1
新竹市
110學年度國中數學能力競賽 數學百分王 【試題卷】
備註：
1.根據各題題目中所規定的形式寫出正確答案，並將答案化成最簡分數及最簡根式。
2.請將答案填入【答案卷】正確格子中，每題4分，滿分100分。
3.作答時間：30分鐘。
1. 甲、乙、丙三個人中，一位是歌手，一位是演員，一位是主持人。
三條提示如下：
(1) 丙的年齡比演員小。
(2)甲和主持人的年齡不同。
(3)主持人的年齡比乙大。
則請問歌手是
____________。
2. 有十個不同的正整數，且這十個數的平均為 10，則這十個數字中最大的那個數的最大值
為
__________。
3. 滿足[ a ,
b
] 2021 的正整數數對 ( , )
a b 有
________組。（其中[ a ,
b
]為 a 、
b
的最小公倍數）
4. 有一個圓形跑道，宮泯、聖經兩人同時從起跑點各自以相等的速率反向跑步。已知宮泯的
跑步速率為聖經的
1.4 倍，則兩人再度同時回到起跑點時，已經先相遇過____________次
(從起跑點出發那一次不算)。
5. 有一個
3 8
的點陣列，現在用一筆畫的方式（只能是鉛直線
或水平線）將這些點全部連接一圈（意即頭尾相接，且每個
點只經過一次）
。右圖為一個範例。則除了右圖以外，還有
__________種畫法。
6. 若(101 − 𝑥)(99 + 𝑥) = −25000，則√(101 − 𝑥)
2
+ (99 + 𝑥)
2
＝
Hint：(𝑎 + 𝑏)
2
= 𝑎
2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
7. 已知實數
x
、
y
滿足方程式
1 1
5
x
y
x y
，則
y
x
x
y
__________。
8. 若 a、b 均為質數，且15𝑎
2
− 8𝑎𝑏 + 𝑏
2
= 299，則 3a＋b＝____________。
2
9. 如圖，𝐴𝐵
̅̅̅̅為半圓之直徑，志赫將𝐴𝐵
̅̅̅̅順時針旋轉30°至𝐴′𝐵
̅̅̅̅̅，再作出以𝐴′𝐵
̅̅̅̅̅為直徑之半圓，
且
︵
𝐴𝐴′ 是以 B 點為圓心，𝐴𝐵
̅̅̅̅為半徑所畫出的弧。若𝐴𝐵
̅̅̅̅=8，則灰色面積為____________平
方單位。
10. 如圖，∠AOE=∠BOE=15°，𝐸𝐹
̅̅̅̅//𝑂𝐵
̅̅̅̅，𝐸𝐶
̅̅̅̅⊥𝑂𝐵
̅̅̅̅，若𝐸𝐶
̅̅̅̅ = 2，則𝐸𝐹
̅̅̅̅=____________。
11. 如圖，△ABC 中，∠C=2∠B 且AD
̅̅̅̅⊥BC
̅̅̅̅，若AC
̅̅̅̅ = 13、CD
̅̅̅̅ = 5，則AB
̅̅̅̅ =____________。
12. 如右圖，將一個正五邊形的對角線全部畫出後，會在內部形成一個小
的正五邊形，則大的正五邊形和小的正五邊形邊長的比值為
__________。
13. 如右圖。大圓與小圓外切，且兩圓的半徑分別為 1 及 3。則
此兩圓和其中一條公切線所圍出灰色面積為
__________。
A
D
B
C
3
14. 若有甲乙丙丁四地，這四個地方形成一個邊長為 6 公里的正方形，今想修築連接道路，使
得這四地可以經由這些道路到任何一個地方。圖一為示意圖，道路總長為
18 公里。但若
稍作修改，可以得到一總長度更短的連接方式，如圖二所示，總長度為
12 2 公里。但是
事實上，還有一種更短的路徑，如圖三所示，其中每個線段的夾角為
120
，在此情況之下
的總長度為
__________公里
圖一 圖二 圖三
15. 方垛式四子棋是 A. P. Nienstaedt 在 1968 年推出的連棋類遊戲。如
右圖所示，棋盤採用柱狀結構，總共有
4 4
組合的棍子，每根棍子
可以串四個棋珠。當有一方的四枚棋珠在三維上，縱、橫、斜方向
連成一線時獲勝。場面上總共有六十四個棋珠的位置，請計算一下
這些位置可以形成
條不同的直線。
16. 有一長方形長為 8 公分，寬為 4 公分，則將此長方形沿著對角線對折後，重疊部分的三角
形面積為
__________平方公分。
17. 如圖，銳角三角形ABC中，𝐴𝐷
̅̅̅̅ = 8，𝐷𝐵
̅̅̅̅ = 2，𝐷𝐸
̅̅̅̅ = 4，𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 5，
且∠AED = 102° ，∠ADE = 46° ，則 ∠ABC = 度
18. 平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐸
̅̅̅̅ 平分 ∠𝐵𝐴𝐷，𝐵𝐹
̅̅̅̅平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 3𝐴𝐷
̅̅̅̅，若 𝐴𝐸
̅̅̅̅ = 8，𝐵𝐹
̅̅̅̅ = 6，
則平行四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷的面積為 。
4
19. 如下圖，請問 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠9 + ∠10 + ∠11 + ∠12 +
∠13 + ∠14 + ∠15 + ∠16 + ∠17 + ∠18 =__________度
20. 平面上有𝐴(0, 8)
、
𝐵(10, 6)
、
𝐶(12, 0) 及 𝐷 四個點，麻麻與瓜瓜在求 𝐴𝐶
̅̅̅̅ 與 𝐵𝐷
̅̅̅̅ 的交點
𝐸 時，瓜瓜誤求成 𝐴𝐷
̅̅̅̅ 與 𝐵𝐶
̅̅̅̅ 的交點 𝐹(4, 24)，麻麻誤求成 𝐴𝐵
̅̅̅̅ 與 𝐶𝐷
̅̅̅̅ 的交點
𝐺(40, 0)，則正確 𝐴𝐶
̅̅̅̅ 與 𝐵𝐷
̅̅̅̅ 的交點 𝐸 座標應為 。
21. 如圖，在 𝐿 上，有一平行四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 正在往右平移，以及一正方形 𝐸𝐹𝐺𝐻 正在往左
平移，已知𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 10，𝐴𝐷
̅̅̅̅ = 15 ， 𝐸𝐹
̅̅̅̅ = 8，∠𝐴 = 45°，則當平行四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 與正方
形 𝐸𝐹𝐺𝐻 重疊面積最大時，重疊面積為 。
22.
2021×178+110×199
2021×17+110×19
的整數部分為 𝑃
0
，其小數點後第一位數字是 𝑃
1
，小數點後第二位
數字是 𝑃
2
，小數點後第三位數字是 𝑃
3
，
……，則 𝑃
0
+ 𝑃
1
+ 𝑃
2
= 。
23. 求
8×4+3
4×3+3
×
16×6+3
12×5+3
×
24×8+3
20×7+3
×……×
100×27+3
96×26+3
之值＝
24. 某直角三角形之其中兩個高的長度分別√7、3，則第三個高的長度可能為____________。
(兩個答案，全對才給分)
25. 小婷想用大小不一的碎紙花拼貼做教室佈置，於是將紙張剪成24張放入盒內，再從中任意
取出幾張，取出的每張都剪成
24張並放回盒內，再重覆從中任意取出幾張，與前一次的張
數不需相同，且取出的每張都剪成
24張並放回盒內，一直循環此動作。已知剪完後大小不
一的碎紙花張數大約在
450～500張，則張數一共有____________張。
(兩個答案，全對才給分)
1
5
4
3
2
6
10
9
8
7
11
12
13
14
15
16
17
18
新竹市
110學年度國中數學能力競賽
數學百分王
答
案 卷
考場：
編號： 姓名：
備註：
1.每題4分，滿分100分。2.只須填答案。3.作答時間30分鐘。
4.
未使用黑筆或藍筆填答，該張答案卷以
0 分計算。
1
乙
10
4
19
720
2
55
11
6√13
20
(6, 4)
3
9
12
3 + √5
2
21
55
4
11
13
4√3 −
11
6
𝜋
22
21
5
7
14
6 + 6√3
23
53
3
6
300
15
76
24
3
4
√7或
3
2
√14
7
3
16
10
25
461 或 484
8
17
17
70
評分區
以下由閱卷老師填寫
初閱成績
複閱成績
9
16
3
𝜋
18
72
1
新竹市110學年度國中數學能力競賽 數學達人賽 【試題卷】
備註：1.第一部分為填充題，每題7分，只須填答案，請將答案填入答案卷正確格子內。
2.根據各題題目中所規定的形式寫出正確答案，並將答案化成最簡分數及最簡根式。
3.第二部分為計算證明題，每題15分，須在答案卷上寫出作答歷程與註明答案。
4.「第一部分」和「第二部分」作答時間合計60 分鐘。
【第一部分】
1. 老師找了 𝑛 個同學(座號分別為 1、2、3、⋯ ⋯、 𝑛 )，依照座號順時針繞成一圈，從
1 號同學開始順時針發號碼牌，一圈發完就接著再發一圈，直到將 1 ~ 400 的號碼牌依
順序繞著圈全部發完，若全部發完之後，手中所有牌的號碼總和是
100 的倍數則可以領
取精美禮品一份，已知座號
1 號同學，第一張牌拿到 1 ，第二張牌拿到了 25，請問：
哪兩個座號的同學可以拿到精美禮品？
(全對才給分)
2. 有 a、b、c 三個相異的正整數，已知 a
2
、
b
2
、
c
2
成等差數列且
c－a＝12，則此等差數列
之公差為
____________。
3. 如圖，梯形 ABCD 中，𝐶𝐷
̅̅̅̅//𝐴𝐵
̅̅̅̅，∠BAD＝90°，𝐴𝐵
̅̅̅̅＝8，對角線𝐴𝐶
̅̅̅̅平分∠BAD，E 點在
𝐴𝐵
̅̅̅̅上，且𝐴𝐸
̅̅̅̅＝2（𝐴𝐸
̅̅̅̅＜𝐴𝐷
̅̅̅̅），P 點在𝐴𝐶
̅̅̅̅上任意移動，則𝑃𝐸
̅̅̅̅ + 𝑃𝐵
̅̅̅̅之最小值為
____________。
4. 𝑥
2
+ 26𝑥 + 1 = 0之兩根為𝑎和𝑏，𝑥
2
+ 74𝑥 + 1 = 0之兩根為𝑐和𝑑，
則(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑐)(𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑑) = ____________。
C
B
A
E
P
D
25
1
26
2
27
3
2
5.
奇勳與尚佑玩預言遊戲，奇勳當預言家，遊戲道具有灰、白兩種卡片各18張，每種色卡
分別上寫有
x
2
或
x或1各6張，遊戲方法如下：
(甲)奇勳請尚佑將灰色卡與白色卡先各別洗牌後分堆放，再各別隨意分成前排、後排兩
堆。
(乙)奇勳再請尚佑將前排的灰、白兩堆色卡組合，得一組多項式
A
；再將後排灰、白兩堆
色卡組合，得另一組多項式
B
，過程中只有尚佑知道
A
＝
4x
2
＋
8x＋7，
B
＝
8x
2
＋
4x＋5。
奇勳預言：「讓我們一起見證奇跡！我知道後排白色卡表示的多項式減去前排灰色卡表示
的多項式後得到的多項式。」奇勳說出後，尚佑不敢置信奇勳竟然成功預言答案。
請問，奇勳預言出來的正確多項式為___________。
6. 已知
4
1
110
110
6
110
110
x
y
x
y
，則
x y
__________。
7. 如右圖，
DF
為正六邊形
ABCDEF
中的一條對角線。已知此
正六邊形的邊長為
2，且
P
點在
DF
上，則
AP PB
的最小值
為
__________。
8.
右圖為 2020 年奧運的標誌，其結構是在正 12 邊形
內，用下列三種邊長相同的菱形填入，每個菱形的四邊
中點連接形成一個塗色的矩形，若此標誌的正 12 邊形
邊長為 20 公分時，請問塗色部分面積為𝑎 + 𝑏√𝑐平方
公分，則𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 。
30°
60°
120°
150°
x
2
2
X
2
1
x
3
9.
一公差為 𝑠 的等差數列 𝐴
1
、
𝐴
2
、
𝐴
3
⋯ 𝐴
10
，及另一公差為 𝑡 的等差數列 𝐵
1
、
𝐵
2
、
𝐵
3
⋯ 𝐵
10
，兩數列的對應項相乘得到數列 𝐶
𝑛
= 𝐴
𝑛
× 𝐵
𝑛
，若 𝐶
4
= 24
、
𝐶
5
= 48
、
𝐶
6
= 52，請求 𝑠 和 𝑡 的乘積， 𝑠𝑡 = 。
10. 已知右圖中，E、F、G、H 分別為正方形 ABCD 四邊的中點，又
𝐴𝐵
̅̅̅̅＝a，則以 a 表示正方形 PQRS 的面積為
【第二部分】
【題組一】
雅米烘焙屋的地瓜麵包每天下午 3 點出爐到 6 點以原價販賣，晚上 6 點到 9 點打烊前以特價
出售，隔天早上 7 點後每個麵包再比特價便宜 5 元出清。若漢哲在下午 5 點放學時買了 4 個
地瓜麵包和家人分享，意猶未盡，晚上 8 點又買了 5 個當宵夜，比下午少花了 12 元，隔天早
上 7 點 20 分上學時，忍不住又買了 6 個當早餐，比宵夜又少花了 2 元，則：
(1)若一個麵包原價
x 元，請以 x 表示宵夜時一個麵包的價錢。
(2)一個地瓜麵包的原價為多少元？
【題組二】
如圖，𝐴𝐵
̅̅̅̅為圓 O 之直徑，直線 CD 與圓 O 相切於 C 點，𝐴𝐷
̅̅̅̅ 直線 CD，則：
(1)請以文字或數學式說明𝐴𝐶
̅̅̅̅平分 BAD。
(2)若𝐴𝐷
̅̅̅̅ =
24
5
，𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 6，則𝐴𝐵
̅̅̅̅長為何？
新竹市
110學年度國中數學能力競賽
數學達人賽
第一部分答案卷
考場
: 編號: 姓名:
備註：
1.第一部分為
填充題，只須填答案
。
2.「第一部分」和「第二部分」作答時間合計 60 分鐘。
第一部分，每題 7 分
1
8 號、20 號
2
96
3
2√17
4
4800
5
2𝑥
2
− 2𝑥 − 1
6
5
評分區
以下由閱卷老師填寫
7
2√7
8
1353
初閱成績
複閱成績
9
-
10
10
1
5
𝑎
2
新竹市
110學年度國中數學能力競賽
數學達人賽
第二部分答案卷
【題組一】
(1)
4𝑥−12
5
(2)
(
4𝑥−12
5
− 5) × 6 = 4𝑥 − 12 − 2
6
5
(4𝑥 − 12) − 30 = (4𝑥 − 12) − 2
1
5
(4𝑥 − 12) = 28
𝑥 = 38
【題組二】