高雄市立三民高級中學
112 學年度第一學期期末考數學科試題卷
科目代碼
: 003 班級: 座號: 姓名:
一、選填題：
(佔 80 分)
1.試問下列哪些敘述正確？
①
(多選)
(1)直線 4x + 3y − 1 = 0 的斜率為
3
4
(2)直線 y = 3x + 1 與直線 y = − 3x − 1 互相垂直
(3)A(1, − 3)，B( − 2,3)，則
AB
的斜率為
− 2
(4)若 2a + b = 5，則(a,b)恆在直線 2x + y = 1 的上方
(5)將直線 3x + y = 0 向右平移 2 單位，向下 1 單位得到直線 L，則 L 的方程式: 3x + y +5= 0。
2.下列哪些方程式的圖形是一個圓？
○
2 (多選)
(1)
2
2
1
x
y
(2)
2
2
1
2
x
y
(3)
2
2
4
4
0
x
y
x
y
(4)
2
2
4
4
9
0
x
y
x
y
(5)
1
3
2
4
0
x
x
y
y
。
3.坐標平面上，兩直線 L
1
：
ax + y = b 與 L
2
：
x − cy = d 的圖形如右，
下列哪些選項正確？
○
3 (多選)
(1)a < 0
(2)b < 0
(3)c < 0
(4)d < 0
(5)設
3
:
1
x
y
L
d
b
，則
3
L
的圖形不通過第四象限。
4.試問下列哪些敘述正確？
○
4 (多選)
(1) 過圓外一點必可作兩條切線與此圓相切。
(2)坐標平面上，聯立方程式
的圖形為兩直線交於一點。
(3)坐標平面上，通過（0，0）、（10，－23）、（－30，69）三點可得一圓方程式。
(4)坐標平面上，過圓上某一點的直線必為此圓的切線。
(5)坐標平面上，若（a－1）
2
＋（
b＋2）
2
＜
10，則沒有直線過點 P（a，b）且與
圓 C：（x－1）
2
＋（
y＋2）
2
＝
10 相切。
5. 坐標平面上
,
18
A a a
、
2, 6
B
、
7, 5
C
三點在同一直線上，則
a
○
5
○
6
○
7 。
10
23
1023
1023
10
23
x
y
x
y
＋
＝
＋
＝
6.坐標平面上，已知直線 L 的斜率為
2
3
且
x 截距為－2，若直線 L 的一般式為2x＋by＋c＝0 ，
則數對
(b，c)= (
○
8
○
9 ,
○
10 ) 。
7. 已知
4, 6
A
、
2, 2
B
、
6, 2
C
，則
ABC
△
圓方程式為
x
2
+ y
2
+ dx + ey + f = 0，則
d + e + f = ___
○
11
○
12
○
13 ___ _。
8.已知點
1, 0
P
到兩平行線
1
L
、
2
L
的距離相等，若
1
:
3
5
0
L x
y
，
2
:
3
0
L
x
y k
，
試求 k 的值
○
14 。
9.如下圖，假設此撞球桌長為 10單位，寬為 6單位（桌框寬度忽略不計）。若小米將球放在 P(2，2)的
位置，希望讓球碰上
y 軸對邊上 R 點，反射後進入洞 A(0，10)，
求
R 點坐標為 (
○
15 ,
○
16
○
17
○
18
) 。
10. 坐標平面上有兩點 A(5,5)、B(1,6)及直線 L：mx−y = 2m+1，若 L 與 AB 不相交，得 m 的最大可能
範圍為
a
○
19 ______。
11.設點
2, 2
P
與圓
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y
，若
Q 為圓 C 上的一個動點，試求 PQ 的最大值=
○
20
12. 一圓通過 A(0,1)與 B( − 3,4)，圓心在直線 L：2x + y + 5 = 0 直線上，且此圓的一般式為
x
2
+ y
2
+ dx + ey + f = 0，則 d + e + f = ______
○
21 ____。
。
13. 如右圖，直線
1
1
48
36
x
y
L
：
，圓
C 的半徑為 3。若直線 L
2
與直線
L
1
平行且圓
C 與二直線 L
1
、
L
2
皆相切，則
L
2
的
x 截距為_____
○
22
○
23 _______。
14. 若直線 x + 4y + p = 0 與圓 x
2
+ y
2
− 10x + 4y + q = 0 相切於(r,2)，則 p + q + r =
_____
○
24 _____。
15. 在坐平面上A( − 6,0)處有一個光源，將圓(x + 3)
2
+ (y − 1)
2
= 5投射到y軸上，則投射在y軸的
影子長為_____
○
25
○
26 _____。
16.坡度：以百分數表路面縱向傾斜之程度，亦即在路線中心線方向上，兩點間高程差與其平距比值
之百分數。例如：兩點平距
100 公尺，其高程差為 2.5 公尺，則該兩點間坡度為 2.5%，上坡為正，
下坡為負。為適應設計行車速率、地形區別以及慢車行駛等因素，據實驗所得最大縱坡度如表所
示。
設計行車速率
最大縱坡度（%）
（公里／時）
平原區
丘陵區
山嶺區
120
3
4
−
100
3
4
6
80
4
5
7
60
5
7
9
40
5
8
10
參考資料來源：蔡益超（
2003 年 10 月）。坡度名詞解釋。雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網測
繪學辭典。取自
http://terms.naer.edu.tw/detail/1297868/?index=1
符合表中規範，某丘陵公路設計行車速率最高為
60 公里／時，公路之高程差為 602 公尺，此段公路
若可一路攀升，試問該段公路（最低海拔至最高海拔）最短平距為
○
27 .
○
28 公里(以小數表示)
二、混合題：
(佔 20 分)
29-30 題為題組一，31-33 為題組二
題組一:將一張畫有直角坐標系的圖畫紙沿著直線摺疊一次，發現摺完後 A(4, − 5)與 B(8,3)重合，求
29.摺線所在的直線方程式為? (單選)4 分
(A) x − 2y = 2 (B) x + 2y = 4 (C) 2x − y = − 2 (D)2x +y = 3
30.承上題，C(1,4)會與哪一個點重合?
題組二:二元一次聯立不等式組
2
3
12
2
4
x
y
x
y
的解區域為
Γ，直線 L 的方程式為：y + 3 = m(x − 2)。
31. 畫出不等式組的解區域 Γ。
32.已知直線 L 恆過某定點 A，求此定點 A 坐標為
33.若直線 L 與解區域 Γ 相交，求 m 的範圍
高雄市立三民高級中學112學年度第一學期高一第一次期中考
科目
:數學科解答卷 一年_______班_______號姓名: _______
一、選填題：
(佔80分)
1.
(3)(4)
2.
(1)(2)(3)(5)
3.
(3)(4)(5)
4.
(1)(2)(5)
5.
11
6.
(－3,4)
7.
− 26
8. K=7
9.
R
26
(6,
)
5
10.
b − a = 9
11.
4
12.
d + e + f = 5
13.
a=38
14.
p + q + r = 4
15.
15
16.
8.6
二、混合題：
(佔 20 分)
29-30 題為題組一，31-33 為題組二
29. (B) x + 2y = 4。(4 分)
30.過 C(1,4)與 L 垂直的直線為 2x − y = − 2，此線與 L 的交點為(0,2)
故點
C 在 L 上的投影點為(0,2)，即對稱點為( − 1,0)。
31.
32.由點斜式知 A(2, − 3)。
33.
2
( 3)
5
3 2
AB
m
，又
2x + 3y = 12 的斜率為
2
3
故
2
5
3
m
。
解析
:
1. (1) 斜率為
4
3
。
(2) m
1
× m
2
= 3 × ( − 3) = − 9 ≠ − 1，故兩線沒有垂直。
(3)
3 3
2
1 ( 2)
AB
m
，選項正確。
(4) 直線 2x + y = 1 的上方為不等式 2x + y > 1，故選項正確。
(5)L 為 3(x − 2) + y = 0。故選(3)(4)。
2. (1)。(2)。(3)：原式為
2
2
2
2
8
x
y
。
(4)：原式為
2
2
2
2
1
x
y
。(5)。故選(1)(2)(3)(5)。
3. (1)
1
0
1
a
m
，a > 0。
(2) 由圖形知 L
1
與
y 軸交於(0,b)，b > 0。
(3)
2
1
1
(
)
0
m
c
c
，
c < 0。
(4) 由圖形知 L
2
與
x 軸交於(d,0)，d < 0。
(5)正確。故選(3)(4)(5)。
4.(1) ○： (2)○：兩直線不平行 ∴交於一點
(3)╳：
＝
69
0
30
0
－
（－ ）－
三點共線
(4)╳：可能為割線
(5)○：
P
（
a
，
b
）為圓內一點 ∴不會有直線過點
P
（
a
，
b
）且與圓
C
相切 故選(1)(2)(5)
5.
(
18) 6
5 6
12
1
( 2)
7 ( 2)
2
9
9(a+12)= (
2)
a
11
BA
BC
a
a
m
m
a
a
a
6. 直線 L x 截距為 2
，故與 x 軸交於
( 2,0)
，又斜率為
2
3
，
直線
L 點斜式為
2
(
2)
3
y
x
，經整理得一般式
2
3
4
0
x
y
。
7.
ABC
△
為直角三角形，則外接圓即是以
(4, 6)、( − 2, − 2)為直徑兩端點的圓，
其圓心為
4 ( 2) ( 2)
4
(
,
)
(1,1)
2
2
，直徑
2
2
(6 ( 2))
(4 ( 2))
10
，
得圓方程式為
2
2
2
2
2
(
1)
(
2)
5
2
4
20
0
x
y
x
y
x
y
，
即 d = − 2，e =− 4，f = −20 d + e + f = − 26。
8. 因為
1
2
,
,
d P L
d P L
，所以
2
2
2
2
1 0 5
1
1
3
1
3
k
1
6
k
，
7
5
k
或
（不合）
。
23
0
10
0
（－ ）－
－
9. R
26
(6,
)
5
10. 因為 L 與 AB 不相交，所以對 L 而言，A，B 在相同的半平面
即
A，B 代入 mx−y −2m−1 的值為同號
(5m-5-2m-1)(m-7-2m-1)>0
(3m-6)(-m-8)>0
解得
−8 則 b − a = 2 − ( − 8) = 10。 11. 2 2 : 1 2 9 C x y ，圓心 1, 2 O ， 將 2, 2 P 代入 C 中 2 2 1 0 9 ， 所以 P 在圓內，又 1 OP ， 故 P 到圓 C 的最大距離 1 3 4 ， 12. 因為圓心在直線 L：2x + y + 5 = 0 上， 所以設圓心 Q(t, − 2t − 5)， 因為 QA QB ， 所以 2 2 2 2 ( 0) (( 2 5) 1) ( ( 3)) (( 2 5) 4) t t t t 2 2 5 24 36 5 42 90 t t t t 5t 2 + 24t + 36 = 5t 2 + 42t + 90 18t = − 54 t = − 3， 得圓心 Q( − 3,1)，半徑 2 2 ( 3) 0 3 QA 圓方程式為(x + 3) 2 + (y − 1) 2 = 9 x 2 + y 2 + 6x − 2y + 1 = 0 d = 6，e = − 2，f = 1 d + e + f = 5。 L 1 3x + 4y = 144， 設 L 2 與 x 軸的交點為(a,0)，a < 48， | 3 144 | 6 38 5 a a 或 58（不合）。 14. L：x + 4y + p = 0 的斜率為 1 4 m ， 圓 C：x 2 + y 2 − 10x + 4y + q = 0 (x − 5) 2 + (y + 2) 2 = 29 − q，得圓心 Q(5, − 2) 切點 A(r,2) 線段 AQ 的斜率 2 ( 2) 4 5 5 r r 因為線段 AQ 垂直直線 L，所以 1 4 ( ) 1 6 4 5 r r 。 切點 A(6,2)在直線 L 上，代入 L 的方程式，得 6 + 8 + p = 0 p = − 14。 切點 A(6,2)在圓 C 上，代入 C 的方程式，得 36 + 4 − 60 + 8 + q = 0 q = 12。 故 p + q + r = 4。
13.
15. 設過 A( − 6,0)且與圓(x + 3)
2
+ (y − 1)
2
= 5 相切之切線的斜率為 m，
則切線方程式為
y − 0 = m(x + 6) mx − y + 6m = 0，
利用
d(圓心,切線) = 半徑，得
2
2
|
( 3) 1 6 |
5
( 1)
m
m
m
2
2
2
2
| 3
1|
5
| 3
1|
5
1
(3
1)
5(
1)
1
m
m
m
m
m
m
4m
2
− 6m − 4 = 0 2m
2
− 3m − 2 = 0 (2m + 1)(m − 2) = 0
1
2
m
或
m = 2 切線為
1
3
2
y
x
或 y = 2x + 12，
x = 0（y 軸）代入，得切線與 y 軸交於( − 3,0)或(12,0)，故影長為 12 − ( − 3) = 15。
16.假設該公路總長為 x 公尺，
則
602
7
100
x
⇒ 7x ≥ 60200 ⇒ x ≥ 8600（公尺）= 8.6（公里），
二、混合題：
29.所求為
AB
的中垂線
L
由
AB
的中點
4 8
5 3
(
,
)
(6, 1)
2
2
與
3 ( 5)
2
8 4
AB
m
可得中垂線的斜率為
1
2
，故 L 為 x + 2y = 4。
30.過 C(1,4)與 L 垂直的直線為 2x − y = − 2，此線與 L 的交點為(0,2)
故點
C 在 L 上的投影點為(0,2)，即對稱點為( − 1,0)。
31.
32. 由點斜式知 A(2, − 3)。
33.
2
( 3)
5
3 2
AB
m
，又
2x + 3y = 12 的斜率為
2
3
故
2
5
3
m
。