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101
年公務人員高等考試三級考試試題
代號：
類 科： 電力工程、電子工程、電信工程
科 目： 工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
（請接背面）
35920
36020
36120 全一張
（
正面
）
，
甲、 申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、若2
)( xxf =
π
π
≤≤−
x
。
求：
)(x
f
定義於
[]
π
π
,−的傅立葉級數（Fourier series）（9分）
∑
∞
=12
1
nn（3分）
∑
∞
=
+
−
12
1
)1(
n
n
n（3分）
二、
若
λ
是一個非奇異（nonsingular）矩陣 A的特徵值（eigenvalue），X是
λ
對應的特徵向
量（eigenvector），請證明
λ
1及X分別是 1
−
A
的特徵值及其對應的特徵向量。（10 分）
若，請用其最大的特徵值驗證
的結果。（5分）
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
=301 121 200
A
三、藉由考慮級數∑收斂性，證明
∞
=1n
n
z之∑0
∞
=+−
−
=
12
2
cos21
cos
cos
n
nrr
rr
nr
θ
θ
θ
，1
r
<
<
。
2=−+ ，
（10 分）
四、解(條件為xydxdxdyx 2))(1 1)0(
=
y
。（10 分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：2303
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 解微分方程式 ；其中初值
022 =+
′
−
′′ yyy 3)0(
−
=
y , 0
2
1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
y。
tey tcos3−= ty cos3
−
=
tey tcos3 −
−= ty sin3
−
=
2 下列何者可為微分方程式 0)/2/()/2/( 2222 =+++++ dyyxyxdxxyyx 之積分因子？
xy 1/xy
2
x2
y
3 已知 kzjxiyF
r
r
r
r
333 ++= ，求出 dAnF
s
r
r
∫∫ ⋅之值，其中 , , ,
44 22 =+ yxS：0≥x0
≥ybz
≤
≤
0。
3
2b
π
3
2
1b
π
2
2
1b
π
3
8
1b
π
4 令v
r
為一常數向量， kzjyixu
r
r
r
r
++= ，則 )()( vuuv
r
r
r
r
−×∇+⋅∇ 等於多少？
0 vu
r
r
+ u
r
v
r
5 橢圓 在點
4)1(4 22 =−+ yx )
2
12
,2( +
P的切線為何？
jtit rr )1
2
1
()1(2 +++− jtit
r
r
)12(
2
1
)1(2 +++− jtit
r
r)1()21(
2
1++−+ jtit
r
r
)12()1(
2
1+++−
6 若 ，請求出 ？
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=211 232 112
A=−+− IAAA 4117 23
0 I（單位矩陣 identity matrix） A
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2714 17134 51112
101
年公務人員高等考試三級考試試題
代號：
類 科： 電力工程、電子工程、電信工程
科 目： 工程數學
35920
36020
36120 全一張
（
背面
）
7 試問二次式（quadratic form）： 在
8644 21
2
2
2
1=+− xxxx
−
),( 21 xx 平面上是那一種曲線？
圓（circle） 橢圓（ellipse） 雙曲線（hyperbola） 拋物線（parabola）
8 設 為下列聯立方程組之解，
321 ,, xxx
2232
45
03
321
321
321
=++−
−=++
=−−
xxx
xxx
xxx
則等於多少？
321 xxx ++
4
1
−2
1
6 3
2
9
9 試求函數 22 )1( 1
)( +
=s
sF 的反拉普拉斯轉換（inverse Laplace tra nsform）。
)cos(sin
2
1ttt + )cos(sin
2
1ttt − )sin(cos
2
1ttt − )sin(cos
2
1ttt +
10 ，下列何者為 的拉普拉斯轉換 ？
⎩
⎨
⎧
≥
<
=3if,
3if,0
)( 2tt
t
tg )(tg )}({ tgL
s
e
s
ss 3
23 )
962
(++ s
e
s
ss 3
23 )
642
(++ s
e
s
ss 3
23 )
962
(−
++ s
e
s
ss 3
23 )
642
(−
++
11 反拉普拉斯轉換 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
52
1
2
1ss
L等於下列何者？
)1(2sin −t)2cos( tet)2cos( te t−)2sin(
2
1te t−
12 有一函數
π
+= xxf )( ，其中
π
π
<<−
x
且)()2( xfxf
=
+
π
，求其傅立葉級數為何？
∑
∞
=
−=
1sin)cos
2
()( nnxn
n
xf
π
∑
∞
=
−+= 1sin)cos
2
()( nnxn
n
xf
ππ
∑
∞
=
=
1sin)cos
2
()( nnxn
n
xf
π
∑
∞
=
+=
1sin)cos
2
()( nnxn
n
xf
ππ
13 利用傅立葉級數的觀念求出等式 ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−
kk
t
T
n
i
neckTt
π
δ
2
)( 中的值，其中
n
c)(t
δ
為Dirac delta 函數，T是固定的週期。
T
1
T
1
−
T
2
T
2
−
14 定義函數 的傅立葉轉換（Fourier transform）為 ，其中
)(tf ∫∞
∞−
−
=dtetfF ti
ω
ω
)()( 1−=i。求 )sin()( 0ttf
ω
的傅立葉轉換為何？
))()((
200
ωωωω
−−+ FF
i ))()((
2
100
ωωωω
−−+ FF ))()((
2
100
ωωωω
−++ FF ))()((
200
ωωωω
−++ FF
i
15 級數 ∑
∞
=
−
−
10 )5(
10)1(
n
n
n
nx的收斂半徑（radius of convergence）為何？
1/10 1/5 10 10
16 求 ？
∫=dzzz )3cos()3sin(
cz +3sin
6
12
cz +3sin2cz +3sin6 2cz +3sin3 2
17 求=
dz
daz？
z
a aazln aln aazln/
18 極座標之二維位能函數（potential function）),(
θ
ru 滿足 Laplace’s 方程式 0
1
)(
12
2
2
2=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∇
θ
u
r
r
u
r
rr
u，若u與
θ
無關，亦即
，則下列何者可能為其解？
)(ruu =
r
u1
= ru ln
=
r
eu −
=r
reu −
=
19 給定一個隨機變數 X，已知期望值（mean）
[
]
2
=
XE ，
[
]
5)4(
=
−
XXE ，則
X
412 −的變異值（variance）為何？
4 13 17 144
20 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為 50
2
50
1
)( x
exf −
=
π
，∞<
<
∞
−
x
。則 3
X
的期望值（mean）為何？
0 3 25 50
類科名稱：
101年公務人員高等考試三級考試暨普通考試
科目名稱： 工程數學(試題代號：2303)
題 數： 20題
考試名稱：
標準答案：答案標註#者，表該題有更正答案，其更正內容詳見備註。
測驗題標準答案更正
題號
答案AC#DB BCBBC DBAAD ABBDA
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程、電信工程
備 註： 第3題一律給分。