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102年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員
考試、102年公務人員特種考試法務部調查局調查人員
考試、102年公務人員特種考試國家安全局國家安全情
報人員考試、102年公務人員特種考試民航人員考試、
102年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子組
科 目：工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：50860
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、若 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
aa 1
210
321
A2，有 1
A−存在，則 a的限制為何？（10 分）
二、試求積分∫+
Cdz
zz1
6
2
，其中 C為逆時針方向沿著積分路徑 2z =的上半圓。（15 分）
三、請用拉普拉斯轉換（Laplace transform）求此微分方程式之解 )(23 tfyyy
=
+
′
−
′′ ,
0)0()0( =
′
=yy , ⎩
⎨
⎧
<
<
=其他,0
10,1
)( t
tf 。（10 分）
四、一隨機變數 X的機率密度函數（density function）為： ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧≤≤
−
=otherwise
bxa
ab
xfX,0
,
1
)( ，試求：
累積分布函數 )(
x
F（5分）
平均值 )(X
E
（5分）
變異數 )(XVa
r
（5分）
代號：50860
頁次：4
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：6508
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 假設關係式 1
914
222 =−+ zyx 成立，試求出 2
2
x
z
∂
∂？
3
22 94
8
9zxz − 3
22 94
16
9zxz − 3
22 94
32
9zxz − 3
22 94
64
9zxz −
2 令
[]
4,2,1 −=u,
[]
1,1,2=v為兩個三維向量，則下列計算何者為錯誤？
0=• vu
[]
3,9,6
−
−=× vu 0
=
×
•
+
v)(uv)(u 0
=
×•× u)(vv)(u
3 一曲線的位置向量為
k
j
i
t
t
t
t
F
+
+= )sin()cos()( ,
π
−
≦t≦
π
，則此曲線長度為何？
π
22
π
23 22 23
4 函數 xyzyzxyzyx +−=),,(
ϕ
在點 )1,1,0(=P最陡變化方向（gradient）為何？
kji −− 2 kji −+− 2 kji
+
+
2 kji −−2
5 矩陣 A之特徵值（eigenvalue）為 5與10，而相對應之特徵向量（eigenvector）分別為 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3與⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1，試求
)Adet( ：
45 50 55 60
6 請選出解空間（solution space）相異於其他選項之線性系統。
3
321 =++ xxx 6222 321
=
++ xxx 9333 321
=
+
+
xxx 3
321
=
++ xxx
142 321 =+−− xxx 142 321
=
+−− xxx 76 32
=
+
xx 6222 321
=
++ xxx
7 設BA, 皆為 33×矩陣，且行列式 2A =, 4B =，求 ？=AB3
8 24 72 216
代號：50860
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－
3
8 令矩陣 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
158
632
721
A, ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
200
30
49
B3
7
29
11
2
1
，試問矩陣 1
AB−的行列式值（determinant）)ABdet( 1−為何？
0 29 55 78
9 滿足 11 =−− iz 的z值在複數平面的圖形為何？
橢圓形 圓形 雙曲線 直線
10 下列選項何者正確，其中 1−=i：
)2sin()3sin()2cos()3cos()23cos( ii −=+ )2sin()3sin()2cos()3cos()23cos( ii +
=
+
)2sinh()3sin()2cosh()3cos()23cos( ii −=+ )2sinh()3sin()2cosh()3cos()23cos( ii +
=
+
11 假設 C為沿著逆時針方向繞圓周 1=z，試求積分∫
−
Cdz
zzz )sin( 為何？
0 1
π
2
π
−
12 級數 n
n
niz
n2
2
0
)(
)12(
1
)1( −
+
−
∑
∞
=之收斂半徑 R之值為何？
25
1 9
1 2
1 1
13 下列何者為方程式 04 =
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u之解？
)4( yxfu −= )4( yxfu += )4( yxfu
−
=
)4( yxfu +=
14 利用 Frobenius 級數 ∑
∞
=
=
0
)(
m
m
m
rxaxxy 的方法解微分方程式 0)1()12(
2=++
′
−+
′′ yxyxxyx ，下列何者為本方
法的 indicial 方程式？
01
2=−r 0)1( =+rr 0)1( 2=−r 0)1( =−rr
代號：50860
頁次：4
－
4
15 定義傅立葉轉換（Fourier transform）為 dxexfF xi
∫∞
∞−
−
=
ω
π
ω
)(
2
1
)( ，其中 1−=i，試問 2
2
)( x
exf −
=的傅
立葉轉換為何？
8/
2
2
1
ω
−
e 4/
2
2
1
ω
−
e 2/
2
2
1
ω
−
e 2/
2
2
1
ω
−
e
16 下列何者無法進行拉普拉斯轉換？
4
)( ttf = 2
)( t
etf = t
tetf 2
3cos)( −
= ⎩
⎨
⎧
<
≥
=00
01
)( t
t
tf
17 微分方程式 004.166.0
2=+
′
+
′′ yyxyx 之通解為
[
]
)lnsin()lncos( xbBxbAxy a+= ，其中 A及
B
為任意常數。
試求a及b？
ia 42.0 += , ib 42.0 −= ia 2.04
+
=
, ib 2.04
−
=
2.0=a, 4=
b 4
=
a, 2.0
=
b
18 疫苗製造商非常關心其血清疫苗的品質，假設每批血清都會依序經由 3個不同部門的篩檢，血清被各部
門淘汰的機率分別為 0.10, 0.20 及0.05。假設 3個部門的篩檢是獨立的，請問某一批血清到第 3個部門才
被淘汰的機率為何？
0.68 0.05 0.036 0.001
19 連續且獨立的擲一個公正的骰子n次，令X為出現點數 4的次數，請問X的期望值
[]
XE 為何？
4/1 6/n 4/n 3/n
20 連續隨機變數X與Y之結合機率密度函數（joint probability density function）為
⎩
⎨
⎧<<<<+
=otherwise
yxifyx
yxf YX ,0
10,10,
),(
,，試求條件變異數 )|( 3
1
=XYVar ？
18/5 36/7 150/11 180/17
類科名稱：
102年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員、法務部調查局調查人員、國家安
全局國家安全情報人員、民航人員及經濟部專利商標審查人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：6508)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案BDADB DDCBC ADCCA BCCBC
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電子組(選試英文)