰子三次，在前二次點數乘積等於第三次點數的條件下，試問三次點數
均相異的機率為下列何者？ (1)
1
5
(2)
2
15
(3)
1
7
(4)
2
13
(5)
1
6
5.
在坐標空間中，若包含直線 L 的平面
1
E 與平面
2
: 2
4
E
x
y
z
−
+ = 平行，則直線 L 的方程
式可能為下列何者？
(1)
2
1
1
x
y
z
=
=
−
(2)
1
3
3
4
2
x
y
z
+
−
=
=
−
(3)
2
,
x
t
y
t
t
R
z
t
=
+
=
∈
=
(4)
2
4
1 3 ,
1 5
x
t
y
t t
R
z
t
=
−
= −
∈
= +
(5)
2
3
x
y
y
z
−
= −
+ =
6.
將正整數由小到大依下列規律排列：
設
ij
a
代表由上往下數的第
i
列，由左往右的第
j
個數
(
例如：
32
43
5,
10
a
a
=
=
)
。己知第
i
列共有
1
2
i −
個數，若
2021
ij
a =
，則
i
j
+
之值為下列何者？
(1) 1006 (2) 1007 (3) 1008 (4) 1009 (5) 1010
7.
新冠肺炎造成經濟衰退，臺灣在疫情趨穩下，政府順勢推出刺激經濟的「振興三倍券」
，全國同胞都可以領取，三倍券提供紙本券及數位券兩種方式，紙本券是「拿
1000
換
3000
」的概念，每組內有
5
張
200
元與
4
張
500
元
，且印有序號，民眾可透過紙本圖
案辨識不同面額。試問每組紙本三倍券可支付幾種不同的款額
(
不可支付
0
元及找零
)
？
(1) 25
種
(2) 26
種
(3) 27
種
(4) 28
種
(5) 29
種
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
RA493
2
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
8.
已知多項式
3
( )
2
1
f x
x
kx
=
−
+
，其中
k
為整數，試選出正確的選項。
(l)
( )
y
f x
=
的圖形和
y
軸交點的
y
坐標大於
0
(2)
( )
y
f x
=
的圖形和
x
軸可能不相交
(3)
1
x + 可能為
f(x)
的因式
(4)
2
x − 可能為
f(x)
的因式
(5)
2
1
x − 可能為
f(x)
的因式
9.
在乾空氣的條件下，高度平均每上升
100
公尺，氣溫約下降
1 C
﹔而在含有水氣的溼空
氣條件下，因為水氣凝結時會釋放潛熱，所以高度平均每上升
100
公尺，氣溫約下降
0.6 C
，因此位於海拔較高的森林遊樂區常成為夏季裡極佳的避暑勝地。某森林遊樂區
記錄了每日該區平地最高溫
1
單位：
C)
與當天的遊客人數
(
單位：百人
)
，部分紀錄如下
表。
設上表中的
x
之平均數為
x
µ
，標準差為
x
σ
，
y
之平均數為
y
µ
，標準差為
y
σ
，
x
與
y
的相
關係數為
r
，
y
對
x
的迴歸直線方程式為
y
ax b
=
+
，試選出正確的選項。
(1)
x
y
µ
µ
>
(2)
x
y
σ
σ
>
(3)
1
0
r
− <
<
(4)
0
a >
(5)
36
41
a
b
+
=
10.
如圖所示，在等腰梯形
ABCD
中，已知 AD
BC
=
，
2
AB
DC
=
。試問下列哪個向量的終
點
P
落在等腰梯形
ABCD
內部
(
不含邊界
)
(1)
1
2
AP
AB
AD
−
=
+
(2)
1
2
AP
AB AD
=
+
(3)
1
2
2
3
AP
AB
AD
=
+
(4)
2
3
3
4
AP
AB
AD
=
+
(5)
3
1
4
3
AP
AB
AD
=
+
11.
已知
a
c
P
b
d
=
為一個轉移矩陣，且
P
的反方陣為
1
15
5
11
11
e
f
P
−
=
−
。試選出正確的選
11
項。
(1)
a
b
c
d
+
= +
(2) P
的行列式之值為 a c
−
(3)
12
11
e
f
+
=
(4)
3
4
a =
(5)
4
5
c =
12.
設
,
a b
為平面上兩個非零向量，已知
|
|
2
a =
，
a
b
+
且與
b
的夾角為
45
。試問
|
|
b
之值可能為下列哪些值？
(1)
1
2
(2)
2
(3) 2 (4)
2 2
(5) 3
13.
如圖所示，在四邊形
ABCD
中，已知
8,
10,
5 2
AB
AC
AD
=
=
=
，
90
ABC
ADC
∠
= ∠
=
，
AC
a AB b AD
=
+
。
試選出正確的選項。
(1)
7 2
cos
10
BAD
∠
=
(2)
8
AB AD
⋅
= (3)
5 2
AC AD
⋅
=
(4)
25
28
a =
(5)
2
3
b =
最高溫(x)
33
34
36
38
37
38
遊客人數
(y)
22
36
40
54
44
50
3
第
第
第
第貳
貳
貳
貳部分
部分
部分
部分：
：
：
：選填題
選填題
選填題
選填題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
A.
在坐標平面上，將指數函數
( )
3
x
f x =
的圖形向上平移
5
單位可得函數
( )
g x
的圖形。已知
直線
:
L y
k
=
與
( )
f x
，
( )
g x
的函數圖形分別交於
P
，
Q
兩點，若
2
PQ =
，
則
k=
。
(
化為最簡分數
)
B.
如圖所示，
A
為圓
Γ
上一點，而
P
為圓
Γ
外一點，過
P
作
圓
Γ
的切線，切點
(
之一
)
為
B
。若圓
Γ
的圓心位於
AP
上，
且
120
ABP
∠
=
，
6 3
PB =
，則
AP =
。
C.
設
O
為極點，
A
點的極坐標為
[ ,108 ]
a
，
B
點的極坐標為
[
2,138 ]
a +
，若
a
為正整數且
OAB
△
面積小於
12
，則滿足上述條件的所有正整數
a
之總和為
。
D.
如圖所示，已知正六邊形
ABCDEF
的邊長為
1
，若橢圓
Γ
通過
A
，
B
，
D
，
E
四點，且
C
，
F
為其兩焦點，
則橢圓
Γ
的短軸長為
。
E.
百貨公司經長期統計分析發現某款公仔最初的定價為
500
元時，其月銷售量為
3000
個，
當價格上漲
a%
時
(a>0)
，其月銷售量則減少了
2
%
3
a
。若根據此分析結果，則該款公仔
的價格為
元時，其月銷售總金額可達最大值。
F.
如圖所示，有一個三角柱形的三明治，其上底面與下底面為
兩個全等的等腰直角三角形，而三個側面均為矩形。
若
90
ABC
∠
=
，
10
AB
BC
=
=
，
5
BE = ，則
F
點到平面
BCD
的距離為
。
(
化成最簡根式
)
G.
在坐標平面上，已知兩直線
1
2
:
1,
: 5
12
7
0
L
y
L
x
y
= −
+
+
=
，若
P
為拋物線
2
:
4
x
y
Γ
=
上一
動點，則
P
點到直線
1
L
和直線
2
L
距離和的最小值為
。
(
化為最簡分數
)
4
RA493 109
學科能力測驗第
學科能力測驗第
學科能力測驗第
學科能力測驗第六
六
六
六次模擬考
次模擬考
次模擬考
次模擬考(文昌
文昌
文昌
文昌 W6)
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(1)
2.
(3)
3.
(4)
4.
(3)
5.
(5)
6.
(4)
7.
(2)
8.
(1)(3)
9.
(4)(5)
10.
(3)(5)
11.
(1)(2)(3)(5)
12.
(1)(2)(3)
13.
(2)(4)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：A.
45
8
B.
18
C.
15
D.
4
12
E.
625
F.
2 5
G.
19
13