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100年公務人員高等考試三級考試試題
類 科：電力工程、電子工程、醫學工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
代號：35620、35720、
38220
頁次：4
－
1
甲、申題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、令 ，試求
⎩
⎨
⎧
≥+
<
=3t,1t
3t,0
)(tf )(
t
f
之拉氏轉換（Laplace transform）。（10 分）
二、設矩陣 ，
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=31
35
A
求A的特徵值（eigenvalues）。（5分）
求A的特徵向量（eigenvectors）。（5分）
求A100。（5分）
2
2
dxyd
y=
′′
dx
dy
y=
′
三、試解微分方程 ，其中
xxyyxyxyx ln663 423 =−
′
+
′′
−
′′′ 0>
x
， ， ，
以下類推。（15 分）
v
k
j
i
xy
zy
A
B
+−= 4及)0,1,0(=)1,0,2(
=
)1,2,3(
=
四、設 、 、D三點，若 C為由 A到
B及B到D兩直線線段所組成。 等
求？（10 分）
∫∫ =+−=⋅ CC zydzdyxydxd )4(Rv
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：2304
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
30
24
x
x
dt
dx
dt
dx
之通解？
1 試求聯立微分方程式
，其中c
tt ecec
tx
tx 3
2
4
1
2
11
2
0
1
)(
)( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡，c為常數
1 2
，其中c
tt ecec
tx
tx 3
2
4
1
2
11
2
1
0
)(
)( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡，c為常數
1 2
，其中c
tt ecec
tx
tx 3
2
4
1
2
11
3
0
1
)(
)( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡，c為常數
1 2
tt ecec
tx
tx 4
2
2
1
2
11
2
1
0
)(
)( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡，其中c1，c2為常數
代號：35620、35720、
38220
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－
2
2 0)
設()(
+
′
+
′
′
)(
1xy 及)(
2xy 是微分方程式
=
y的解，而 )(
3xy 及)(
4xy 是微分方程式
qy =+
′中)(xp (q)
xqyxpy:A
x
之函
)()( xryxxB的解，則 , 為
)x, (xr
py +
′′
:0)(
≠
() 下列敘述何者錯誤？（題 數，且 xr
2211 ycxyc ++ B的解
3
）
微分方程式A的解（其中c1及c2為任)()( 2211 xycxyc +必定也是
意常數）
是微分方程式 A的解
)()( 43 xyxy −必定也
必定也是微分方程式 B的解
)()( 43 xyxy +
)()( 3xyx 必定也是微分方程式
)(
假設函數 s2之逆拉氏轉換（inverse Lap
ss
s
sF 3
24
)( 23
2
++
+
=lace transform）為
{}
tt cebeasFL 21 )( −−− ++= ，其
3
4 數積分 dze
C
iz
∫+之值，其中積分路徑 C的參 為 ti
etz 2
2)( =，
中a、b、 ？
-3 2
c為常數，求 a+b+c
4
求複變函 數式 2
≤，其
0
π
≤t中1−=i。
(
)
(
)
)1cos(
22 ee −
−
(
)
(
)
)1si
2iee +
−n()1cos(
2+
1sin() i+
(
)
()
)1sin()1cos(
22 iee −−
−
(
)
(
)
)1sin()1cos(
22 iee −+
−
5 2，1)0( −=y（其中
程式 63 yyy −=−
′
解微分方 dx
dy
y=
′）：
3x )32 3x
e−
−
6 kv )si 2
y−= 的散度（
cosh( −x)
32/(1 ey −= /(1y=)
)21/(1 3x
ey −= )21/(1 3x
ey −
−=
試求向量 ji (2)nh( zyzx ++− divergence）：
場
3) +z 4cosh(
−
+
z
x
3)cosh( +x zx
+
+
2)cosh(
那一個是 vu
×
？
7 u,2 kji kjiv 23
−
+−= 為兩個三
+−= 維向量，以下
純量 3
純量 1 向量
向量 kji +−=w
kji
+
+
=
w
8 複變函數 4
)( 2+
=z
zf 以i2為中心展開的羅 何
4i倫級數（ ？其中
Laurent series）為 1−=i。
∑
∞
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−0
1(
42 n
niz
i
iz
−+
1n
)2 ∑
∞
⎠⎝
−042 n
n
iz
+
−
⎟
⎞
⎜
⎛
+−
12(
1niz
i)
=
∑
∞
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−0
)2(
42
1
n
n
niz
i
iz ∑
∞
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
0
)2(
42
1
n
n
niz
i
iz
代號：35620、35720、
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－
3
9 orthogonal matrix），則下列敘
矩陣 AB 也必為正交矩陣
矩陣 A+B也必為正交矩陣
矩陣A-1也必為正交矩陣
det(AB)=det(BA) -1（其中det X表矩陣X的行列式值）
10 ⎦
⎤
⎣
⎡
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
⎠
⎞
⎝
⎛
⎣
⎡x
yx
yx
33
2
，則：
A⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
=
3
1B ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
=10
BA
⎦
⎢
⎣31 ，⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
3
1
2
B ⎦⎣
11 A為33×的矩 ，若 A行列式值 det(A)=3，則 何？
-6 6 -24
12 令矩陣 ⎥
⎦
⎢
⎣
=
θθ
cossin
A且B=A10，則下列敘述何者錯誤？
BBT
若
A及B皆為正交矩陣（ 述何者不恒真？
若
轉換 32
:RRT →定義為 BA +
⎥⎢
=
⎥
⎥
⎢
⎢+−=
⎟
⎟
⎜
⎜⎥
⎦
⎤
⎢y
yx
y
x
T1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
31
11
11
，⎥⎢
⎡2⎡6
T
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
−= 11
11
A
⎤
⎥
⎤
⎢
⎡
=5
3
BAT
⎥
⎦
設 陣 的 det(-2A)之值為
24
⎤⎡ −
θθ
sincos
=BTB
10/
π
θ
=，則矩陣 B為單位矩陣（unit matrix）
無論
θ
為何值，矩陣B及B-1的特徵值（eigenvalue）之絕對值均為 1
無論
θ
為何值，矩陣B及B-1的行列式值（determinant）均為 1
13 兩連續隨機變數 X、Y之結合機率密度函數 ty density function）為
（joint probabili
⎪
⎩其他,0
,YX ⎪
⎨≤≤≤≤
=30,20,
6
),( yx
yxf ，求 )( YXP
⎧1
<
=？
5
2 2
1 3
2 6
1
14 中有 998 個黑球及 個白球，若自 中隨機挑選 500 球，令 x為其中白球之數量，試求條件機
率)21|1( === xxxP 或=？
2
一個盒子 盒
1499
499 1499
1000 3
2 3
1
代號：35620、35720、
38220
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－
4
15 定一個常態分布（Normal Distribution）的隨機變數 X，它的期望值（mean）為 0，變異值（variance）
16 連續隨機變數（ s random variable 率密度函數（pro nsity function）為
⎩
⎧<<−
其他
0),1( xxkx
3 6
17
給
為5。已知 P (X > C) = 0.05，也就是 X大於 C的機率為 0.05。求 P (– C < X < C)之值為何？
0.90 0.95 0.975 0.995
若X為一 continuou ），其機 bability de
⎨
=,0
1
)(xfX，試求 k =？
2
1
求164
8
24
3
23/ ++
+
→zz
z
i
ez
π
之 ？
lim 值為何
i
33 −
88 i
8−
31 i
33 +
8 88 i
31 +
18 算
88
請計 20
2之值，其中
12
)1( i−1−。
i4 i4 4
=i
4+−
−
4
19 xyzyzxy +−=,,(
若z)yx
ϕ
，則其在點 )1,1,0(
−
=
P之最大 rate of chang 值為何？
變率（ e）之改
2 5 6
2−
20 向量 kja 2−= 、kb 和kjic
已知 i2−
三
=
+
+
=3，ab c
×
+
)( 等於：
7 i714 +− i144
2
ji 144 ++− j4kj 7k k kji 7144 −−−
−
−
類科名稱：
100年公務人員高等考試三級考試暨普通考試
科目名稱：工程數學（試題代號：2304)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案ACDAB ADABB DBCBA DACDA
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、醫學工程、電子工程