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109年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
醫學工程
、
電力工程
、
電子工程
、
電信工程
科 目
：
工程數學
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：
37420
3
8
1
20
-
38320
頁次：
3
－
1
甲、申論題部分：（50分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、求 2
2
4 4
y y y x x
x x
，for x> 0，的通解（general solution）。（10分）
二、求3
(2 )
H t
的拉普拉斯轉換（Laplace transform），其中H(t)定義為：
0 if 0
( )
1 if 0
t
H t
t
。（5分）
三、若 1i
i a ib
，求
a
及
b
。（5分）
四、讓
ˆ
ˆ
ˆ
3
i j k
u及
ˆ
ˆ ˆ
2
i j k
v，其中
ˆ
i
、
ˆ
j
及
ˆ
k
為單位向量，則u向v投影
的長度為何？（5分）
五、x為一連續隨機變數，其密度函數f為( )
x
f x ae
，其中a為一常數，
0
x
。求機率P(1 x2)=？（5分）
六、
1 0 1
0 1 2
2 1 0
A
求A的行列式值（determinant）。（5分）
求A所有特徵值（eigenvalues）及其對應之特徵向量（eigenvectors）。（10分）
求A的零空間（null space）。（5分）
乙、測驗題部分：（50分） 代號：2374
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1下列何者為以(1,2,2),
(0,1, 2)
,(1,4,1),(2,5,5)為頂點之平行四邊形的面積？
144
144
86
86
代號：
37420
3
8
1
20
-
38320
頁次：
3
－
2
2設平面 1
: 2 2 3
S x y z
、平面 2
:2 4 4 7
S x y z
，則平面
1
S
與平面
2
S
之最短距離為何？
1/6 124
3設A為4×4的矩陣，若A的行列值
det( ) 2
A
，則
det( 2 )
A
之值為何？
4 −432 −32
4設矩陣
1 0 2
0 1 1
3 2 0
A
之反矩陣 1
a b c
A d e f
g h i
，求a+e+i=？
0 −1
9
4
9
4
5若轉換函式
2 2
:
T R R
可表示為
( , ) (2 ,3 4 )
T x y x y x y
，則其逆轉換 1
(5,6)
T為何？
(14/5, −3/5)(16,39) (1/16,1/39) (39,16)
6令
1 3
2 0
A，D為對角矩陣且 1
D X AX
，求方陣X：
1 3
1 2
1 1
5 5
3
2
5 5
3 1
2 1
3
2
5 5
1 1
5 5
7下列何者是1+i的四次方根？
1/8
2 cos sin
16 16
i
1/8
2 cos sin
8 8
i
1/4
2 cos sin
4 4
i
1/4
2 cos sin
2 2
i
8在複數空間
z x y
i
，化簡
6 2
1
i
i
：（其中
f(z)
為對複數函數
f(z)
取共軛複數（complex conjugate）
以及
1
i
。）
4 2
i
4 2
i
4 2
i
4 2
i
9求複數積分
2
1
z
C
ie dz
z i
？（其中積分路徑C為
1 5
z
之逆時針方向圓周。）
2 (cos1 sin1)
e i
2 (cos1 sin1)
e i
(cos1 sin1)
e i
(cos1 sin1)
e
10 下列複數級數何者為發散？（其中
1
i
。）
0
(1 )
2
n
n
n
i
0
(1 )
!
n
n
i
n
0
1
2
n
n
i
2
0
1 ( 1)
( 1)
n
n
in
n
11 求解微分方程式
2
2
1.25 0.875 0
d y dy y
dx dx
：
0.5 1.75
1 2
x x
y c e c e
0.5 1.75
1 2
x x
y c e c e
3.5 0.25
1 2
x x
y c e c e
3.5 0.25
1 2
x x
y c e c e
代號：
37420
3
8
1
20
-
38320
頁次：
3
－
3
12 2 2 1
3 0
x xy x y y
為正合（exact），則
=？
−2−1 01
13 求微分方程式 (4) (3) (2) (1)
4 7 6 2 0
y y y y y
的通解：（其中 ( ) n
n
n
d y
y
dx
。）
2 3
1 2 3 4
x x x x
c e c xe c x e c x e
1 2 3 4
cos sin
x x x x
c e c xe c e x c e x
1 2 3 4
cos sin
x x x x
c e c xe c e x c e x
1 2 3 4
cosh sinh
x x
c e c xe c x c x
14 將Bessel equation 2 2 2 2
( ) 0
x y xy k x v y
（其中v、k為常數）化成Sturm-Liouville之形式為
( ) 0
d dy
p x x q x y
dx dx
，下列何者正確？
2
p x x
2
2
x
p x x
p x x
1
2
p x x
15 利用拉氏轉換求 2
0cos( ) t
t t e dt
？
4
25
3
25
3
23
2
25
16 下列何者為
2
2
( )
4
s
e
Y s s s
之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）？（其中u(t)為單位步
階函數（unit step function）。）
1 1
( ) sin2( 2) ( 2)
4 4
y t t u t
1 1
( ) sin2( 2) ( 2)
4 4
y t t u t
1 1
( ) cos2( 2) ( 2)
4 4
y t t u t
1 1
( ) cos2( 2) ( 2)
4 4
y t t u t
17 一週期函數 2
( ) 1 sin 2
f x x
，則其傅立葉級數（Fourier series）為：
1 3
( ) sin4
2 2
f x x
3 1
( ) sin2
2 2
f x x
3 1
( ) cos4
2 2
f x x
1 3
( ) cos2
2 2
f x x
18 若A、B是機率不為零且互為獨立的事件，則下列何者不一定成立？
P A B =P A P B
P A B =P A P B
P A|B =P A|B
P A B =P A +P B
19 設X為一連續隨機變數，其機率密度函數為
2
4 2 0 2
( ) 0
C x x x
f x
elsewhere
，則其C值為多少？
1/2 1/4 3/8 5/8
20 假設一隨機變數X，其動量產生函數（moment-generatingfunction）為
2
( 2 )
( )
t t
X
M t e
；試問此隨機
變數X的期望值（mean）為何？
0 0.5 12
類科名稱：
109年公務人員高等考試三級考試暨普通考試
科目名稱：工程數學
測驗題標準答案更正
考試名稱：
醫學工程、電力工程、電子工程、電信工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
C第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
ADCA#ACBC
B CCBCCDCCA
複選題數： 複選每題配分：
備 註： 第6題答Ａ或Ｃ或ＡＣ者均給分。
標準答案：答案標註#者，表該題有更正答案，其更正內容詳見備註。