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年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員、國家安全局國家安全情報
人員考試及
112
年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題
考試別
：
鐵路人員考試、國家安全情報人員考試
等 別
：
高員三級考試、三等考試
類科組別
：
電力工程、電子組（選試英文）
科 目
：
工程數學
考試時間
：
2小時 座號：
※注意
：
禁止使用電子計算器。
代號：
70470
35760
頁次：
4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、求微分方程式（Differential Equations）：
2
3
29 9
x
d
y x y x xe
dx
之通解
（general solution）。（15 分）
二、矩陣（matrix）
1 2
0 3
A
：（每小題 5分，共 15 分）
求矩陣（matrix）
A
之特徵值（eigenvalues）與特徵向量（eigenvectors）。
求矩陣函數
At
e
。
求系統方程式（system equations）
11 2
22
2
3
dx t
x t x t
dt
dx t x t
dt
之通解
（general solution）。
三、擲四枚硬幣（Flip four coins），試驗結果有 16 種結果（outcomes）：
1 2 16
, ,...,
o o o
，其中 1
o HHHH
,2
o HTHH
,…, 16
o TTTT
；若定義隨機
變數（random variable）
X
為：
j
X o
出現背面（
T
）的硬幣數目，例
如：
1
0
X o
,
2
1
X o
；
P
為隨機變數
X
之機率分布（probability
distribution），例如：
0 1/16
P,
1 4 /16
P。（每小題 5分，共 10 分）
求此隨機變數
X
之均值（mean）或期望值（expected value）：
X
。
求此隨機變數
X
之標準差（standard deviation）或變異數的開根號
（square root of the variance）：
X
。
代號：
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2
四、複數函數
1 1
z
ze
f z z z
：（每小題 5分，共 10 分）
求
f z
在
1
z
與
1
z
的留數（residue）。
閉合曲線（closed curve）
C
為圓
2
z
；利用柯西（Cauchy）留數定理
（Residue Theorem）求複數線積分
1 1
z
C
ze
dz
z z
。
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7704 6357
本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。
共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1某能量場可用函數
2 2 2
( , , ) 0.5( 2 2 )
x y z x xy y z
表示。該能量場在點
( 1,0,1)
P
的最大變化率
（rate of change）為何？
3
2
2
3
2令矩陣
1 3 4 2 5
2 6 9 1 8
A2 6 9 1 9
1 3 4 2 5
，則下列選項中何者為矩陣 A的秩數（rank）？
4321
3考慮聯立方程組 Ax =0，其中
8 10
A R
。若此方程組的通解含有 6個任意常數，則 A的值域空間
（range space）維度（dimension）為何？
8643
4給定兩向量
1 1 2
T
u及
2 1 1
T
v ，下列選項何者錯誤？
此兩向量的範數（norm）乘積為 6
此兩向量的內積（inner product）為 3
此兩向量的外積（cross product）為
3 3 3
T
此兩向量的夾角為
3
5T為R2到R3的線性轉換，且滿足
1
( 4 ) 1
0
T u v
，
0
(2 3 ) 1
3
T u v
。T(u)＝？
3
1
7
5
12
3
1
7
5
12
3
7
12
3
7
12
6若
1 0 3
0 2 0
0 0 2
A
存在可逆矩陣 P可將其對角化為 1
1 0 0
020
0 0 2
P AP
。則 P的第一行行向量為
何？
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
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3
7令矩陣
3 4 1
A 0 4 1
0 0 1
，則 A2的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？
9116 4
8下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？
1 1
2 1
1 1
0 1
1 2
1 1
2 1
1 1
9考慮微分方程式
( ) ( ), ( ) ( ) 0
dy a x b y a x b y
dx
。若乘上積分因子
( , )
x y
後可將此方程式轉換成正合
（exact）微分方程式，則 μ為下列何者？
( )
a x
1
( )
a x
( )
b y
1
( )
b y
10 考慮微分方程式
23
2
cos( ) sin( ) 1 , (0) 1, (0) 0
d y dy dy
x x y x y
dx dx dx
。若此方程式的級數解可表示
為0
( )
n
n
n
y x c x
，則
3
c
為何？
3
1
3
c
3
1
6
c
3
1
6
c
3
1
3
c
11 函數 f(t)之拉普拉斯轉換（Laplacetransform）為ℒ
( )
f t
，令ℒ
2
1
( )
( 1)
f t s s
，則下列何者正確？
( ) 1
t t
f t te e
( ) 1
t t
f t te e
( ) 1
t t
f t te e
( ) 1
t t
f t te e
12 函數 ( ) 2cos(3 ),0
3
f t t t
，若在 t= 0 處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂
到A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 B；在
3
t
處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fourier
cosine series）收斂到 C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 D。則 A,B,C,D各值為何？
0, 0, 0, 0
A B C D
2, 0, 2, 0
A B C D
0, 2, 2, 0
A B C D
2, 0, 2, 0
A B C D
13 已知函數 1
( ) , 0
a t
f t e a
a
，則下列何者為函數 f(t)的傅立葉轉換（Fourier transform）(
1
i
)？
2 2
2
( )
i
a a
2 2
2
( )
i
a a
2 2
2
a
2 2
2
a
14 考慮複變函數
3 2 2 3
( ) ( 3 ) (3 )
f z x xy i x y y
，其中
z x iy
。則
( )
df z
dz
為何？
2 2
( )
( 6 ) (3 3 )
df z
xy i x y
dz
2 2
( )
(3 3 ) (6 )
df z
x y i xy
dz
2 2 2 2
( )
(3 3 ) (3 3 )
df z
x y i x y
dz
( )
f z
不可以微分
15 考慮複變函數（complex function）2
1
( )
2 5
z
f z
z z
，若 C為逆時鐘繞圓周
1 2
z i
的路徑，且
積分∮f(z)dz =a+bi
c，則下列選項何者正確？
2
a
a
2
b
b
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4
16 給 定 複 變 數 函 數 2
( )
( 1)( 3)
f z z z
， 針 對 區 域
1 3
z
對 函 數
( )
f z
展 開 可 得
1 2
( )f z az b cz dz
…
…
，則下列選項何者正確？
1
3
a
1
3
b
1
3
c
1
3
d
17 某 元 件 使 用 壽 命 X（單位：小時），其機率密度函數（probability density function） 為
( ) 0.005 , 0
kx
f x e x
。則 k值及元件平均使用壽命為何？
0.005
k
，平均使用壽命 200 小時
0.005
k
，平均使用壽命∞小時
0.005
k
，平均使用壽命 200 小時
0.005
k
，平均使用壽命∞小時
18 某雜訊的機率密度函數（probability density function）為
1,3
的均勻分佈，其變異數（variance）
為A。經過增益為 5的放大器放大以後，其變異數為 B。則 A,B各值為何？
4 20
,
3 3
A B
4 100
,
3 3
A B
16 80
,
3 3
A B
16 400
,
3 3
A B
19 令 隨 機 變 數 X,Y 的 聯 合 機 率 密 度 函 數 （ Joint probability density function ） 為
,
(1 2 ), 0 2,0 1
( , ) 0,
X Y
kx y x y
f x y
其他 ，其中 k為實數，則下列何者正確？
1
2
k
邊際機率密度（Marginal probability density function）為
( ) ,0 2
4
x
g x x
邊際機率密度（Marginal probability density function）為 1 2
( ) ,0 1
4
y
h y y
條件機率密度（conditional probability density function）為 1 2
( ) ,0 1
2
y
f y x y
20 給定兩向量
2 1 3 4 1 2
T T
u v 及，分解
1 2
u u u
為，其中
1
u
為
u
在v的垂直投影（orthogonal
projection），則下列選項何者錯誤？
向量 1
20 5 10
7 7 7
T
u
向量
2
u
的範數（norm）2
161
7
u
兩向量 2
,
u v
的外積（cross product）為零向量
兩向量
1 2
,
u u
的內積（inner product）為零