國 立 彰 化 高 中 109 學 年 度 第 一 學 期 高 二 期 末 考 數 學 科 模 擬 試 題 一
考試日期：110 年 1 月 13 日
考試範圍：平面向量全 — 講義題
班級：
姓名：
座號：
一、填充題：(每格 4 分，共 68 分)
1. 右圖中的六角星形是由 12 個小正三角形所拼接而成，設 −
⇀
a =
−⇀
OA,
−
⇀
b =
−⇀
OB。
試用 −
⇀
a 與
−
⇀
b 表示向量
−⇀
OP =
。
O
−
⇀
b
−
⇀
a
A
B
P
Q
R
2. 已知
∆ABC 中，AB = 5、AC = 8，D 為 BC 上一點且 AD 為
∠BAC 的角平分線。
設
−⇀
AD =
α
−⇀
AB +
β
−⇀
AC，求數對 (
α, β) =
。
3. 右圖中
−⇀
AP =
1
5
−⇀
AB +
2
5
−⇀
AC，且直線 AP 交 BC 於 D 點。
求
∆ABP 面積 : ∆ABC 面積為
。
B
D
C
P
A
4. 如圖，在
∆ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD =
2
5
AB，
且 AE : EC = 4 : 3，CD 與 BE 交於 P 點。
設
−⇀
AP =
α
−⇀
AB +
β
−⇀
AC，求數對 (
α,β)=
。
D
B
C
E
A
P
5. 設 −
⇀
a = (2, 6)、
−
⇀
b = (1, 1)，t 為實數，求
−
⇀
a + t
−
⇀
b
的最小值為
。
6. 右圖
∆ABC 中，AB = 5，BC = 4，CA = 6，
∠A 之平分線交 BC 於 D，I 為 ∆ABC 內心。
試將
−⇀
AI 表示為
−⇀
AB 與
−⇀
AC 的線性組合
。
I
C
A
B
D
7. 設
△ABC 的三邊長為 AB = 5，BC = 6，CA = 7，求
−⇀
AB
·
−⇀
BC =
。
8. 求點
(3, 2) 對直線 4x
− 3y = −9 的對稱點坐標為
。
9. 已知通過點
(2, 2)，且與直線 L : 3x + y = 3 之交角為
π
4
的直線有兩條，
試寫出其中斜率為正之直線方程式為
。
10. 求兩直線
L
1
: 3x + y = 3 與 L
2
: 2x
− y = −1 的鈍角角平分線方程式為
。
11. 如右圖，一根細繩穿過兩個定滑輪
A, B，且兩
端分別繫有 3 公斤與 4 公斤的重物。現在兩個
滑輪之間的繩上掛一個 6 公斤的重物，可得到
平衡狀態。
求 cos
∠AOB =
。
A
B
3
4
6
O
第一頁、試題還有一頁
12. 求
31
55
95 173
=
。
13. 設
L
1
: ax + by = 10 與 L
2
: ax + by =
−5，L
1
通過點 (1, 2)。求直線 L
1
與 L
2
之距離的最大值為
。
14. 設
a
1
b
1
a
2
b
2
=
2,
b
1
c
1
b
2
c
2
=
3,
c
1
a
1
c
2
a
2
=
4，則聯立方程組
a
1
x + 2b
1
y =
−3c
1
a
2
x + 2b
2
y =
−3c
2
的解為
。
15. 已知實數
x, y 滿足 4x + 2y = 15，求當 4x
2
+
y
2
有最小值時，數對 (x, y) =
。
16. 將 −
⇀
a = (3, 4) 分解成 −
⇀
c ,
−
⇀
d 的和，其中 −
⇀
c 與
−
⇀
b = (4, 2) 平行，
−
⇀
d 與
−
⇀
b 垂直。求
−
⇀
d =
。
17. 設
A(1, 2),B(3,
−5)，B 是 AP 上一點，且 AP : AB = 3 : 1，若用參數式表示線段 BP 為
x = 1 + 2t
y = 2
− 7t
，
則 t 的範圍為
。
二、多選題：(每題 6 分，共 12 分)
說明：每題至少有一個正確選項，全對者得 6 分，恰好錯一個者得 4 分，恰好錯兩個者得 2 分，其餘不給分。
18.
設 A, B, C 是平面上不共線三點。下列哪些選項中的 P 點在
△ABC 內部 (不含邊上)：
(1)
−⇀
AP =
2
5
−⇀
AB +
2
5
−⇀
AC。
(2)
−⇀
AP =
−1
5
−⇀
AB +
2
5
−⇀
AC。
(3)
−⇀
AP =
1
4
−⇀
AB +
3
4
−⇀
AC。
(4)
10
−⇀
AP = 3
−⇀
AB + 4
−⇀
AC。
(5)
8
−⇀
AP
− 3
−⇀
AB
− 4
−⇀
AC =
−
⇀
0 。
19.
給定二元一次聯立方程組
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
，並令
∆ =
a
1
b
1
a
2
b
2
,
∆
x
=
c
1
b
1
c
2
b
2
,
∆
y
=
a
1
c
1
a
2
c
2
。選出正確的選項：
(1) 若
∆
̸= 0，則方程組必然有解。
(2) 若
∆
x
=
∆
y
=
0，則方程組必然有解。
(3) 若方程組有解，則
∆
̸= 0。
(4) 若方程組除了
x = 0, y = 0 之外還有其他解，則
∆ = 0。
(5) 若方程組有兩個解
x = 1, y = 2 與 x = 2, y = 1，則直線 L
1
: a
1
x + b
1
y = c
1
的法向量為 (1,
−1)。
三、計算題：(每題 8 分，共 24 分)
說明：請詳細說明你的作答理由，未說明者，該題以 0 分計。
20. 設
k 為實數，試用 k 值討論聯立方程組
(k + 2)x
− 4y = 4
x + (k
− 3)y = 1
的解。
21. 設
P 為
△ABC 內部一點，
−⇀
PA + 2
−⇀
PB + 3
−⇀
PC =
−
⇀
0 ，
−⇀
PA
·
−⇀
PB =
−4，
−⇀
PB
·
−⇀
PC =
−2，
−⇀
PC
·
−⇀
PA =
−8
3
，
求 (1)
|
−⇀
PA
|。
(2)
△PAB 的面積。
22. 右圖是兩個不平行的非零向量 −
⇀
a ,
−
⇀
b 。
試證明：
|−
⇀
a +
−
⇀
b
|
2
+
|−
⇀
a
−
−
⇀
b
|
2
=
2
|−
⇀
a
|
2
+
|
−
⇀
b
|
2
−
⇀
a
−
⇀
b
−
⇀
a +
−
⇀
b
−
⇀
a
−
−
⇀
b
本試題結束
國立彰化高中 109 學年度第一學期高二第一次期中考數學科答案卷
考試範圍：三民版 11
∼22
班級
姓名
座號
分數
一、填充題：(每格 5 分，共 50 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、多選題：(每題 6 分，共 18 分)
11
12
13
三、計算作圖證明題：(配分見各題，共 32 分)
14.
15.
16.
t
y
O
3
π
2
1
2
3
−1
−2
−3
17.
(1)
(2)
t
y
O
π
2
π
1
2
3
−1
−2
−3
18.
19.
t
y
O
3
π
2
1
2
−1
−2
國立彰化高中 109 學年度第一學期高二第一次期中考數學科答案卷
考試範圍：三民版 11
∼22
班級
姓名
座號
分數
一、填充題：(每格 5 分，共 50 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、多選題：(每題 6 分，共 18 分)
11
12
13
三、計算作圖證明題：(配分見各題，共 32 分)
14.
15.
16.
t
y
O
3
π
2
1
2
3
−1
−2
−3
17.
(1)
基線：y =
−1、振幅：
2
、週期：
π、相位角：
π
2
(2)
t
y
O
π
2
π
1
2
3
−1
−2
−3
y =
−1
18.
19.
t
y
O
π
1
2
−1
−2
y = cos 2x
y = 0.5
|x|
7 個交點
一、填充題：
1.
−−
⇀
a
− 2
−
⇀
b
2.
Ä 8
13
,
5
13
ä
3.
2 : 5
4.
α =
2
9
、
β =
4
9
5.
t =
−4、最小值 2
√
2
6.
−⇀
AI =
2
5
−⇀
AB +
1
3
−⇀
AC
7.
−6
8.
Å−9
5
,
28
5
ã
9.
2x
− y = 2
10.
(3
− 2
√
2)x + (1 +
√
2)y = 3 +
√
2
11.
11
24
12.
138
13. 最大值
3
√
5
2
14.
x =
9
2
，y = 3
15.
Å
15
8
,
15
4
ã
16.
(
−1, 2)
17.
1
≤ t ≤ 3
二、多選題
18.
145
19.
124
三、計算題
20. (1) 當
k
̸= 2 且 k ̸= −1，則聯立方程式恰有一組解
為 x =
4
k + 1
，y =
1
k + 1
(2) 當
k = 2，則聯立方程式為無限多組解，
解為 x = t，y =
−1 + t (t ∈ R)。
(3) 當
k =
−1，則聯立方程式為無解。
21. (1)4 (2)4
22. pass