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臺灣警察專科學校專科警員班三十期（正期學生組）新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 設f (x) = x3 + 5x2 + 11x + 10 與g (x) = x4 + 3x3 + 6x 2 + ax + 5 之最高公因式為二次式，則實數 a的值為？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
2. 下列何者是 3的倍數？
(A) 7231 × 251 (B) 2163 + 7123 (C) 1243 − 2143 (D) 31999 + 1 。
3. 不等式 2
32
−
+
x
x≥ 1 的解集合為？
(A) {x | x ≥ 2 或x ≤ − 5} (B) {x | x ≥ − 5 且x ≠ 2}
(C) {x | − 5 < x < 2} (D) {x | x > 2 或x ≤ − 5} 。
4. 已知 a為整數，且 x4 + 4x3 + ax2 − 8x + 6 = 0 有兩個根的和為 0，則 a的值為？
(A) 5 (B) − 5 (C) 3 (D) − 3 。
5. 設
α
，
β
為x2 + 6x + 4 = 0 之二根，則(
α
+
β
)2之值為？
(A) − 4 (B) − 6 (C) − 8 (D) − 10 。
6. 已知 logx的尾數與 log0.12345 相同，logx的首數與 log67890 的首數相同，則 x為？
(A) 67890.12345 (B) 67890 (C) 12345 (D) 12345.67890 。
7. 在△ABC 中，已知 tanA．tanB = 1，則下列何者恆正確？
(A)
A
B=AC (B) ∠C = 90° (C) ∠A = 45° (D)
A
B=BC 。
8. 若sin 2 = a，則下列何者正確？
(A) 2
3< a < 1 (B) 2
2
2
3−<<− a (C) 2
2
2
1<< a (D) 2
3
2
2<< a 。
9. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C之三對邊長分別為 a,b,c，若滿足 3(a − b + c) = 14(sinA − sinB + sinC)，則此三角
形的外接圓半徑 R為？
(A) 3
14 (B) 3
7 (C) 14
3 (D) 7
3 。
10. 方程式 2πsinx = x的實根個數為？
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5 個。
11. 以下各平面中，哪一個與球面 x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − 19 = 0 相交所形成的圓面積最小？
(A) x + y + z = 0 (B) z = − 1 (C) y = 1 (D) x = 2y 。
12. 空間中一點 A(1﹐2﹐3)，關於平面 x − 2y + 3z = 4 的對稱點坐標為？
(A) ( 7
5﹐7
18 ﹐7
15 ) (B) ( 7
15 ﹐7
18 ﹐7
5) (C) ( 7
15 ﹐7
5﹐7
18 ) (D) ( 7
5﹐7
15 ﹐7
18 ) 。
13. 設A﹐
B
﹐C三點不共線，點P與A﹐
B
﹐C三點在同一平面上，且 34
A
PABAC=+
vvv
，令 AP 與
B
C之交點為
M
，
若
A
Mx=
v
A
ByAC⋅+⋅
vv
，
x
,y∈R，則 x為？
(A) 3
8 (B) 3
7 (C) 1
2 (D) 3
5 。
第1頁（請接背面）
14. 設點 P在球面 S：x2 + y2 + z2 = 9 上移動，點 Q在平面 E：2x − y − 2z = 15 上移動，則PQ 的最小值為？
(A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 13 。
15. 在空間中，直線 L：⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
+=
3
52
31
z
ty
tx
，t∈R，下列何者為真？
(A) L 與5x + 3y + z = 1 垂直 (B) L與z軸垂直
(C) L與xy 平面平行 (D) L與xy 平面垂直 。
16. 平面上有一個橢圓，已知其長軸平行於
x
軸，短軸的一端點為( − 4﹐0)，且其中一焦點為(0﹐4)，則此橢
圓長軸的長度為？
(A) 22 (B) 6 (C) 26 (D) 28 。
17. 自1～105之自然數中，任取一數，取到數字之和為 11 的自然數的機率為？
(A) 0.01300 (B) 0.01340 (C) 0.01355 (D) 0.01365 。
18. 若點 (, )Pa b 是橢圓
Γ
：1
916
22 =+ yx 和拋物線
Γ
′：xy 4
2−= 的一個交點，則下列何者也是
Γ
和'
Γ
的交點？
(A) (,)ab− (B) (, )ab
−
(C) (, )ba (D) (, )ba
−
。
19. 數列 n
a〈〉
滿足 11a=，1
1
nn
n
aa
n
+
+
= （1n
=
﹐2﹐3﹐…），則 30
a為？
(A) 10 (B) 90 (C) 60 (D) 30 。
20. 在y ≤ 2，2x − y ≥ 0，x + y ≥ 0 及5x − y ≤ 18 的條件下，則函數 x − 2y的最大值為？
(A) − 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 。
21. 矩陣
35
122
312
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎣⎦
經列運算化簡成為 10
01
a
b
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦，則？
(A) 0a>﹐0b> (B) 0a>﹐0b
<
(C) 0a
<
﹐0b< (D) 0a
<
﹐0b> 。
22. 有學生 10 人，（甲、乙、…、癸），其期考數學成績與該學期數學課缺課數，如下表所表示。
學生 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
缺課數 1233435630
成績 1009090807070606080100
設兩者的相關係數 r，則？
(A) − 1 ≤ r ≤ − 0.6 (B) − 0.6 < r < − 0.2 (C) 0.2 < r < 0.6 (D) 0.6 ≤ r ≤ 1 。
23. 某種疾病的檢驗方法不是百分之百正確：依過去之經驗知道，患有此疾病的人，檢驗能正確判斷的可能性
為0.9，不患有此疾病的人，則檢驗做了錯誤判斷的可能性為 0.05。假設一群人中已知 20％患有此疾病，
而從這一群人之中，任取一人加以檢驗，則檢驗判定患有此疾病的機率為？
(A) 0.032 (B) 0.22 (C) 0.784 (D) 0.92 。
24. 方程組
1
8361
431
xkyz
xyz
xy z
+−=
⎧
⎪+−=
⎨
⎪+− =−
⎩之解恰有一組，其中 2x
=
，則 k為？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
25. 設m為實數，若二次式 mx2 + (m − 1)x + (m − 1) > 0 對任何實數 x恆成立，則下列何者正確？
(A) m < −1 (B) m >1 (C) m > 1
3 (D) m< −1
3 。
第2頁（請接下一頁）
26. 設A﹐
B
﹐C為獨立事件，且 1
() 3
PA
=
，3
(| ) 4
PB A
′
=
，1
()
5
PB C
∩
=，試求 (( ) )PA B C∪∩之值為？
(A) 1
9 (B) 2
9 (C) 1
3 (D) 4
9 。
27. 若448yx x=−+
，在02x≤≤的條件下，則 y之最大值是？
(A) 6 (B) 8 (C) 16 (D) 22 。
28. 有關方程式 32
3460xxx−−+=，下列敘述何者正確？
(A)恰有兩個虛根 (B)恰有一個實根 (C)恰有兩個實根 (D)恰有三個不等實根 。
29. 若函數 3
() 3 2fx x x=−+
，則下列敘述何者正確？
(A) 0x=時， ()
f
x有極大值 2 (B) 1
x
=
時， ()
f
x有極大值 0
(C) 1x=− 時， ()
f
x有極大值 4 (D) 2x
=
時， ()
f
x有極大值 4 。
30. 若32
() 3 4fx x x px=+ + −
沒有極值，則
p
的範圍為？
(A) 0p> (B) 3p≥ (C) 0p
≤
(D) 3p
≤
。
貳、多重選擇題：（一）十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二） 每題五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全
部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 下列敘述哪些正確？
(A)若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋2n＋3，則＜an＞為等差數列
(B)若＜ak＞為等比數列，則＜ak
2＞為等比數列
(C)若ak＝5k＋3，則＜3ak＋2＞為等差數列
(D)若2a
k＋1＝ak＋a
k＋2，則＜ak＞為等差數列
(E)若＜ak＞、＜bk＞為等比數列，則＜ak＋bk＞為等比數列 。
32. 設f (x)＝ax，其中 a＞0，a≠1，x為實數，若 α,β為實數，則下列哪些正確？
(A) f (α＋β)＝f (α)＋f (β) (B)若f (α)＜f (β)，則 α＜β
(C) y＝f (x)之圖形必通過( 1 , 0 ) (D) 1
2
［f (α)＋f (β)］>
– f (α＋β
2
)
(E) y＝f (x)＝ax的圖形以 x軸為漸近線 。
33. 若a cos A＋b cos B＝c cos C，其中 a，b，c為△ABC 之三邊，則下列哪些正確？
(A)△ABC 為直角三角形 (B)△ABC 為等腰三角形
(C)可能∠A＝90° (D)可能∠B＝90°
(E)可能∠C＝90° 。
34. 空間中三點，A ( 3 , 3 , 0 )，B ( 1 , 2 , 2 )，C ( 4 , 2 , 2 )，平面 E：2x＋3y－6z＝1，下列敘述哪些為真？
(A) A點到平面 E的距離為 3
(B) A點對於平面 E的正射影點為 ( 17
7
, 15
7
, 12
7
)
(C) A點對於平面 E的對稱點為 ( 13
7
, 9
7
, 24
7
)
(D) △ABC 在平面 E上的正射影面積為 15
(E)過A、B、C三點之平面與平面 E的夾角為 θ，則 sinθ＝1 。
第3頁（請接背面）
35. 有5個不同禮品，全部分給甲、乙、丙三人，下列分法哪些正確？
(A)任意分，有 343 種 (B)甲恰得 1件，有 120 種
(C)乙恰得一件，有 80 種 (D)甲至少得一件，有 211 種
(E)每人至少得一件，有 150 種 。
36. 在重複丟一個公正硬幣 10 次的試驗中，下列敘述哪些是正確的？
(A)不可能出現 10 次反面 (B)出現正面次數的期望值為 5次
(C)恰出現 5次正面的機率為
1
2 (D)出現 6次正面的機率等於出現 4次正面的機率
(E)第10 次出現正面的機率為
1
2 。
37. 下列有關 x、y、z的一次方程組的增廣矩陣，哪些所表示的方程組恰有一組解？
(A)
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
13－26
0－102
(B)
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
4130
8264
(C)
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
－210－5
0231
0464 (D)
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1024
0－312
0103
(E)
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
110 5
022－6
303－6 。
38. 下列各函數，哪些在 x＝0處不可微分？
(A) f ( x )＝| x | (B) f ( x )＝[ x ] (C) f ( x )＝x | x | (D) f ( x )＝ x
(E) f ( x )＝x2
x + 1
。
39. 下圖為 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的大略圖形，則下列選項哪些正確？
(A) a＞0 (B) b＞0 (C) c＞0 (D) d＞0 (E) b2－3ac＞0 。
40. 設函數 f (x)＝x2＋x⌡
⌠
2
0
f (t)dt＋1，則下列哪些是正確的？
(A)⌡
⎮
⌠
2
0
f (t)dt＝ 14
3 (B)⌡
⌠
2
0
f (t)dt＝－ 14
3
(C) f (x)以x－3除之餘式為－4 (D) f (－1 )＝ 8
3
(E) f (x)＝0有相異的兩實根 。
第4頁
國文標準答案
題號 答 案
1 D
2 A
3 B
4 C
5 C
6 D
7 C
8 B
9 D
10 C
11 A
12 D
13 B
14 A
15 A
16 D
17 C
18 D
19 B
20 A
21 B
22 D
23 A
24 B
25 A
26 A
27 C
28 B
29 B
30 D
物理標準答案
題號 答 案
1 B
2 C
3 D
4 B
5 C
6 C
7 D
8 A
9 A
10 B
11 D
12 C
13 A
14 A
15 D
16 C
17 D
18 A
19 B
20 C
21 D
22 C
23 B
24 B
25 D
26 C
27 A
28 B
29 D
30 A
31 ACE
32 ABCD
33 BCD
34 ABD
35 ACDE
36 BCD
37 ABC
38 DE
39 BC
40 ABCE
化學標準答案
題號 答 案
1 A
2 B
3 B
4 D
5 D
6 D
7 A
8 D
9 A
10 C
11 A
12 D
13 A
14 D
15 D
16 D
17 B
18 D
19 C
20 D
21 B
22 D
23 B
24 B
25 B
26 D
27 B
28 A
29 D
30 A
31 ABD
32 BE
33 CE
34 ABCE
35 ACE
36 AE
37 ADE
38 ABCDE
39 BDE
40 ABE
數學標準答案
題號 答 案
1 C
2 C
3 D
4 B
5 D
6 C
7 B
8 A
9 B
10 C
11 C
12 A
13 B
14 A
15 C
16 D
17 B
18 B
19 D
20 D
21 C
22 A
23 B
24 A
25 B
26 B
27 C
28 D
29 C
30 B
31 ABCD
32 DE
33 ACD
34 BCE
35 CDE
36 BDE
37 DE
38 ABD
39 ACDE
40 BCE
英文標準答案
題號 答 案
1 C
2 A
3 D
4 C
5 B
6 B
7 A
8 D
9 A
10 B
11 B
12 C
13 B
14 D
15 A
16 C
17 A
18 D
19 C
20 B
21 D
22 B
23 C
24 A
25 D
26 A
27 D
28 C
29 C
30 B
31 BCE
32 ACE
33 ABE
34 BD
35 AC
36 BE
37 BCD
38 ADE
39 AB
40 ABCD