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年公務人員特種考試外交領事人員外交行政人員考試、
101
年
公務人員特種考試國際經濟商務人員考試、
101
年公務人員特種考
試法務部調查局調查人員考試、
101
年公務人員特種考試國家安全
局國家安全情報人員考試、
101
年公務人員特種考試民航人員考
試、
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年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子組
科 目：工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：50660
頁次：4
－
1
甲、申題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
dx
xx
x
∫∞
++
022
2
)4)(1(
一、請應用留數定理（Residue Theorem）計算下列積分 。（15 分）
3
二、設 R：為→R一線性轉換（linear transformation），定義如下：
3
T
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
+=
+=
3213
322
211
53
2
axxxy
xxy
xaxy
（其中 為一常數） a
若
T
的反轉換（inverse transformation）存在，則常數 之值有何限制？（7分） a
a
設= 1，求
T
的反轉換。（8分）
三、假設有一曲線
C
如下：C kjtittR
v
v
v
v
1)sin()cos()( ++=：，其中
π
20 ≤≤
t
，求 ∫×
C
dF
v
v
l，
其中向量函數
l
kzjyixzyx
v
F
v
v
v
。（10 分）
++=),,
y(x)y =
0663 =−
′
+
′′
−
′′′ yyxyxyx
(
四、y為x的函數（ ），求下列微分方程式的通解：（10 分）
23
代號：50660
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：6506
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 對微分方程式的初始值問題（initial value problem）9
)(sin)1(1n 2
2
−
=+
′
++
′′ −
x
e
yxyxyx
x
1)2(
=
′
y
0)2(
=
y
， ，
可以確定的是 x在下列那一區間可保證有唯一解？
∞
-< x < ∞
∞
-3 < x < 3 0 < x < 3 -3 < x <
0=
+
′
+
′′ yyy
β
α
β
α
2 已知微分方程式 的通解為 ，試求
)2sin2cos()( 3xBxAexy x+= −、 之值，並判定下列何
者正確？（題中
β
α
、A及B為常數。）
、
13=+
β
α
15=+
β
α
17
=
+
β
α
19=+
β
α
022)
1
1( 2=+−+− xxy
xdx
dy 0
≠
x
3 下列何者為微分方程式 ，之通解？
，
，其中 c為常數 ，其中 c為常數
x
cexy += 2
2x
cxexy += 2
2
，其中 c為常數 ，其中 c為常數
x
ecxxy 2
2+= )2(
2x
cexy +=
136
11
2++
+
s
s
s
4 若之拉氏轉換為 Y(s)=
)(ty ，試求 ？
)(ty
[]
)2sin(4)2cos()( 3ttety t+= −)(2sin)3cos(4)( ttty
+
=
[]
)2sin()2cos(4)( 3ttety t+= −tt eety 23 4)( −− +=
x
exy
dx
dy
dx
yd 3
2
2
62 −
=+− 之解為 ，其中 a，b，c為任意常數，求 c值？
)( 1−
++= cxbxaey x
5 微分方程式
-2 2 3 6
tttxtxtx cos4sin2)(2)(2)(
+
=+
′
+
′′ ，下列何者為錯？
6 對於微分方程式
其穩態解（steady state solution）含有 其穩態解含有
tsin t
cos
te sin te cos
其暫態解（transient solution）含有 項 其暫態解含有 項
t−t−
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－
3
3
2
1
)( z
e
zf
z
−
=
7 請問 是複變函數
0=z的幾階極點（pole）？
1 2 3 4
iy
x
z+= izz +=−1
8 令複數 其幾何圖形為何？
，試問方程式
圓形 橢圓 直線 雙曲線
n
n
n
iz
i
zf )(
4
1
)(
0
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=∑
∞
=
)(zf
′
的級數在下面那一區域收斂（converge）？
9 令級數 ，請問其微分
24<+ iz 22<+ iz 22<z4<+ iz
2
0
π
≤≤ t
10 設C的參數表示式為 ； ；
)cos(2 tx =)sin(2 ty =3
=
z，其中 ，而其質量密度函數（mass density
function）為δ(x,y,z) = xy2，則其總質量為何？
3
16
8
3
π
5
33
11 試求向量場 的旋度（curl）？
kjiv )(2)sinh( 2
yzyzx −++−=
ji )cosh(2 zxy −+− ji )cosh(2 zxy
−
+
ji )cosh(2 zxy −− ji )cosh(2 zxy
−
−
−
kji zyx
+
+
12 若F為上之一常數向量，且 x, y, z 為變數，定義 G = ，則下列敘述何者錯誤？
3
R
(F G) = F ∇(G-F) = 3
∇••
×
∇
(F-G) = 0 ∇(∇G) = 3
•×
13 設矩陣 ，下列選項何者正確？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=30
41
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=100
100
100
30
41
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=100
100
100
30
41
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=100
100
100
30
141
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=100
100
100
30
131
A
14 設 ；則 為何？其中 為正整數。
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=20
11
Ak
k
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
k
k
20
211 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
k
k
20
121 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+−
k
k
20
)12(1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
k
20
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4
15 若,, 21
λ
λ
Ln
λ
是矩陣 A的特徵值（eigenvalue）， 是A內位置(i,j)的元素值，則下列何者為錯誤
？
nn ×ij
a
)Adet(
21 =××× n
λ
λ
λ
L
∑∑ ==
=
n
i
ii
n
i
ia
11
λ
若 ，則
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
2
1
00
00
00
e
e
e
eA
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
200
010
001
A
∑∑∑===
=
n
j
n
i
ij
n
i
ia
111
λ
16 若 ， ，試求
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=20
11
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=23
11
B？
32 BA
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1211
112 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1112
112 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−11
1112 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−111
112
17 設，若矩陣 特徵值（eigenvalue）分別為
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=21
23
Ab
=
2
λ
4
1
=
λ
2
λ
A，，下列何者可為特徵值 對應之特
徵向量（eigenvector）？
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
1
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1
2
18 兩連續隨機變數 、之結合機率密度函數（joint probability density function ）為
X
Y
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤≤+
=
其他
,0
30,10),(
6
1
),(
,
yxyx
yxf YX ，變異數（variance）Var(Y) =？
24
13
64
39
48
13
24
11
19 兩連續隨機變數 、之結合機率密度函數（joint probability density function ）為
，A為何？
X
Y
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤++
=其他,0
20,20,623
),(
22
,
yxAyxyx
yxf YX
32
23
32
23
−32
25
32
25
−
10
1
2
1
20 十元錢幣 A、B共2枚，A擲出後人像向上之機率為 ，B則為 ，若自此 2枚錢幣隨機挑選 1枚然後
擲出 2次，在擲出 2次皆為人像之前提下，被選之錢幣為 B之機率為何？
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類科名稱：
101年公務人員特種考試外交領事人員外交行政人員、國際經濟商務人員、法務部調查局
調查人員、國家安全局國家安全情報人員、民航人員、經濟部專利商標審查人員考試及
101年軍法官考試
科目名稱：工程數學（試題代號：6506)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案BDBAC BACBB DDDCC BABBD
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電子組(選試英文)