國 立 彰 化 高 中 109 學 年 度 第 一 學 期 高 二 期 末 考 數 學 科 模 擬 試 題 二
考試日期：110 年 1 月 14 日
考試範圍：平面向量全
班級：
姓名：
座號：
一、填充題：(每格 5 分，共 65 分)
1. 在
△ABC 中，x
−⇀
AB + (y + 3)
−⇀
CB + (x + 4)
−⇀
AC =
−
⇀
0 ，求數對 (x, y) =
。
2. 設
|−
⇀
a
| = 2，|
−
⇀
b
| = 3，|−
⇀
a +
−
⇀
b
| = 4，−
⇀
a ,
−
⇀
b 的夾角為
θ，求 cos θ =
。
3. 在
△ABC 中，AB = 3﹐AC = 5，BC = 7，D 為 BC 的中點，求中線 AD 的長度為
。
4. 已知點
P 是直線 L : x
− y + 2 = 0 上離圓 x
2
+
y
2
− 6x − 2y + 8 = 0 最近的點，求 P 點坐標為
。
5. 設
®
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
恰有一組解 x = 3, y = 1 ﹐求
ß
3b
1
x
− 2a
1
y + 4c
1
=
0
3b
2
x
− 2a
2
y + 4c
2
=
0
的解為
。
6. 平行四邊形
ABCD 中，E 為 AB 中點，F 在 AD 上，
且 AF : FD = 2 : 3，BF 與 CE 交於 P。
設
−⇀
AP =
α
−⇀
AB +
β
−⇀
AD，求數對 (
α, β) =
。
D
A
F
B
C
P
E
7. 在
△ABC 中，AB = 3
√
2, BC = 8, AC = 4
√
3，且 O, H 分別為
△ABC 的外心與垂心，
求
−⇀
AO
·
−⇀
AB +
−⇀
AH
·
−⇀
AC =
。
8. 求通過點
A(3, 4)，且與直線 L : x
−
√
3y = 2 之交角為
π
3
的直線方程式為
。
9. 設兩實數
s, t 滿足 s + t = 2，−
⇀
a = (
−1, 7),
−
⇀
b = (
−4, −2)，求
s−
⇀
a + t
−
⇀
b
的最小值為
。
10. 設直線
L 的參數式為
®
x = 1 + t
y = 2 + t
，兩點 A(4, 2), B(3,
−1)，P 為直線 L 上的動點，
求
△ABP 的最小值為
。
11. 設
A(2,
−1), B(0, 3)，P 為直線 x + y = 4 上的動點，求
−⇀
PA
·
−⇀
PB 的最小值為
。
12. 設
A(3, 9), B(
−3, −3), C(7, 2) 中，P 在 BC 上，且 △ABC 的面積是 △ABP 面積的
5
2
。
求直線 AP 的方程式為
。
13. 設四邊形
ABCD 的四個頂點 A(4, 1), B(3, 5), C(
−2, 3), D(−2, −3)，求此四邊形的面積為
。
第一頁、試題還有一頁
二、多選題：(每題 8 分，共 24 分)
說明：每題至少有一個正確選項，全對者得 8 分，恰好錯一個者得 4 分，恰好錯兩個者得 2 分，其餘不給分。
14.
設 −
⇀
a = (11, 21),
−
⇀
b = (
−9, 13)，下列哪些選項中的向量所張出之平行四邊形面積與
−
⇀
a ,
−
⇀
b 所張出之平行四邊形面積一樣：
(1)
2−
⇀
a ,
−
⇀
b
(2)
3−
⇀
a ,
−
−
⇀
b
3
(3) −
⇀
a +
−
⇀
b , −
⇀
a
−
−
⇀
b
(4) −
⇀
a +
−
⇀
b , 2−
⇀
a +
−
⇀
b
(5)
3−
⇀
a +
−
⇀
b , 2−
⇀
a +
−
⇀
b
15.
設
△ABC 的外接圓圓心為 O，且
−⇀
OA +
−⇀
OB +
√
3
−⇀
OC =
−
⇀
0 。選出正確的選項：
(1)
−⇀
OA
·
−⇀
OB = 0
(2)
−⇀
OA
·
−⇀
OC = 0
(3)
∠AOB = 120
◦
(4)
∠AOC = 60
◦
(5)
△ABC 的面積為
3 +
√
3
2
16.
給定二元一次聯立方程組
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
，並令
∆ =
a
1
b
1
a
2
b
2
,
∆
x
=
c
1
b
1
c
2
b
2
,
∆
y
=
a
1
c
1
a
2
c
2
。選出正確的選項：
(1) 若方程組有解，則
∆
̸= 0。
(2) 若
∆
x
̸= 0，則方程組必然無解。
(3) 若
∆ = 0，則方程組
a
1
x + b
1
y = 0
a
2
x + b
2
y = 0
有無限多解。
(4) 若方程組
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
有解 x = 1, y = 2，則
∆
̸= 0。
(5) 若方程組恰有一解，則
b
1
x + a
1
y = 3
b
2
x + a
2
y = 5
也恰有一個解。
三、計算題：(共 11 分)
說明：請詳細說明你的作答理由，未說明者，以 0 分計。
17. 設
k 為實數，聯立方程組
ax + 2y = 2x
3x + ay = y
。
(1) 若方程組恰有一解，求
a 的範圍，與方程組的解。(3 分)
(2) 若方程組有第一象限的解，求
a 的值。(4 分)
(3) 若方程組有第三象限的解
(
α, β)，求
α
2
+
β
2
αβ
的值。(4 分)
本試題結束
國立彰化高中 109 學年度第一學期高二第一次期中考數學科答案卷
考試範圍：三民版 11
∼22
班級
姓名
座號
分數
一、填充題：(每格 5 分，共 50 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、多選題：(每題 6 分，共 18 分)
11
12
13
三、計算作圖證明題：(配分見各題，共 32 分)
14.
15.
16.
t
y
O
3
π
2
1
2
3
−1
−2
−3
17.
(1)
(2)
t
y
O
π
2
π
1
2
3
−1
−2
−3
18.
19.
t
y
O
3
π
2
1
2
−1
−2
國立彰化高中 109 學年度第一學期高二第一次期中考數學科答案卷
考試範圍：三民版 11
∼22
班級
姓名
座號
分數
一、填充題：(每格 5 分，共 50 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、多選題：(每題 6 分，共 18 分)
11
12
13
三、計算作圖證明題：(配分見各題，共 32 分)
14.
15.
16.
t
y
O
3
π
2
1
2
3
−1
−2
−3
17.
(1)
基線：y =
−1、振幅：
2
、週期：
π、相位角：
π
2
(2)
t
y
O
π
2
π
1
2
3
−1
−2
−3
y =
−1
18.
19.
t
y
O
π
1
2
−1
−2
y = cos 2x
y = 0.5
|x|
7 個交點
一、填充題：
1.
(
−2, −1)
2.
−5
2
3.
√
19
2
4.
(2, 2)
5.
x =
−4
3
, y = 6
6.
α =
7
12
、
β =
1
6
7.
10
8.
x +
√
3y = 3 + 4
√
3 或 x = 3
9.
2
√
10
10.
3
√
10
11.
−3
12.
5x
− y = 6
13.
29
二、多選題
14.
145
15.
235
16.
1234
三、計算題
17.
(1) a
̸= 4 且 a ̸= −1，其解為 (0, 0)
(2)
a =
−1
(3)
−2
17. (1) 當
k
̸= 2 且 k ̸= −1，則聯立方程式恰有一組解
為 x =
4
k + 1
，y =
1
k + 1
(2) 當
k = 2，則聯立方程式為無限多組解，
解為 x = t，y =
−1 + t (t ∈ R)。
(3) 當
k =
−1，則聯立方程式為無解。