1
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中 111 學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考 數學
數學
數學
數學 A
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
1. 若 x 為實數，且
8
5
<
−
+ x
x
，則 x 的整數解有多少個？
(1) 6 (2) 7 (3)8 (4) 9 (5)10
2. 已知一直角三角形的兩股長分別為
9
log
8
log
與
3
log
4
log
，若此直角三角形的周長為
x
3
log
，
則 x 之值為下列何者？(1) 32 (2) 64 (3) 256 (4)1024 (5) 4096
3. 如右圖，在
ABC
∆
中，若
A
∠
的內角平分線交 BC 於
D
，且
3
=
AB
、
6
=
AC
、
3
=
AD
，則
(
)
BAC
∠
cos
的值為何？
(1)
5
3
(2)
4
3
(3)
5
4
(4)
8
1
(5)
8
7
4. 已知
A
、
B
、 C 三點不共線，
P
、
Q
為直線 BC 上相異兩點，且
AP
a AB b AC
=
+
，
2
(7
3 )
AQ
b AB
a
b AC
=
+
−
，其中 a 、 b 為相異實數。若
ABC
∆
面積為 48 ，
則
APQ
∆
面積為多少？ (1)
24
(2) 36 (3) 48 (4) 60 (5) 72
5. 大華、中明、小強三人要輪流在週一到週六的晚上留在公司值班，一天一人， 每人排兩
天，若恰有一人要連排
2
個晚上，且其他兩人皆不可連排，則總共有多少種排法？
(1)10 (2)
12
(3)
24
(4) 30 (5) 36
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
6. 下列哪些選項中的兩個圖形經過左右或上下平移後可完全重合？
(1)
1
2
2
+
= x
y
的圖形與
1
3
2
2
−
+
=
x
x
y
的圖形
(2)
1
2
3
+
= x
y
的圖形與
1
12
2
2
3
+
−
=
x
x
y
的圖形
(3)
x
y
2
cos
=
的圖形與
x
x
y
2
cos
2
1
2
sin
2
3
+
=
的圖形
(4)
x
y
10
=
的圖形與
−
=
2
10
3
x
y
的圖形
(5)
x
y
2
log
=
的圖形與
(
)
12
3
log
2
−
=
x
y
的圖形
7.
°
°
−
°
°
=
50
sin
50
cos
50
cos
50
sin
A
、
°
−
°
°
°
=
80
cos
80
sin
80
sin
80
cos
B
為兩個二階方陣，
試選出正確的選項。 (1)
2
11
A
A
=
(2)
5
13
B
B
=
(3)
°
°
°
−
°
=
40
cos
40
sin
40
sin
40
cos
AB
(4)
(
)
=
1
0
0
1
2
AB
(5)
°
=
°
40
tan
1
40
tan
1
B
8. 已知
( )
4
9
2
3
−
+
+
=
bx
x
ax
x
f
圖形的對稱中心為
(
)
20
,
3
−
，試選出正確的選項。(1)
(
) (
)
10
,
1
,
=
b
a
(2)
(
)
0
10000
>
−
f
(3)
( )
x
f
y
=
的圖形在點
(
)
(
)
2
,
2
−
−
f
附近，
會近似於一直線
24
14 −
−
=
x
y
(4)
(
)
86
.
3
99
.
1
≈
−
f
(四捨五入至小數點以下第二位)
(5)若
( )
( )
20
−
=
x
f
x
g
，則
( )
0
=
x
g
只有一個實根
9. U 國在其南部邊境小島上部署
A
型、
B
型、 C 型三種反艦飛彈，其命中率分別為 5
.
0 、
6
.
0
、 7
.
0
，且飛彈不會互相干擾。R 國來犯的每一艘驅逐艦，如果被
2
枚或
2
枚以上的飛
彈擊中必會沉沒。請問下列敘述何者正確？
RA4100
2
(1)針對 R 國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則 3 枚飛彈都擊中的機率為 21
.
0
(2)針對 R 國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則此驅逐艦被擊中（不一定要沉沒）的
機率為 94
.
0
(3)針對 R 國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則此驅逐艦被擊沉的機
率為 44
.
0
(4)針對 R 國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，已知此驅逐艦被擊沉的條
件下，則它被
A
型與 C 型飛彈擊中的機率為
13
7
(5)針對
R
國某艘驅逐艦以
A
型飛彈連續
攻擊 n 發，可以使擊沉此驅逐艦的機率提高到
%
90
以上，則 n 的最小值為 7
10.已知函數
( )
−
−
=
3
2
sin
2
2
sin
2
π
x
x
x
f
，且 x 為任意實數，下列敘述何者正確？
(1)
(
)
( )
x
f
x
f
−
=
−
(2)
若
2
0
π
≤
≤ x
，則
( )
2
3
≤
≤
−
x
f
(3)
>
8
9
π
π
f
f
(4)
直線
12
5
π
−
=
x
是
( )
x
f
y
=
圖形的對稱軸
(5)
( )
x
f
y
=
的圖形可由
x
y
2
sin
2
=
向左平移
3
π
而得
11.
學測15 級分制的計算方式為：前 %
1
學生平均原始得分除以15 ，作為各該科之級距。
考生原始得分
0
分得
0
級分，高於
0
分但低於或等於
1
個級距是
1
級分，高於
1
個級距但
低於或等於
2
個級距是
2
級分，以此類推到
14
級分；原始得分高於
14
個級距，則為滿級
分15 級分。學測 60 級分制的計算方式為：前 %
1
學生平均原始得分除以 60 ，作為各該科
之級距。考生原始得分
0
分得
0
級分，高於
0
分但低於或等於
1
個級距是
1
級分，高於
1
個級距但低於或等於
2
個級距是
2
級分，以此類推到 59 級分；原始得分高於 59 個級距，
則為滿級分 60 級分。舉例來說明15 級分制，假設該科分數最高之前 %
1
學生平均原始得
分為 96 分，則級距為
40
.
6
15
96
=
。考生如果考 0 分，為 0 級分；考生高於 0 分，但低於或
等於 4
.
6
分
(
1
個級距
)
，則為
1
級分；考生高於 4
.
6
分，但低於或等於
8
.
12 分
( 2
個級距
)
，則
為
2
級分，依此類推到
14
級分。原始得分高於
14
個級距
(
6
.
89
4
.
6
14
=
×
)
，則為滿級分15
級分。阿明與阿嬌班上有 35 位學生參加學測，下列針對學測英文成績的敘述，請判斷何
者正確。
(1)
假設全國最高前 %
1
平均原始得分為 90 分，阿明考 68 分，則以 60 級分制計
算可得 46 級分
(2)
假設全國最高前 %
1
平均原始得分為 90 分，且原始得分阿明比阿嬌多
11
分，則以 60 級分制計算阿明與阿嬌可能同級分
(3)
假設以 60 級分制計算，阿明全班
級分之中位數為 40 級分，則以15 級分制計算，全班級分之中位數為10 級分
(4)
假設以
15 級分制計算，阿明全班級分之平均數為 5
.
8
級分，則以 60 級分制計算，全班級分之平
均數為
5
.
34
級分
(5)
假設以15 級分制計算，阿明全班級分之標準差為
1
S 級分，則以 60
級分制計算，全班級分之標準差為
2
S 級分，則
1
2
4 S
S
≥
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
12.
設兩變量 x 與
y
的 n 筆數據為
(
)
1
1
, y
x
，
(
)
2
2
, y
x
，
…
，
(
)
n
n
y
x
,
，且 x 與
y
的平均數
分別為
51
=
x
µ
與
y
µ
，標準差分別為
18
=
x
σ
、
10
=
y
σ
。已知變量
27
=
x
時，可由
y
對
x 的迴歸線預測
y
值為 49 。若將 n 筆數據
(
)
i
i
y
x
,
標準化為新數據
(
)
i
i
y
x
′
′ ,
，
n
i
,
,
3
,
2
,
1
⋯
=
，可得
'
y
對 '
x 的迴歸線為
'
9
.
0
'
x
y
−
=
，求
=
y
µ
。
13.
坐標平面上，已知直線
L
：
1
2
−
=
x
y
與圓 C 相切於點
(
)
3
,
2
A
，且
(
)
5
,
2
−
B
在圓 C 上，
則圓心坐標為 。
3
14.
用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖的正六邊形，圖中的小黑點「●」為焊接點，
在圖
(1)
中，用了
12
根不鏽鋼條， 7 個焊接點；在圖
(2)
中，用了
42
根不鏽鋼條，19 個
焊接點；在圖
(3)
中，用了90 根不鏽鋼條， 37 個焊接點。試問依此規則，圖
(5)
共需
根不鏽鋼條。
15.
如圖，四邊形 ABCD 中，
°
=
∠
=
∠
90
BDA
BCD
，
7
=
DA
、
25
=
DB
、
15
=
DC
，則
=
AC
。
16.
如圖，空間坐標中一平行六面體，某一底面的其中三個頂點為
(
)
0
,
0
,
0
O
、
(
)
3
2
1
,
,
a
a
a
A
、
(
)
3
2
1
,
,
b
b
b
B
，另一面之一頂點為
(
)
1
,
2
,
2
C
，
已知
72
1
2
2
2
1
2
1
1
3
1
3
3
2
3
2
=
×
+
×
+
×
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
，
則
OAB
∆
面積的最小值為 。
17.
若 m 為實數，且滿足聯立不等式
≥
≥
≤
−
≤
+
0
0
12
3
2
y
x
m
y
mx
y
x
的所有點所形成區域面積為
4
23
平方單
位。則
=
m
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
第
18
至
20
題為題組
已知空間中有兩個平面
1
E ：
1
2
=
+
−
cz
y
x
，
2
E ：
2
=
+
+
dz
y
x
與一直線
1
L ：
2
2
4
2
3
1
−
−
=
−
=
−
z
y
x
，試回答下列問題：
18.
若平面
1
E ：
1
2
=
+
−
cz
y
x
與直線
1
L ：
2
2
4
2
3
1
−
−
=
−
=
−
z
y
x
不相交，
則 c 之值可能為何
？
(
單選題，
3
分
) (1) 2
−
(2) 1
−
(3)
0
(4)1
(5) 2
19.
若平面
1
E 與平面
2
E 互相垂直，
(
)
2
,
1
,
0
A
與
(
)
2
,
7
,
2 −
−
B
兩點與平面
2
E 等距離且此兩
點在平面
2
E 的異側，試求
(
)
=
d
c ,
？
(
非選擇題，
6
分
)
20.
已知直線
L
為平面
1
E 與平面
2
E 的交線，若
(
)
3
,
1
,
2
P
、
(
)
1
,
1
,
3 −
Q
兩點與直線
L
皆落在
平面
E
上，則平面
E
與直線
1
L 的交點為何？
(
非選擇題，
6
分
)
4
RA4100
國公私立高中
國公私立高中
國公私立高中
國公私立高中 111 學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考
學年度第四次模擬考 數學
數學
數學
數學 A
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(3)
2.
(2)
3.
(4)
4.
(4)
5.
(5)
6.
(1)(3)(4)(5)
7.
(1)(2)(4)(5)
8.
(1)(3)(4)
9.
(1)(2)(4)(5)
10.
(2)(3)(4)
11.
(1)(2)(3)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：12.
37
13.
(0, 4)
14.
240
15.
442
16.
12
17.
2
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
(4)
19.
1
(
,3)
3
−
20.
13 40 43
(
,
,
)
14 21 21