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教育部受託辦理 99 學年度國立高級中等學校教師甄選
數學科 答案（含試題）
第一部分：選擇題（每題4分，共 40 分）
( Ｃ )1. 平面上，設A(0,4)，B(0,9)，P在正向x軸上移動，設 APB
θ
∠
=，則tan
θ
之最大值為
(A) 5
6 (B) 1 (C) 5
12 (D) 7
5
。
( Ａ )2. 函數 3sin(3 )cos(3 )yxx
π
π
=+−是
(A)週期為 3
π
的奇函數 (B)週期為 3
π
的偶函數 (C)週期為 6
π
的奇函數 (D)週期為 6
π
的偶函數。
( Ｂ )3. 設有一球，其表面積以每秒1平方公分的變化率增加，則在半徑為3公分時，其體積的瞬間增加率為每秒多
少立方公分？
(A) 1
2 (B) 3
2 (C)2 (D) 8
3。
( Ｄ )4. 已知 2
π
θπ
<< ，則複數1coti
θ
+
的極式為
(A) 1[sin( ) cos( )]
sin i
θ
θ
θ
−+ − (B) 1[cos( ) sin( )]
sin 2 2
i
π
π
θ
θ
θ
−+ −
(C) 1[cos( ) sin( )]
sin 2 2
i
π
π
θ
θ
θ
−++ + (D) 13 3
[cos( ) sin( )]
sin 2 2
i
π
π
θ
θ
θ
−
−+ − 。
( Ａ )5. 小明上樓梯時可能一步上一階或一步上兩階，但不會連續兩步都上兩階。今小明走一個12階的樓梯，則上
樓梯的方式共有
(A)88 (B)89 (C)90 (D)91。
( Ｃ )6. 設n為自然數，且
32
3513
3
nnn
n
−+−
−為質數，則滿足上述條件之所有自然數n的總和為
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13。
( Ｄ )7. 設,,uvw
vvuv
是空間向量且 ()6uvw
⋅
×=
vvuv
，則三向量2,3 2,4vwuv w uw
+
−+ +
v
uv v v uv v uv
所張開的立體體積為
(A)54 (B)66 (C)72 (D)84。
( Ｃ )8. 已知三次函數 32
y
xaxbxc=+ ++之圖形與拋物線 2
y
x
=
之圖形交於相異三點 1
(1, )Py
−
、2
1
(, )
2
Qy、
33
(, )
R
xy，且PQ 垂直QR ，則abc
+
+=
(A)0 (B) 1
2 (C) 1
2
− (D) 1
4
−
( Ａ )9. 若某橢圓的兩焦點為(0,0) 、(0, 4) ，且此橢圓與直線 10xy
+
+= 相切，則此橢圓的長軸長為
(A) 26 (B) 23 (C) 22 (D) 17
( Ｄ )10. 22
1
lim
n
nk
k
nk
→∞ =+
∑=
(A)
()
ln 2 1+ (B) ln 2 (C) 4
π
(D) 1ln 2
2。
請注意：本試題共兩部分：選擇題 10 題，及綜合題二大題，共計 100 分。選擇題請用 2B 軟心鉛筆在答案卡劃記，
綜合題請用藍色或黑色鋼筆或原子筆在答案卷上作答。本科不可以使用電子計算器
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第二部分：綜合題
一、填充題：（每題 5 分，共 10 分）
1. 設ΔABC 是一個正三角形，圓 1
C 是 ΔABC 的內切圓，圓 2
C 與
A
B、
B
C及圓 1
C 相切，圓 3
C與
A
B、
B
C及
圓2
C相切，依此方式一直進行下去可以得到圓 1
C、2
C、3
C …。再依相同方式，可以得到圓 2
C
′
、3
C
′
…，以
及圓 2
C′′ 、3
C′′ …，如下圖所示。如果 ΔABC 的邊長是 a，則這些圓的面積總和為 2
11
96 a
π
。
2. 空間中一四面體的四頂點分別為 (0,0,1)A，(2,4,0)B，(0,0,0)C，(4,2,0)D，平面E將此四面體分成兩塊，其中
一塊的體積為原四面體的1
3，則E的方程式為57660xyz
−
−+=。
二、計算及證明題：（每題 10 分，共 50 分）
1. 若函數 5
() 6
2
x
fx a a=− +的反函數 1()
f
x
−的圖形通過點(5, 2) ，且在區間 23
(,)
4
∞
內恆有 1() 0fx
−
<
，試求反函數
1()
f
x
−。
2. 設
α
與
β
是相異兩實數，並且 0
α
β
>>。定義數列 n
a
<
>如下：
1
a
α
β
=
+；當 2n≥時， 1
nn
aa
α
β
αβ
−
=+−
(1)試證：
11nn
nnn
a
α
β
α
β
++
−
=−(5 分)
(2)求lim ?
n
na
→∞ =(5 分)
3. 設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於 1
2。
4. 已知對於所有的 0t≥，曲線 ()
y
fx
=
與x軸，y軸及直線
x
t
=
所圍成區域繞x軸旋轉所得之立體體積為 33tt
+
，試
求()
f
x。
5. 試敘述並證明：整係數多項式一次因式檢驗法。