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106年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子組（選試英文）
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：60860
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目得以本國文字或英文作答。
一、設 。，其中 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
111
111
1110
)(
)(
)(
3
2
1
3
2
1
AA
tx
tx
tx
dt
dx
dt
dx
dt
dx
試求矩陣 A特徵值？（5分）
試求矩陣 A特徵向量？（5分）
試求 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(
)(
)(
3
2
1
tx
tx
tx
？（5分）
二、請證明 T：R3→R3，T(x, y, z) = (x + y, x ‒ y, z)是線性轉換（linear transformation）。（10 分）
三、已知 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在整個複數 z = x + iy 平面可解析，同時 f (0) = 0 且
u(x, y) = y3 ‒ 3x2y。求 f (z)。（10 分）
四、求下列微分方程式的通解： 0,1
44 2
2>+=+
′
−
′′ xxy
x
y
x
y（其中 2
2
,dx
yd
y
dx
dy
y≡
′′
≡
′）。
（15 分）
代號：60860
頁次：4
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：6608
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 在三維空間中，點（7, ‒4, ‒5）到平面‒7x + 4y ‒ 4z ‒19 = 0 的距離為何？
9
62 7 9
64 9
65
2 設向量 u∈R3, v∈R3, w∈R3，其中 R3 = {(x, y, z)|x∈R, y∈R, z∈R}，下列何者錯誤？
u．(u×v) = 0 u×v = v×u
u×(v×w) = (u．w) v ‒ (u．v)w (u+3v)×v = u×v
3 下列何者無反矩陣？
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
410
011
322
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
563
342
211
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
021
384
354
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
231
312
220
4 矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
b
a
10
11
101
A，且已知 trace( A) = 1, A= 0，則下列何者是 A的特徵值之一？
1− 31− 2 )51(
2
1+
5 已知 T : Rn→Rm為線性轉換（linear transformation）且其代表矩陣為 A，下列何者錯誤？
若rank(A) = n，則 T為一對一（one to one）
若A的行向量（column vector）可以生成（span）Rm，則 T為映成（onto）
若A為奇異矩陣（singular matrix），則 T為同構（isomorphic）
若A的行向量（column vector）彼此為線性獨立（linear independent），則 T為一對一
6 設矩陣 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
2/32/1
2/12/3
A，向量 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
3
x，則 A27x為何？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
0 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
3
1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
1
代號：60860
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－
3
7 求複變函數 455 iW += 之所有根（root）？
)16/(
8
050
π
i
eW =, )16/9(
8
150
π
i
eW =, )16/17(
8
250
π
i
eW =, )16/25(
8
350
π
i
eW =
)16/(
4
050
π
i
eW =, )16/9(
4
150
π
i
eW =, )16/17(
4
250
π
i
eW =, )16/25(
4
350
π
i
eW =
)8/(
4
050
π
i
eW =, )8/2(
4
150
π
i
eW =, )8/3(
4
250
π
i
eW =, )8/4(
4
350
π
i
eW =
)4/(
8
050
π
i
eW =, )4/2(
8
150
π
i
eW =, )4/3(
8
250
π
i
eW =, )4/4(
8
350
π
i
eW =
8 求∫−
π
θ
θ
0cos4
d之積分值：
4
π
5
π
10
π
15
π
9 求2
1
zz +在z = 0 之留數（residue）之值為何？
0.5 1 2 3
10 下列何者不為「尤拉-柯西」方程式（Euler-Cauchy Equation）？
0137
2=+
′
+
′′ yyxyx , ),( 2
2
dx
yd
y
dx
dy
y=
′′
=
′ 023
2=+
′′ yyx , ),( 2
2
dx
yd
y
dx
dy
y=
′′
=
′
0
2=+
′
+
′′ yxyxy , ),( 2
2
dx
yd
y
dx
dy
y=
′′
=
′ 059
2=−
′
+
′′ xyxyx , ),( 2
2
dy
xd
x
dy
dx
x=
′′
=
′
11 設微分方程式 ttxtx 3sin)(4)( =+
′′ 的解 )(tx 經過拉普拉斯（Laplace）轉換後為 )9)(4(
3
)( 22 ++
=
ss
sX ，下
列何者為正確之初始條件？
x(0) = 1, x'(0) = 0 x(0) = 0, x'(0) = 0 x(0) = 0, x'(0) = ‒1 x(0) = 0, x'(0) = 1
12 下列敘述何者正確？
044
2=+
′
+
′′ yyxyx 的通解為(c1+c2x)e- 2x，其中 c1, c2為任意常數
044
2=+
′
+
′′ yyxyx 的通解為(c1+c2 ln x)x- 2，其中 c1, c2為任意常數
045
2=+
′
+
′′ yyxyx 的通解為(c1+c2 ln x)x- 2，其中 c1, c2為任意常數
045
2=+
′
+
′′ yyxyx 的通解為 x
excxc 2
5
-
21 2
3
sin
2
3
cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+，其中 c1, c2為任意常數
代號：60860
頁次：4
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4
13 已知 t
eyyy 2
456 =+
′
−
′′ ，下列何者可為此微分方程式的解？
tt eey 5
32 += tt eey 52 32 += tt eey 5
33 += tt eey 52 33 +=
14 如以對中心點 x = 0 展開之 Frobenius 數列方式求解 02
22 =−
′
+
′′ yyxyx ，則其所得到的指示方程式（Indicial
equation）為何？
02
2=−r 02
2=−− rr 022
2=−+ rr 01
2=−+ rr
15 設微分方程式 0=+
′
+
′′ byyay , 0
)0( yy =, 0
)0( yy ′
=
′的級數解（series solution）為 ∑
∞
=
+
=
0!
)2(
)(
n
nn
n
xx
xy ，試
求常數 a、b、y0及0
y′之值，並判定下列何者正確？
a+b+y0+0
y′ = 1 a+b+y0+0
y′ = 2 a+b+y0+0
y′ = 3 a+b+y0+0
y′ = 4
16 將週期函數 f (t) = t，
π
π
<≤− t，週期為
π
2，展開成傅立葉複係數級數：
∑
∞
−∞=
=
n
int
e
n
tf 1
)( ∑
∞
−∞=
=
n
int
e
n
i
tf )( ∑
∞
−∞=
−=
n
intn e
n
i
tf )1()( ∑
∞
−∞=
+
−=
n
intn e
n
i
tf 1
)1()(
17 假設 f (t)的傅立葉轉換（Fourier Transform）式為 F(ω)，試求 f (3t)的傅立葉轉換為：
)
3
(
3
1
ω
F )3(3
ω
F )
3
(
ω
F )3(
ω
F
18 假設阿里山森林保護區共有 10 位職員，其中需要 5位職員負責巡邏森林，2位職員在辦公室裡負責行政
事務，而其他 3位職員支援嘉義市，試問：此 10 位職員被分為這 3組的方法有多少種？
2520 1260 840 630
19 連續隨機變數 X與Y之結合機率密度函數為（joint probability density function）
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧<<<<+
=
otherwise0,
20,10if,
4
1
4
3
),(
2
,
yxyyx
yxf YX ，試問下列何者正確？
8
5
][ =XYE 3
4
][ =XYE 1][ =XYE 6/5][ =XYE
20 假定 X為一隨機變數，其機率密度函數（density function）為 ∞<<−∞
+
−= x
x
xfX),
32
)3(
exp(
32
1
)(
2
π
，求
其期望值 E(X)為何？
‒3 ‒1 1 3
類科名稱：
106年公務人員特種考試司法人員、法務部調查局調查人員、國家安全局國家安全情報人
員、海岸巡防人員及移民行政人員考試
科目名稱：工程數學
測驗題標準答案更正
考試名稱：
電子組(選試英文)
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
BDDCCADBC
B #BDCAADAC
複選題數： 複選每題配分：
備 註： 第13題一律給分。
標準答案：答案標註#者，表該題有更正答案，其更正內容詳見備註。